曲柄搖桿機構再現(xiàn)已知運動規(guī)律的優(yōu)化求解

吳義成

（馬鞍山職業(yè)技術學院，安徽馬鞍山243000）

曲柄搖桿機構是鉸鏈四桿機構中的一種，在實際工程應用中，該型機構應用廣泛，如縫紉機踏板機構、攪拌器機構等。針對此類型曲柄搖桿機構再現(xiàn)已知運動規(guī)律的優(yōu)化設計，主要是指當曲柄作等速轉(zhuǎn)動時，要求搖桿按已知的運動規(guī)律運動（如圖1所示）。

圖1 曲柄搖桿機構簡圖

該型優(yōu)化設計可使用的方法很多，如使用傳統(tǒng)約束優(yōu)化設計方法中的懲罰函數(shù)法、復合形法以及可行方向搜索法等，基本上都比較繁瑣。本文基于MATLAB軟件當中優(yōu)化工具箱功能，對之進行建模后，使用MATLAB語言進行編程，求解出最優(yōu)參數(shù)，具有簡便、高效的特點。

1 設計變量的確定

當搖桿按已知運動規(guī)律開始運行時，曲柄所處的位置角φ0應列為設計變量，所以設計變量有

為簡化計算，取l1=1，其他桿長按比例取為l1的倍數(shù)。

曲柄的初始位置角為極位角，則φ0及搖桿l3位置角Ψ0均為桿長的函數(shù)。

由圖1所示，在初始位置，l1桿和l2桿在同一直線上，他們同l3和l4桿共同構成一個三角形。只要l2、l3、l4為互相獨立變量，則設計變量變?yōu)?/p>

2 目標函數(shù)的建立

所謂再現(xiàn)已知運動軌跡，是指機構的連桿實際運動曲線盡可能地接近某一給定搖桿曲線ψE(φ)。為滿足設計要求，這里根據(jù)已知的運動規(guī)律與機構實際運動規(guī)律之間的偏差最小為指標，來建立目標函數(shù)，即

式中，

ΨEi為期望輸出角，ΨEi=ΨE（φi）；

m為輸入角的等分數(shù)；

Ψi為實際輸出角。

對于實際輸出角Ψi，要將之變成設計變量的函數(shù)。這里分兩種情況，當0≤ φi<π和π≤φi<2π時，任意位置實際輸出角Ψi的值。由圖2所示。

圖2 曲柄搖桿機構的運動學關系

由圖2可得

3 約束條件的確定

（1）曲柄搖桿機構要滿足曲柄存在的條件。其中最長桿與最短桿的長度之和應≤其他兩桿長度之和；四桿中要有一個為最短桿。因此有

（2）曲柄搖桿機構的傳動角應大于某一個γmin最小值。為保證機構良好的傳力性能，傳動角盡可能接近90°。設計時一般滿足γmin≤γ。而且曲柄搖桿機構的最小傳動角γmin出現(xiàn)在曲柄與機架共線的兩位置之一（如圖3所示）。

圖3 曲柄搖桿機構最小傳動角可能位置圖

也即

由圖3 a)可得

當∠BCD≥90°時，

取

由圖3b)可得

當∠BCD＜90°時，

取

4 對應用實例進行優(yōu)化求解

4.1 具體應用實例

某一曲柄搖桿機構，要求曲柄l1從 φ0轉(zhuǎn)到φm= φ0+90°時（0＜ φi＜ π），搖桿 l3的轉(zhuǎn)角最佳再現(xiàn)已知運動規(guī)律

且已知l1=1，l4=5，φ0為極位角（如圖1所示），其傳動角不能小于45°，即γmin=45°，設計出最佳連桿l2和搖桿l3的桿長。

由前文的分析可知，φ0和ψ0不是獨立參數(shù)，可由下式求出

因此，該問題只有兩個獨立變量l2和l3，設計變量為

將輸入角分成30等分，得目標函數(shù)表達式

這里，機構實際輸出角

其中，

約束條件按上文分析的曲柄存在條件及對傳動角的限制來建立，由式（5）到式（8）得

4.2 使用MATLAB優(yōu)化工具箱編程求解

MATLAB優(yōu)化工具箱提供了對各種問題的一個完整解決方案，廣泛應用于線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、非線性優(yōu)化、最小二乘問題、非線性方程求解、對目標決策、最小最大問題等。其函數(shù)表達簡潔，參數(shù)設置自由，相比于其他很多成熟的優(yōu)化程序，具有明顯的優(yōu)越性。MATLAB通過調(diào)用功能函數(shù)，來實現(xiàn)這一問題的優(yōu)化。

本例屬于一般非線性規(guī)劃問題，其標準型為

調(diào)用MATLAB軟件優(yōu)化工具箱中非線性規(guī)劃求解函數(shù)fmincon來求解。

其命令的基本格式為

其中各個參數(shù)的含義如下：

fun為求解的目標函數(shù)；

x0為變量初值；

A，b為約束函數(shù)中線性不等式約束的參數(shù)；

Aeq，beq為約束函數(shù)中線性等式約束的參數(shù)；

C(X)，Ceq(X)均為非線性函數(shù)組成的向量；

vlb，vub分別是變量X的下限和上限值。

4.3 求最優(yōu)解的三個步驟

（1）根據(jù)前文敘述的目標函數(shù)表示法，建立M文件fun1.m，定義目標函數(shù)：

（2）根據(jù)前述的約束方程，建立M文件nonlcon.m，定義線性約束和非線性約束：

（3）根據(jù)非線性規(guī)劃求解函數(shù)fmincon的形式，建立主程序youh.m函數(shù)：

運行該主程序后，求解結果為

此求解結果與文獻[1]中使用懲罰函數(shù)法求解的最優(yōu)解基本一致。文獻[3]中對于相同問題的求解結果與文獻[1]和本文都不同，其中間過程應該有誤。

5 結束語

本文在文獻[1]基礎上，針對曲柄搖桿機構再現(xiàn)已知運動規(guī)律優(yōu)化設計問題，進行了運動及建模分析，進一步澄清了傳動角的概念。使用MATLAB優(yōu)化工具箱功能，運用MATLAB語言進行編程求解，對使用懲罰函數(shù)法解決該問題進行了驗證。此應用程序為解決同類優(yōu)化設計問題，提供了一個有益的借鑒，可大大提高解決此類問題的效率。

[1]孫靖民，梁迎春.機械優(yōu)化設計[M].北京：機械工業(yè)出版社，2007.

[2]楊明才.縫紉設備技術手冊[M].南京：江蘇科學技術出版社，2009.

[3]周劍平.基于MATLAB的機械優(yōu)化設計[J].黃石理工學院學報，2005，（3）：43-45.