關(guān)于一類具有垂直傳染與治療SIR模型產(chǎn)生后向分支的研究

段西超,楊艷華（.空軍第一航空學(xué)院基礎(chǔ)部,河南信陽(yáng)464000；.信陽(yáng)農(nóng)業(yè)高等專科學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)系,河南信陽(yáng)464000）

關(guān)于一類具有垂直傳染與治療SIR模型產(chǎn)生后向分支的研究

段西超1,楊艷華2
（1.空軍第一航空學(xué)院基礎(chǔ)部,河南信陽(yáng)464000；2.信陽(yáng)農(nóng)業(yè)高等?？茖W(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)系,河南信陽(yáng)464000）

考慮了有限治療資源和垂直傳染的一類傳染病模型,當(dāng)染病個(gè)體數(shù)量小于某確定值時(shí),治療康復(fù)人數(shù)與染病個(gè)體數(shù)成比例；當(dāng)染病個(gè)體數(shù)量大于某確定值時(shí),治療康復(fù)人數(shù)是確定常數(shù)值.確定了模型的基本再生數(shù)R0.在一定條件下,當(dāng)R0＞1時(shí),地方病平衡點(diǎn)E*是漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)R0＜1時(shí),后向分支就產(chǎn)生了.

傳染?。缓笙蚍种?；治療；垂直傳染

許多疾病的傳染除了接觸傳染外還有母嬰垂直傳染[1],例如：?jiǎn)渭儼捳?、乙肝、南美洲錐蟲(chóng)病等疾病[2-3].在昆蟲(chóng)和植物中,垂直傳染經(jīng)常來(lái)自蟲(chóng)卵和種子.Busenberg和Cooke研究了一類具有垂直傳染和水平傳染的傳染病模型[4],我們希望通過(guò)研究發(fā)現(xiàn),在具有垂直傳染和水平傳染的傳染病模型中產(chǎn)生后向分支.

1 模型的建立

在文獻(xiàn)[4]我們看到了標(biāo)準(zhǔn)SIR模型中產(chǎn)生了后向分支,并且都研究了由不同原因?qū)е潞笙蚍种У漠a(chǎn)生[5-6].由此可見(jiàn),基本再生數(shù)不再是描述疾病是否消失的唯一尺度.所以,通過(guò)研究后向分支確定控制疾病的閾值顯得十分重要.這里有限治療對(duì)產(chǎn)生后向分支起到了至關(guān)重要的作用.

將人口分為易感者、染病者和康復(fù)者,分別表示為：S,I和R.假定人口出生率和自然死亡率相等都記為d,并假設(shè)沒(méi)有因病死亡人口,所以總?cè)丝趹?yīng)該保持常數(shù)不變[2]；.有如下模型：

接下來(lái)的部分研究系統(tǒng)（2）的后向分支情況和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.

2 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

這部分研究系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性.E0=（1,0）是無(wú)病平衡點(diǎn).正平衡點(diǎn)應(yīng)該滿足：當(dāng)0≤I≤I0時(shí),式（4）成立,當(dāng)I0≤I時(shí),式（5）成立：

計(jì)算可知它等價(jià)于

因此,I1＞I0當(dāng)且僅當(dāng)p1＜R0＜p2.當(dāng)p2＜R0或R0＜p1時(shí)I1≤I0.類似的討論可以得到I2＞I0,當(dāng)R0＞p1時(shí),或者當(dāng)p2＜R0≤p1時(shí).此外,若R0≤min則有I2≤I0.

綜上所述,可得如下定理：

易見(jiàn),p1＜p2等價(jià)于d???(d ??)I0,由此可得到如下定理：

定理2當(dāng)R0＜p0時(shí),正平衡點(diǎn)E1和E2都不存在.但是當(dāng)R0≥p0時(shí),有：

對(duì)于當(dāng)R0＜1時(shí),系統(tǒng)產(chǎn)生正平衡點(diǎn)即后向分支有很好的實(shí)際意義.下面的推論將給出系統(tǒng)產(chǎn)生后向分支的條件.

推論當(dāng)R0＜1時(shí),如果d???(d ??)I和P0＜1成立,那么系統(tǒng)（3）將產(chǎn)生后向分支.

這個(gè)推論只是定理2中（1）部分的另一種表述方式.下面討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,有如下定理.

定理3若R0＜1,E0=（1,0）是漸進(jìn)穩(wěn)定的；若R0＞1,E0=（1,0）是不穩(wěn)定的.若I*＜I0,E*=（S*,I*）是漸進(jìn)穩(wěn)定的.若E1存在,則它是一個(gè)鞍點(diǎn),對(duì)于E2,有

證明：參見(jiàn)文獻(xiàn)[4]和定理1.

通過(guò)構(gòu)造Dulac函數(shù),參見(jiàn)文獻(xiàn)[4]可以證明無(wú)病平衡點(diǎn)E0的全局穩(wěn)定性,有如下定理：

定理4如果下列條件滿足,E0=（1,0）是全局穩(wěn)定的.

（1）R0＜1且p0＞1；（2）R0＜1,p0＜1,且p1＞1.

3 討論

本文我們研究了一類傳染病模型.對(duì)這類模型,假定沒(méi)有因病死亡,且假設(shè)出生率與自然死亡率相等,這就保證了總?cè)丝谔幱诤愣ú蛔兊臓顟B(tài).進(jìn)而,使得醫(yī)療水平保持不變這一條件變得更貼近現(xiàn)實(shí).推論明確揭示了后向分支的產(chǎn)生源自有限的治療水平,同時(shí)也說(shuō)明了當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí),不一定保證疾病的消失.這就預(yù)示著染病個(gè)體必須控制在一定閾值條件以下.否則,在一定條件下疾病就會(huì)處于弱持續(xù)生存狀態(tài).

[1]Michael Y L,Smith H L.Global dynamic of an SEIR epidemic modelwith vertical transmission[J].SIAM J.Appl.Math,2001,62（1）：58-69.

[2]Bellenir K,Dresser P.Contagious and Non-Contagious Infectious Diseases Sourcebook[M].Detroit.：Health Science Series. Omnigraphics Inc.,1996.

[3]Busenberg S,Cooke K.Vertically Transmitted Diseases[M].Berlin,New York：Springer-Verlag,1993.

[4]WangW.Backword bifurcation ofan epidimicmodelwith treatment[J].Math.Biosci,2006,201：58-71.

[5]Arino J,McCluskey CC,den Driessche P.Global results foran epidemicmodelwith vaccination thatexhibitsbackward bifurcation [J].SIAMJ.Appl.Math.,2003,64：260-275.

[6]Dushoff J,HuangW,Castillo CC.Backward bifurcationsand catastrophe in simplemodelsof fataldisease[J].J.Math.Biol,1998,36：227-242.

（責(zé)任編輯：盧奇）

Backward bifurcation of an SIR epidem icmodelw ith treatment and vertical transm ission

Duan Xichao1,Yang Yanhua2
（1.The FirstAeronauticalCollegeof Air Force,Xinyang464000,China；2.Xinyang Agricultural College,Xinyang 464000,China）

An epidemicmodel that incorporates a limited resource for treatment and vertical transmission have been considered.The total host population is assumed to have constant density.It is assumed that treatment rate is proportional to the number of infectivities below the capacity and is a constantwhen the number of infectivities is greater than the capacity.The basic reproduction number of the disease R0is found.If R0＞1 the endemic equilibrium E*is asymptotically stable under some conditions.If R0＜1 a backward bifurcation occurs.

epidemic,bifurcation,treatment,vertical transmission.

Q332

A

1008-7516（2011）05-0047-04

10.3969/j.issn.1008-7516.2011.05.012

2011-07-08

段西超（1982-）,男,河南許昌人,碩士,講師.主要從事生物數(shù)學(xué)研究.