原始EPR佯謬本征態(tài)的量子力學(xué)

劉雅超，黎 明，呂惠民，唐遠(yuǎn)河

(西安理工大學(xué)應(yīng)用物理系，陜西 西安 710048)

0 引 言

1935年，Einstein、 Podolsky和Rosen合作發(fā)表了一篇名為“能夠認(rèn)為量子力學(xué)對(duì)物理實(shí)在的描述是完備的嗎？”的文章[1]．文中構(gòu)造一奇特的無(wú)自旋二粒子系統(tǒng)，通過(guò)兩粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量關(guān)聯(lián)來(lái)質(zhì)疑量子力學(xué)的完備性，此即原始的EPR佯謬．它和“薛定諤貓態(tài)”在歷史上一起給出了對(duì)糾纏態(tài)的最早描述[2]．由于粒子動(dòng)量和坐標(biāo)算符的本征值都是連續(xù)譜，又有經(jīng)典對(duì)應(yīng)，給問(wèn)題的討論和理解都帶來(lái)困難．后來(lái)，經(jīng)過(guò)Bohm的重新表述，將問(wèn)題簡(jiǎn)化為對(duì)只有兩個(gè)本征值的電子自旋糾纏態(tài)的討論[3]. 此即Bohm版本的EPR佯謬, 或稱 EPRB思想實(shí)驗(yàn). 問(wèn)題的轉(zhuǎn)機(jī)發(fā)生在1964年，Bell的工作將純思辨的思想實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)為可以實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的Bell不等式[4]．之后，1969年基于光子偏振糾纏的實(shí)驗(yàn)方案被提出[5]．決定性的實(shí)驗(yàn)工作在上世紀(jì)八十年代初完成[6-7]．實(shí)驗(yàn)表明量子力學(xué)理論的正確性，也表明糾纏態(tài)確實(shí)存在．隨后基于雙光束光振幅關(guān)聯(lián)的連續(xù)變量EPR糾纏態(tài)也被建議并在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)[8-9]．而以動(dòng)量位置糾纏態(tài)為基礎(chǔ)[10]的連續(xù)變量量子通信[11-12]和量子計(jì)算[13]的研究進(jìn)一步促進(jìn)了對(duì)原始EPR佯謬的理解[14-15]．2004年，在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了雙光子的動(dòng)量位置的糾纏態(tài)[16]．至今，對(duì)有質(zhì)量的粒子(如電子)的動(dòng)量，坐標(biāo)或自旋的糾纏態(tài)都還沒(méi)有在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)．而對(duì)坐標(biāo)動(dòng)量糾纏態(tài)的物理理解還有待深入．本文試圖不用密度矩陣的方法，而從量子力學(xué)的對(duì)易關(guān)系分析入手, 結(jié)合對(duì)原始EPR佯謬文章中所給出的本征態(tài)在動(dòng)量表象和坐標(biāo)表象的波函數(shù)的深入分析，揭示其在不同表象波函數(shù)中的特征表現(xiàn)，澄清動(dòng)量和坐標(biāo)糾纏態(tài)的量子物理內(nèi)涵．

1 原始EPR佯謬

對(duì)原始EPR佯謬的問(wèn)題可以簡(jiǎn)述如下[17]：有一個(gè)一維的量子力學(xué)系統(tǒng)S，由粒子1和粒子2組成．兩粒子的坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符是

(1)

滿足基本對(duì)易關(guān)系

(2)

(3)

(4)

(5)

于是根據(jù)量子力學(xué)，它們有共同本征態(tài)，而本征值可分別為

x1-x2=a

(6)

p1+p2=0

(7)

以這兩個(gè)算符的本征值為標(biāo)志，該本征態(tài)可記為|a,0〉．

對(duì)于一維的二粒子系統(tǒng)，這是非常奇怪的本征態(tài)[18-19]：兩個(gè)以相反動(dòng)量運(yùn)動(dòng)的粒子居然可以保持它們的距離不變！從經(jīng)典力學(xué)粒子運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看，這種運(yùn)動(dòng)是難以想象的．以至于文獻(xiàn)[17]中說(shuō)，“EPR文章所舉的例子里，所用的態(tài)函數(shù)雖然在數(shù)學(xué)上是可能的，但誰(shuí)也想不出怎樣實(shí)現(xiàn)這種兩個(gè)粒子有著相反方向的動(dòng)量，卻又始終保持一定距離的臆想的追隨運(yùn)動(dòng). 難怪好多人把這場(chǎng)(Einstein 同Bohr的)爭(zhēng)論只當(dāng)作是一場(chǎng)不會(huì)有結(jié)果的空談．”然而現(xiàn)在人們知道這絕非空談．對(duì)兩個(gè)光子組成的系統(tǒng)，這樣的本征態(tài)已在實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)[16]．本文的目的是通過(guò)量子力學(xué)的分析來(lái)理解它．探究明白這個(gè)經(jīng)典力學(xué)看來(lái)不可想象的本征態(tài)真正的量子物理內(nèi)涵．

1.1 對(duì)易關(guān)系

(8)

在此假設(shè)兩粒子有相同的質(zhì)量. 這不會(huì)改變筆者將得到的結(jié)論．筆者發(fā)現(xiàn)

(9)

(10)

|x,p0〉1?|x-a,-p0〉2=

(11)

的形式．所以，將由|a,0〉代表的本征態(tài)描述成是具有等大而反向的動(dòng)量而又保持距離不變的兩個(gè)粒子是不合適的．因?yàn)檫@種經(jīng)典力學(xué)式的陳述必然假定兩個(gè)粒子的動(dòng)量是確定的．事實(shí)上，雖然在經(jīng)典力學(xué)里，不能想象粒子同時(shí)具有各種不同的動(dòng)量，而在量子力學(xué)里，由于態(tài)的疊加原理，這確實(shí)是可以的．再?gòu)膽B(tài)|a,0〉在不同表象的波函數(shù)來(lái)研究它．

1.2 坐標(biāo)表象

數(shù)學(xué)上，|a,0〉在坐標(biāo)表象的波函數(shù)ψ(x1,x2)的表達(dá)式為[1-2]

δ(x1-x2-a)

(12)

aδ((x1-x2)-a)

(13)

(14)

由以上兩式可以確認(rèn)(12)式就是我們所討論的本征態(tài)|a,0〉在坐標(biāo)表象的波函數(shù)．該函數(shù)δ(x1-x2-a)表明，粒子1和粒子2的位置處于糾纏狀態(tài)，即雖然坐標(biāo)x1和x2可以任意取值，但它們之差必須保持不變，始終為a．

1.3 動(dòng)量表象

為了進(jìn)一步分析本征態(tài)|a,0〉的內(nèi)涵，將ψ(x1,x2)在二粒子體系的動(dòng)量本征態(tài)上展開

(15)

其中φ(p1,p2)為本征態(tài)|a,0〉在動(dòng)量表象的波函數(shù)，由表象變換可得

(16)

此波函數(shù)表明， 若將粒子1所在位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)，即粒子1坐標(biāo)為0，則粒子2坐標(biāo)為-a，坐標(biāo)差即距離為a；而動(dòng)量波函數(shù)中δ(p1+p2)因子的存在則說(shuō)明兩粒子的動(dòng)量存在糾纏，即取值必須始終等大反號(hào)．

或者，可將粒子2所在位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有

(17)

由上可知，在此參考系下，粒子1坐標(biāo)為a，粒子2坐標(biāo)為0，距離依然為a，動(dòng)量糾纏保持不變．

而若將兩粒子的質(zhì)心位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)，所得波函數(shù)將更為對(duì)稱，此時(shí)，

(18)

筆者注意到，當(dāng)P1→-p2，p2→-p1,波函數(shù)(18)保持不變，而波函數(shù)(16)和(17)互換．

(19)

而對(duì)波函數(shù)(16)和(17)，任取粒子1或粒子2的位置坐標(biāo)，它們亦保持不變．

2 結(jié) 語(yǔ)

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