大跨徑懸索橋幾何非線性分析綜述

孫藝?yán)?，蔣 欣

（長安大學(xué)，陜西西安，710064）

0 引言

懸索橋又稱吊橋，是一種古老的橋型。1816年，第一座用鋼絲做主纜索的人行懸索橋的建成，揭開了現(xiàn)代懸索橋發(fā)展的序幕[1]。日本從20世紀(jì)70年代開始發(fā)展懸索橋，在這方面做出了很大的努力并取得了可觀的成績。日本吊橋的發(fā)展主要通過本州-四國聯(lián)絡(luò)橋的修建，在本州四國聯(lián)絡(luò)橋的三條聯(lián)絡(luò)線中有22座大橋，其中有10座是大跨徑的懸索橋，1998年建成的明石海峽大橋，主跨1 990 m。

我國的現(xiàn)代懸索橋雖然起步較晚，但發(fā)展很快，且是在美、英、日等國懸索橋技術(shù)發(fā)展相對成熟的基礎(chǔ)上，通過學(xué)習(xí)借鑒，隨著中國國情發(fā)展起來的，而且已經(jīng)初具特色。

在有限元線性分析中假設(shè)：節(jié)點(diǎn)位移為無限小量；材料為線彈性，即材料的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系滿足廣義虎克定律；加載時邊界條件的性質(zhì)保持不變。當(dāng)這三條假設(shè)中任意一條不能滿足時，則必須考慮結(jié)構(gòu)非線性。事實(shí)上，結(jié)構(gòu)力學(xué)問題，從本質(zhì)上講都是非線性的，線性假設(shè)只是對實(shí)際問題的一種簡化。

懸索橋是柔性懸掛結(jié)構(gòu)，在正常設(shè)計(jì)荷載作用下，即使材料應(yīng)力沒有超過彈性范圍，其荷載也呈現(xiàn)明顯的非線性關(guān)系[2]。所以在懸索橋設(shè)計(jì)計(jì)算中必須考慮非線性影響。

1 懸索橋幾何非線性影響因素

懸索橋是大跨度橋梁中最自然、美觀和經(jīng)濟(jì)的橋型。到目前為止，它仍是主跨1 000 m以上的大跨度橋梁首選的橋型?，F(xiàn)代懸索橋通常主要由主纜、主塔、錨墊和加勁梁四大主體結(jié)構(gòu)，以及塔頂主鞍座、錨口散束鞍座或散束箍和懸吊系等重要附屬系統(tǒng)組成。其最大特點(diǎn)為恒載作用在主纜內(nèi)形成的巨大拉力對后續(xù)活載作用下結(jié)構(gòu)的變形有抵抗作用，結(jié)構(gòu)具有不可忽略的幾何非線性[3]。懸索橋在施工和運(yùn)營階段，纜索在自重作用下具有一定垂度，垂度大小與張力成反比；荷載作用下結(jié)構(gòu)的大位移；結(jié)構(gòu)的初始內(nèi)力影響等諸多非線性問題。結(jié)構(gòu)大位移的影響效應(yīng)與恒載初始內(nèi)力的影響效應(yīng)相同，使加勁梁的撓度和彎矩減少，但其貢獻(xiàn)遠(yuǎn)不及恒載初始內(nèi)力，它只占精確值的18%左右。纜索自重垂度的非線性影響最小。這是因?yàn)閼宜鳂蛟诔蓸驎r纜索內(nèi)就存在著巨大的初始張力，在活載作用下，纜索的垂度變化極小[2]。

由于結(jié)構(gòu)的變位，在初始狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與外力的平衡條件在新的狀態(tài)下已不再成立，這將產(chǎn)生不平衡力，如同荷載一樣作用于結(jié)構(gòu)，使得外荷載對結(jié)構(gòu)的作用表現(xiàn)出非線性。通常，初始狀態(tài)下結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)態(tài)平衡，后續(xù)荷載要打破這種平衡而建立新的平衡必須消耗能量。因此，初始內(nèi)力的影響總是抵消外力的作用，即初始內(nèi)力的存在提高了結(jié)構(gòu)的剛度，被稱之為結(jié)構(gòu)的內(nèi)力剛度。初始狀態(tài)的內(nèi)力一般是由自重恒載引起的，所以，內(nèi)力剛度通常又可稱為重力剛度。對于大跨度懸索橋，白重恒載引起的初始內(nèi)力是很大的，因此，初始內(nèi)力是懸索橋非線性的最主要影響因素。因此，大跨度懸索橋的分析必須計(jì)入內(nèi)力與結(jié)構(gòu)變形的影響，否則將引起較大的誤差。

2 懸索橋幾何非線性問題求解方法

與其它橋梁結(jié)構(gòu)形式不同，懸索橋在主纜就位后就很難進(jìn)行后期索力和標(biāo)高的調(diào)整，故其施工架設(shè)參數(shù)的精確計(jì)算就顯得尤為重要。

關(guān)于懸索橋的分析理論，主要有不計(jì)幾何非線性影響的線彈性理論，計(jì)及恒載初內(nèi)力和結(jié)構(gòu)豎向位移影響的撓度理論和充分考慮各種非線性影響的有限位移理論。有限位移理論是目前懸索橋結(jié)構(gòu)分析中，理論上最嚴(yán)密精確和適用性好的較為完善的理論。在采用有限位移理論對懸索橋進(jìn)行空間分析時，一般將懸索橋結(jié)構(gòu)離散為空間桿單元、索單元和梁單元，并常用能量法推導(dǎo)單元切線剛度矩陣。然而能量法在應(yīng)變與位移的函數(shù)式中通常忽略位移二次以上的高階項(xiàng)，使精度受到一定影響[4]。

在懸索橋的設(shè)計(jì)分析中，有限元法已成為廣泛使用的精確數(shù)值計(jì)算方法。但由于橋梁結(jié)構(gòu)的材料性能、尺寸等存在著不確定性，在懸索橋的設(shè)計(jì)分析中，應(yīng)考慮材料、幾何尺寸等的隨機(jī)性，且對于懸索橋這種柔性結(jié)構(gòu)，有必要計(jì)入結(jié)構(gòu)幾何非線性[5]。主纜線形的精確計(jì)算直接關(guān)系到結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)和安全性能，尤其是加勁梁直接承受主纜水平分力，實(shí)踐證明，加勁梁軸向剛度對主纜線形的影響不可忽略[6]。

結(jié)構(gòu)分析的目的，就是要計(jì)算出結(jié)構(gòu)在外荷載作用下處于平衡狀態(tài)時的位移和內(nèi)力，這個平衡狀態(tài)是已經(jīng)發(fā)生了變形的狀態(tài)而不是變形前的狀態(tài)。在結(jié)構(gòu)分析中，如果結(jié)構(gòu)所發(fā)生的位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)自身的幾何尺寸，則結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的平衡狀態(tài)就可以和未受荷載時的位形不加區(qū)分，不必考慮結(jié)構(gòu)位形的變化，以初始位形狀態(tài)代替變形后的位形狀態(tài)，也不會產(chǎn)生很大的誤差，這就是結(jié)果線性分析；而當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生大位移、大轉(zhuǎn)角時，與未受荷載時相比，結(jié)果位形已有了很大的變化，如果再用未受外荷載時的狀態(tài)來代替這個狀態(tài)，勢必造成很大的誤差(如懸索結(jié)構(gòu))。結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的實(shí)質(zhì)就是要求出結(jié)構(gòu)變形之后的平衡狀態(tài)，然后求出這個狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。

2.1 基本計(jì)算方法

懸索橋幾何非線性的基本計(jì)算方法：增量法、迭代法、混合法。

2.1.1增量法

增量法是指荷載以增量的形式逐級加到結(jié)構(gòu)上去，對每個荷載增量作用過程中假定結(jié)構(gòu)的剛度是不變的，在任一荷載增量區(qū)間內(nèi)節(jié)點(diǎn)位移和桿端力都是由區(qū)間起點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)剛度算出，然后利用求得的節(jié)點(diǎn)位移和桿端力求出相對于增量區(qū)間終點(diǎn)變形后的位置上的結(jié)構(gòu)剛度，作為下一個荷載增量的起點(diǎn)剛度。增量法由于每一級荷載作用下都未得到精確的解答，隨著增量過程的繼續(xù)，將會產(chǎn)生“漂移”現(xiàn)象，誤差越來越大。這一“漂移”現(xiàn)象并不因荷載的細(xì)分而有明顯的改善。

2.1.2迭代法

迭代法是將整個外荷載一次性加到結(jié)構(gòu)上，節(jié)點(diǎn)位移用結(jié)構(gòu)變形前的切線剛度求得，然后根據(jù)變形后的結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)構(gòu)剛度求得桿端力。由于變形前后的結(jié)構(gòu)剛度不同，產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)不平衡荷載，為了滿足節(jié)點(diǎn)平衡，將這些不平衡荷載作為節(jié)點(diǎn)荷載作用在節(jié)點(diǎn)上，計(jì)算出相對于變形后的節(jié)點(diǎn)位移量，反復(fù)這一迭代過程，直至不平衡荷載小于準(zhǔn)許值為止。迭代法主要有Newton-Raphson法、擬N-R法、修正的N-R法。

2.1.3混合法

混合法是一種將增量法和迭代法相結(jié)合的方法。它在每個增量步長內(nèi)都采用迭代法，使得每個步長內(nèi)都達(dá)到精確解。這種方法要求迭代次數(shù)很多，因此計(jì)算量特別大。

2.2 非線性規(guī)劃法

非線性規(guī)劃的理論是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。1951年，庫恩(H.W.Kuhn)和塔克(A.W.Tucker)等人提出了非線性規(guī)劃的最優(yōu)條件，為它的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

工程實(shí)際中大量的非線性問題，都可通過無約束非線性規(guī)劃的最優(yōu)化方法解決。無約束非線性規(guī)劃的極值問題通常使用迭代法，主要分為解析法和直接法兩大類。解析法收斂速度較快，但要用到函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的解析表達(dá)式十分復(fù)雜，甚至寫不出具體的表達(dá)式時，其導(dǎo)數(shù)很難求得，或?qū)?shù)根本不存在，解析法就無能為力了，只能采用直接搜索法。該法收斂速度較慢，適合于較少的變量。直接搜索法中常用的一種——單純形法的迭代原理[7]、[8]。

非線性單純形法是最優(yōu)化技術(shù)中求解無約束非線性問題的一種較為有效的方法之一。該方法利用單純形的頂點(diǎn)，計(jì)算其函數(shù)值，按一定的規(guī)則進(jìn)行探測性搜索。通過對搜索區(qū)內(nèi)單純形頂點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行直接比較，判斷目標(biāo)函數(shù)的變化趨勢，確定有利的搜索方向和步長。

搜索中，將單純形頂點(diǎn)函數(shù)值誤差最大的點(diǎn)作為“壞點(diǎn)”拋棄，以新點(diǎn)代之，構(gòu)成新的單純形，從而逐步逼近函數(shù)的極小點(diǎn)。以二維單純形為例，對單一目標(biāo)函數(shù)F(x)，首先以初值點(diǎn)X0為基礎(chǔ)，構(gòu)造二維單純形ABC，并假定目標(biāo)函數(shù)值滿足FA＞FB＞FC，見圖 1。此時，最差點(diǎn) A 的反對稱方向?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)的改進(jìn)方向，以BC的中點(diǎn)D為中心，得到A點(diǎn)的反對稱點(diǎn)E，則EBC為ABC的反射單純形，XE=XD+(XD-XA)。對于點(diǎn)E，有以下幾種情況：

（1）若 FE＜FC，表明原反射方向有利，繼續(xù)大步前進(jìn)，取 XF=XD+a(XD-XA)。其中，a＞1。對于新點(diǎn) F，若FF＜FE，則表明向前擴(kuò)展有利，得到新的單純形FBC；若FF＞FE，則表明向前擴(kuò)展不利，仍取單純形EBC。

圖1 無約束非線性規(guī)劃的單純形法示意圖

（2）若 FE＞FB，表明原反射方向走得太遠(yuǎn)，應(yīng)回退一些，取 XG=XD+β（XD-XA）。其中，β＜1。形成新的單純形GBC。

（3）若 FE＞FC，也表明原反射方向走得太遠(yuǎn)，且最小點(diǎn)應(yīng)在原單純形ABC之內(nèi)，也需回退，取XH=XD-β(XD-XA)。其中，β＜1。形成新的單純形HBC。

形成新的單純形后，重復(fù)上述步驟，對單純形進(jìn)行翻滾與伸縮，直至滿足精度要求。

對懸索橋進(jìn)行非線形分析，采用無約束非線性規(guī)劃的單純形法，可按上述過程進(jìn)行，關(guān)鍵在于針對不同計(jì)算階段和計(jì)算內(nèi)容，合理選取目標(biāo)函數(shù)，必要時需將多目標(biāo)函數(shù)歸并為單目標(biāo)函數(shù)求解。

對于自錨式懸索橋主纜線形計(jì)算目前難以求解一階或二階導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)化問題，可以利用單純形直接搜索法并借助大型通用優(yōu)化軟件（如matlab優(yōu)化工具箱和LINDO/LINGO軟件等），實(shí)現(xiàn)問題的簡單、高效、精確求解[6]。

3 結(jié)語

懸索橋?yàn)榇笞冃谓Y(jié)構(gòu)，在對其進(jìn)行空間分析時，必須考慮其非線性影響。本文首先討論了懸索橋幾何非線性的影響因素，闡明了非線性計(jì)算的必要性，然后探討了懸索橋幾何非線性的計(jì)算方法，介紹了3種基本的計(jì)算方法，最后重點(diǎn)論述了無約束非線性規(guī)劃法的單純形法對非線性問題分析的過程。

單純形法的迭代次數(shù)較少，收斂速度快。但是單純形法的一個明顯缺點(diǎn)是其在搜索的開始階段效率較高，而當(dāng)試驗(yàn)點(diǎn)接近極小點(diǎn)時，會出現(xiàn)圍繞極小值點(diǎn)反復(fù)振蕩的現(xiàn)象。因此，單純形直接搜索法在懸索橋非線性計(jì)算中的廣泛應(yīng)用還需更進(jìn)一步的探討與改良，這將對解決懸索橋的設(shè)計(jì)計(jì)算問題非常有意義。

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