弱積分C-半群拓?fù)?/h1>
2011-06-23 16:28:45董曉麗趙華新
董曉麗，趙華新
（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）
弱積分C-半群拓?fù)?/p>
董曉麗，趙華新
（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）
利用積分C-半群及連續(xù)線性泛函的概念，引入了一個(gè)新的局部凸向量拓?fù)?，并?duì)其基本性質(zhì)及積分C-半群在新的局部凸線性拓?fù)湟饬x下的性質(zhì)進(jìn)行了初步研究。
積分C-半群；局部凸向量拓?fù)洌簧稍?；弱積分C-半群拓?fù)?/p>
1 預(yù)備知識(shí)
定義1.1設(shè)（X，‖·‖）是一個(gè)Banach空間，（X，‖·‖）′為X的共軛空間，B（X）為X到X的有界線性算子的全體構(gòu)成的算子空間，n∈N+，C∈B（X），B（X）中的一個(gè)強(qiáng)連續(xù)算子族｛T（t）：t≥0｝稱為（X，‖·‖）上的一個(gè)n次積分C-半群，即滿足下列條件：
又稱｛T（t）：t≥0｝是非退化的，如果
定義1．2n次積分C-半群｛T（t）：t≥0｝的無(wú)窮小生成元A是如下定義的算子：
定義1．3A的C-預(yù)解式定義如下：
PC（A）=｛λ：λ-A為單射且R（C）?R（λ-A）｝。對(duì)?λ＞ω，及x′∈（X，‖·‖）′，令
則利用積分C-半群的定義容易驗(yàn)證，對(duì)?x，y∈X及λ＞ω有：
即Pλ，x′（x）是X上的一個(gè)半范數(shù)，從而由半范數(shù)族S=｛Pλ，x′：λ＞ω｝可以確定一局部凸向量拓?fù)?，記為?。
2 主要結(jié)果
定義2．1由上述半范數(shù)族S=｛Pλ，x′：λ＞ω｝所確定的X上的局部凸向量拓?fù)?，稱為X上的相應(yīng)于x′的弱積分C-半群拓?fù)?，相?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為（X，τ*）。
引理2．1［5］設(shè)E是線性空間，A，B是E上的兩族半范數(shù)，則由A確定的拓?fù)淙跤谟纱_B定的拓?fù)涞某湟獥l件是：對(duì)每個(gè)q∈A，必存在p1，p2，…，pm∈B以及正數(shù)c1，c2，…，cm，使得對(duì)一切x∈E成立：
q（x）≤c1p1（x）+c2p2（x）+…+cmpm（x）。
定理2．1X上的弱積分C-半群拓?fù)淙跤诜e分C-半群拓?fù)?，也弱于由范?shù)所確定的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明因?yàn)閷?duì)?λ＞ω及x′∈X′，x∈X有
Pλ，x′（x）=‖x′R（λ，A）Cx‖≤‖x′‖·‖R（λ，A）Cx‖≤‖x′‖·‖R（λ，A）C‖·‖x‖，由此及引理2.1與積分C-半群拓?fù)涞母拍?，易?jiàn)命題成立。
定義2．2在一個(gè)局部凸線性拓?fù)淇臻gX中，若對(duì)任意Cauchy序列｛xn｝，｛x′R（λ，A）Cxn｝（λ＞ω）都收斂，則稱X關(guān)于相應(yīng)于x′的弱積分C-半群是完備的。
定理2．2局部凸線性拓?fù)淇臻g（X，τ*）是弱積分C-半群完備的。
證明設(shè)｛xn｝是（X，τ*）的任意Cauchy序列，則對(duì)于任意連續(xù)半范數(shù)q（x）及ε＞0，集合U=
｛x：q（x）＜ε｝構(gòu)成0的一個(gè)鄰域，從而必存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n，m＞N時(shí)，有
（xn-xm）∈U，即q（xn-xm）＜ε。
特別地，對(duì)任意Pλ，x′（x）∈S有
Pλ，x′（xn-xm）=‖x′R（λ，A）C（xn-xm）‖
=‖x′λn∫0+∞e-λtT（t）（xn-xm）dt‖
=‖x′λn∫0+∞e-λtT（t）xndt-x′λn∫0+∞e-λtT（t）xmdt‖＜ε。
可知｛x′R（λ，A）Cxn｝（λ＞ω）為Banach空間（X，‖·‖）中的Cauchy序列，從而｛x′R（λ，A）Cxn｝（λ＞ω）必收斂，由定義2.2得證。
定理2．3當(dāng)｛T（t）：t≥0｝是非退化的積分C-半群且x′≠0時(shí)，弱積分C-半群拓?fù)洇?是分離的。
證明由于｛T（t）：t≥0｝是非退化的，即如果對(duì)?t有T（t）x=0，必有x=0。所以對(duì)?x≠0有sαu＞pωPα，x′（x）=sαu＞pω‖x′R（α，A）Cx‖＞0。從而對(duì)?x≠y，即x-y≠0，必存在一α∈（ω，+∞），使得
Pα，x′（x-y）=3d＞0，令V=｛x：Pα，x′（x）≤1｝，則x的鄰域x+dV與y的鄰域y+dV彼此分離，即半群拓?fù)洇?是分離的。
由于Pλ，x′（x）=‖x′R（λ，A）Cx‖≤‖x′‖·‖R（λ，A）C‖·‖x‖，所以拓?fù)洇?弱于由范數(shù)所確定的局部凸向量拓?fù)洌瑥亩?dāng)｛T（t）：t≥0｝是（X，‖·‖）上的積分C-半群時(shí)，它也是局部凸線性拓?fù)淇臻g（X，τ*）上的積分C-半群。
關(guān)于相應(yīng)由不同的x′∈X′的弱積分C-半群拓?fù)渲g的關(guān)系，有如下結(jié)果：
定理2．4設(shè)x1′，x2′∈X′，x′=αx1′+βx2′，其中α，β為任意常數(shù)，即x′是x1′，x2′的任意線性組合，則由半范數(shù)族｛Pλ，x′（x）｝所確定的局部凸向量拓?fù)淙跤谟砂敕稊?shù)族｛Pλ，x1′（x），Pλ，x2′（x）｝所確定的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明因?yàn)閷?duì)?x∈X，有
再利用引理2.1，可證得本定理結(jié)論。
［1］趙華新.C0-半群拓?fù)洌↖）［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006（3）：420-423.
［2］趙華新.C-半群拓?fù)洌跩］.河南科學(xué)，2006（2）：157-158.
［3］王曉夢(mèng)，趙華新，常勝偉.積分C-半群拓?fù)洌跩］.延安大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，27（2）：5-6.
［4］常勝偉，趙華新.弱C-半群拓?fù)洌跩］.江西科學(xué)，2007，25（6）：669-671.
［5］夏道行，楊亞立.線性拓?fù)淇臻g引論［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1986.
［6］劉曼，郭玲利.n次積分C-半群的表示定理［J］.徐州工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（5）：4-8.
［責(zé)任編輯 賀小林］
Weakly Integrated C-Sem igroup Topological
DONG Xiao-li，ZHAO Hua-xin
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an 716000，China）
By using the integrated C-semigroup of bounded linear operator and continuous linear functional，a new locally convex vector topological is introduced，some propositions of it are given.
integrated C-semigroup；locally convex vector topological；generator；weakly integrated C-semigroup topological
O177.2
A
1004-602X（2011）04-0004-02
20110920
董曉麗（1986—），女，陜西銅川人，延安大學(xué)在讀碩士研究生。
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董曉麗，趙華新
（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）
弱積分C-半群拓?fù)?/p>
董曉麗，趙華新
（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）
利用積分C-半群及連續(xù)線性泛函的概念，引入了一個(gè)新的局部凸向量拓?fù)?，并?duì)其基本性質(zhì)及積分C-半群在新的局部凸線性拓?fù)湟饬x下的性質(zhì)進(jìn)行了初步研究。
積分C-半群；局部凸向量拓?fù)洌簧稍?；弱積分C-半群拓?fù)?/p>
1 預(yù)備知識(shí)
定義1.1設(shè)（X，‖·‖）是一個(gè)Banach空間，（X，‖·‖）′為X的共軛空間，B（X）為X到X的有界線性算子的全體構(gòu)成的算子空間，n∈N+，C∈B（X），B（X）中的一個(gè)強(qiáng)連續(xù)算子族｛T（t）：t≥0｝稱為（X，‖·‖）上的一個(gè)n次積分C-半群，即滿足下列條件：
又稱｛T（t）：t≥0｝是非退化的，如果
定義1．2n次積分C-半群｛T（t）：t≥0｝的無(wú)窮小生成元A是如下定義的算子：
定義1．3A的C-預(yù)解式定義如下：
PC（A）=｛λ：λ-A為單射且R（C）?R（λ-A）｝。對(duì)?λ＞ω，及x′∈（X，‖·‖）′，令
則利用積分C-半群的定義容易驗(yàn)證，對(duì)?x，y∈X及λ＞ω有：
即Pλ，x′（x）是X上的一個(gè)半范數(shù)，從而由半范數(shù)族S=｛Pλ，x′：λ＞ω｝可以確定一局部凸向量拓?fù)?，記為?。
2 主要結(jié)果
定義2．1由上述半范數(shù)族S=｛Pλ，x′：λ＞ω｝所確定的X上的局部凸向量拓?fù)?，稱為X上的相應(yīng)于x′的弱積分C-半群拓?fù)?，相?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為（X，τ*）。
引理2．1［5］設(shè)E是線性空間，A，B是E上的兩族半范數(shù)，則由A確定的拓?fù)淙跤谟纱_B定的拓?fù)涞某湟獥l件是：對(duì)每個(gè)q∈A，必存在p1，p2，…，pm∈B以及正數(shù)c1，c2，…，cm，使得對(duì)一切x∈E成立：
q（x）≤c1p1（x）+c2p2（x）+…+cmpm（x）。
定理2．1X上的弱積分C-半群拓?fù)淙跤诜e分C-半群拓?fù)?，也弱于由范?shù)所確定的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明因?yàn)閷?duì)?λ＞ω及x′∈X′，x∈X有
Pλ，x′（x）=‖x′R（λ，A）Cx‖≤‖x′‖·‖R（λ，A）Cx‖≤‖x′‖·‖R（λ，A）C‖·‖x‖，由此及引理2.1與積分C-半群拓?fù)涞母拍?，易?jiàn)命題成立。
定義2．2在一個(gè)局部凸線性拓?fù)淇臻gX中，若對(duì)任意Cauchy序列｛xn｝，｛x′R（λ，A）Cxn｝（λ＞ω）都收斂，則稱X關(guān)于相應(yīng)于x′的弱積分C-半群是完備的。
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｛x：q（x）＜ε｝構(gòu)成0的一個(gè)鄰域，從而必存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n，m＞N時(shí)，有
（xn-xm）∈U，即q（xn-xm）＜ε。
特別地，對(duì)任意Pλ，x′（x）∈S有
Pλ，x′（xn-xm）=‖x′R（λ，A）C（xn-xm）‖
=‖x′λn∫0+∞e-λtT（t）（xn-xm）dt‖
=‖x′λn∫0+∞e-λtT（t）xndt-x′λn∫0+∞e-λtT（t）xmdt‖＜ε。
可知｛x′R（λ，A）Cxn｝（λ＞ω）為Banach空間（X，‖·‖）中的Cauchy序列，從而｛x′R（λ，A）Cxn｝（λ＞ω）必收斂，由定義2.2得證。
定理2．3當(dāng)｛T（t）：t≥0｝是非退化的積分C-半群且x′≠0時(shí)，弱積分C-半群拓?fù)洇?是分離的。
證明由于｛T（t）：t≥0｝是非退化的，即如果對(duì)?t有T（t）x=0，必有x=0。所以對(duì)?x≠0有sαu＞pωPα，x′（x）=sαu＞pω‖x′R（α，A）Cx‖＞0。從而對(duì)?x≠y，即x-y≠0，必存在一α∈（ω，+∞），使得
Pα，x′（x-y）=3d＞0，令V=｛x：Pα，x′（x）≤1｝，則x的鄰域x+dV與y的鄰域y+dV彼此分離，即半群拓?fù)洇?是分離的。
由于Pλ，x′（x）=‖x′R（λ，A）Cx‖≤‖x′‖·‖R（λ，A）C‖·‖x‖，所以拓?fù)洇?弱于由范數(shù)所確定的局部凸向量拓?fù)洌瑥亩?dāng)｛T（t）：t≥0｝是（X，‖·‖）上的積分C-半群時(shí)，它也是局部凸線性拓?fù)淇臻g（X，τ*）上的積分C-半群。
關(guān)于相應(yīng)由不同的x′∈X′的弱積分C-半群拓?fù)渲g的關(guān)系，有如下結(jié)果：
定理2．4設(shè)x1′，x2′∈X′，x′=αx1′+βx2′，其中α，β為任意常數(shù)，即x′是x1′，x2′的任意線性組合，則由半范數(shù)族｛Pλ，x′（x）｝所確定的局部凸向量拓?fù)淙跤谟砂敕稊?shù)族｛Pλ，x1′（x），Pλ，x2′（x）｝所確定的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明因?yàn)閷?duì)?x∈X，有
再利用引理2.1，可證得本定理結(jié)論。
［1］趙華新.C0-半群拓?fù)洌↖）［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006（3）：420-423.
［2］趙華新.C-半群拓?fù)洌跩］.河南科學(xué)，2006（2）：157-158.
［3］王曉夢(mèng)，趙華新，常勝偉.積分C-半群拓?fù)洌跩］.延安大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，27（2）：5-6.
［4］常勝偉，趙華新.弱C-半群拓?fù)洌跩］.江西科學(xué)，2007，25（6）：669-671.
［5］夏道行，楊亞立.線性拓?fù)淇臻g引論［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1986.
［6］劉曼，郭玲利.n次積分C-半群的表示定理［J］.徐州工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（5）：4-8.
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Weakly Integrated C-Sem igroup Topological
DONG Xiao-li，ZHAO Hua-xin
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an 716000，China）
By using the integrated C-semigroup of bounded linear operator and continuous linear functional，a new locally convex vector topological is introduced，some propositions of it are given.
integrated C-semigroup；locally convex vector topological；generator；weakly integrated C-semigroup topological
O177.2
A
1004-602X（2011）04-0004-02
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