基于多相濾波結(jié)構(gòu)的整數(shù)倍內(nèi)插技術(shù)

黃 磊

(中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所,河北石家莊050081)

0 引言

一個數(shù)字信號處理系統(tǒng)為了便于信息編碼、傳輸和存儲,或是為了節(jié)省系統(tǒng)資源以及實(shí)現(xiàn)有不同速率要求的系統(tǒng)兼容,往往需要不同的采樣率。另外,從寬帶信號中提取出窄帶信號以及在寬帶信號中構(gòu)建窄帶信號這2個方面的應(yīng)用也日益重要,而這2個方面應(yīng)用所需的基本信號處理方法就是變換數(shù)據(jù)速率,即多速率信號處理。多速率信號處理是進(jìn)行采樣率變化的理論基礎(chǔ),其實(shí)質(zhì)就是用數(shù)字信號處理方法直接改變信號的采樣速率,即對信號進(jìn)行抽取或內(nèi)插。

對數(shù)據(jù)進(jìn)行降低采樣速率的處理,這個過程叫做抽取,把提高信號采樣速率的過程叫做內(nèi)插。但無論設(shè)計抽取器還是內(nèi)插器,都要面臨著處理高速率數(shù)據(jù)的問題。在高數(shù)據(jù)速率的情況下設(shè)計窄帶濾波器意味著快速運(yùn)算以及耗費(fèi)更多的硬件資源,半帶濾波器、級連積分梳狀濾波器和多相濾波器恰恰是解決抽取、內(nèi)插時面臨的處理高數(shù)據(jù)速率的有效方法。

1 多速率信號處理

首先討論整數(shù)倍內(nèi)插運(yùn)算的原理。插值運(yùn)算主要作用是增加采樣頻率,采樣率提高L倍,也就是在2個相鄰采樣點(diǎn)間插入L-1個樣點(diǎn),同時不能改變原信號的頻譜形狀,并保證在原信號的通帶外不能存在其他頻率成分。如果信號為x(n),內(nèi)插后輸出為:

內(nèi)插器輸出信號c(k)的Z交換為:

對某個序列進(jìn)行整數(shù)倍內(nèi)插,相當(dāng)于對原序列在時域進(jìn)行擴(kuò)展,經(jīng)過內(nèi)插大大提高了時域分辨率,內(nèi)插后的信號頻譜為原頻譜經(jīng)L倍壓縮后得到的譜。如果信號采樣率提高了L_倍,必然會在頻域產(chǎn)生L-1個鏡像,這些高頻分量要依靠低通濾波器濾除,才能保證信號內(nèi)插后不出現(xiàn)畸變。數(shù)字濾波器可以用常系數(shù)線性差分方程來描述:

其系統(tǒng)函數(shù)為:

由于有限沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器具有穩(wěn)定、嚴(yán)格的線性相位等優(yōu)點(diǎn),所以在實(shí)現(xiàn)多抽樣率系統(tǒng)時多采用FIR結(jié)構(gòu)來設(shè)計濾波器。

在多速率信號處理中,多相濾波的核心思想就是濾波和整數(shù)倍的采樣速率轉(zhuǎn)換在一個級聯(lián)結(jié)構(gòu)中分段實(shí)現(xiàn),這樣,多相濾波器能工作在低的采樣率下,而產(chǎn)生高采樣率的輸出信號,降低了對數(shù)字濾波器的實(shí)時性要求,且保證結(jié)果不發(fā)生頻譜混疊。

2 數(shù)據(jù)速率轉(zhuǎn)換中的濾波器

半帶濾波器非常適合于實(shí)現(xiàn)D=2M倍的抽取或內(nèi)插,半帶濾波器具有如下性質(zhì):

半帶濾波器的沖激響應(yīng)h(n)除零點(diǎn)外所有偶數(shù)點(diǎn)全為零,由此可見,半帶濾波器卷積計算時乘法次數(shù)只有一半的計算量。

級連積分梳狀濾波器即CIC濾波器,CIC濾波器由積分器和梳狀濾波器2個基本的功能模塊級連組成。積分器差分方程為:y(n)=x(n)+y(n-1)。

梳狀濾波器是一個奇對稱的FIR濾波器,差分方程為:y(n)=x(n)-x(n-D),D為梳狀濾波器的階數(shù),也是抽取或內(nèi)插的倍數(shù)。那么,CIC濾波器的沖激響應(yīng)為:

由CIC濾波器沖激響應(yīng)可以看出,這種濾波器與輸入信號卷積時只有加法沒有乘法,大大減少了硬件運(yùn)算時間。CIC濾波器可以實(shí)現(xiàn)D不是2M倍的抽取或內(nèi)插,一般與多級半帶濾波器級聯(lián)來實(shí)現(xiàn)高效濾波。

多相濾波器的所有分支都是一個全通濾波器,其相鄰分支濾波器的相位差為1/D,因此多相濾波可以實(shí)現(xiàn)整數(shù)倍和分?jǐn)?shù)倍抽取、內(nèi)插。另外,可以將多相濾波的實(shí)質(zhì)理解為按照相位均分的關(guān)系把數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)分解成若干不同相位的分支,每個分支分別實(shí)現(xiàn)濾波,那么每一分支路濾波器的系數(shù)由原來的N個減少為N/D個,這樣就大大減小了計算量。通常采樣的帶寬越寬對不同信號的適應(yīng)性就會更好,而且采樣率高對提高采樣量化的信噪比和分辨率是十分有效的。但是這樣會使ADC后的數(shù)據(jù)速率很高,增加后續(xù)信號處理的難度,多相濾波技術(shù)的提出恰好解決了降低處理速率的難題,從而達(dá)到對信號實(shí)時處理的要求。

3 多相濾波實(shí)現(xiàn)內(nèi)插方法

3.1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的等效變換

多抽樣率網(wǎng)絡(luò)中實(shí)現(xiàn)多相濾波要運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)的等效變換把乘法運(yùn)算盡量安排在低抽樣率的一側(cè),這樣每秒鐘內(nèi)的乘法次數(shù)最少,運(yùn)算效率最高?？梢宰C明,先零值內(nèi)插再用H(zL2)低通濾波與先用H(z1)低通濾波后零值內(nèi)插是等效的。

假設(shè)抽取D倍,內(nèi)插L倍,輸入原采樣序列為x(n1T1),輸出為y(n2T2),傳遞函數(shù)與零值內(nèi)插級聯(lián)的等效變換圖如圖1所示。

圖1 傳遞函數(shù)與零值內(nèi)插級聯(lián)的等效變換

3.2 多相濾波技術(shù)

濾波器多相分解也稱為多相表示,設(shè)FIR濾波器的沖激響應(yīng)為h(n),則其Z變換為:

對Z變換求和式展開,可以得到抽取器的多相濾波結(jié)構(gòu)為:

如果令

Ek(zD)稱為H(z)的多相分量,上式稱為H(z)的多相表示。那么同理Q=N/L時,內(nèi)插器的多相濾波結(jié)構(gòu)如下:

根據(jù)內(nèi)插器的等效關(guān)系可以得到內(nèi)插器的多相濾波結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 內(nèi)插器中數(shù)字濾波器的多相結(jié)構(gòu)

由圖2可知,此時低通濾波器處于內(nèi)插器之前,也就是說數(shù)字濾波是在提速之前進(jìn)行的。利用多相分解把原型濾波器分解為幾個階數(shù)較小的子濾波器,每個支路濾波器RL(z)的階數(shù)只有原來的1/L,這樣濾波器結(jié)構(gòu)得到簡化,并且提高了運(yùn)算精度,降低了硬件復(fù)雜度。

將多相內(nèi)插濾波器和多相抽取濾波器相結(jié)合后就可以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)倍抽取、內(nèi)插,并進(jìn)一步提高運(yùn)算效率。多相濾波中的FIR濾波器既可以設(shè)計為低通濾波器也可以設(shè)計為帶通濾波器,其原理是完全相同的。FIR濾波器常用設(shè)計方法主要有頻率采樣法、窗函數(shù)法和切比雪夫等波紋逼近法。

4 多相濾波的應(yīng)用

一個信號轉(zhuǎn)發(fā)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)框圖如圖3所示。首先對中頻信號高速采樣,然后經(jīng)過上變頻將信號變到一個高中頻上再D/A輸出即實(shí)現(xiàn)信號轉(zhuǎn)發(fā)。

圖3 信號轉(zhuǎn)發(fā)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)

為了有效地降低對混頻后的諧波抑制濾波器的要求,D/A前一般都要提高基帶的采樣率,這也是內(nèi)插處理經(jīng)常運(yùn)用在有上變頻運(yùn)算場合中的原因。通過內(nèi)插提高采樣序列的點(diǎn)數(shù),可以減小D/A輸出信號的失真程度,但同時對FPGA運(yùn)算速度的要求又是相當(dāng)高的,主要表現(xiàn)在低通濾波器位于內(nèi)插之后,也就是說數(shù)字濾波器是在較高采樣率條件下進(jìn)行的,這無疑大大提高了對運(yùn)算速度的要求,對實(shí)時處理是極其不利的。

在該系統(tǒng)中數(shù)字功能全部采用Xilinx公司的FPGA實(shí)現(xiàn),D/A的速率也就是內(nèi)插器的工作頻率達(dá)到了315 MHz,而數(shù)據(jù)速率高于300 MHz時,在FPGA中已經(jīng)無法直接實(shí)現(xiàn)內(nèi)插后的FIR低通濾波器,由于多相濾波器能在低的采樣率下輸出高采樣率信號,此時必須采用基于濾波器的多相分解技術(shù),通過改變內(nèi)插的位置來降低數(shù)字濾波器的處理速度。這里,由于數(shù)據(jù)速率過高,上變頻采用了多路并行變頻處理方案。

5 結(jié)束語

隨著數(shù)字信號處理的迅速發(fā)展,在現(xiàn)代數(shù)字系統(tǒng)中往往不會是從輸入到輸出都保持單一的采樣率,于是多采樣率信號處理發(fā)展為數(shù)字信號處理中一個重要的分支,并廣泛應(yīng)用于通信、數(shù)字信號處理、天線及雷達(dá)等領(lǐng)域,多速率信號處理使得對信息操作的靈活度有很大提高,其應(yīng)用前景十分廣闊。

多速率信號處理中的多相濾波技術(shù)不僅能夠?qū)崿F(xiàn)分?jǐn)?shù)比倍數(shù)的抽取和內(nèi)插,在基于軟件無線電的寬帶數(shù)字信道化接收機(jī)中,采用重疊一半多相濾波的信道化接收機(jī)就可以實(shí)現(xiàn)針對大帶寬、跳頻信號的全概率接收。此外,基于多相濾波的數(shù)字正交下變頻也可以方便地在較低采樣率下快速實(shí)現(xiàn)中頻數(shù)字化,是一種非常理想的下變頻方案。

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