數(shù)學(xué)分形與設(shè)計(jì)美學(xué)

文/王明君 劉裔博 曹玉梅 趙亦兵 王 武

王明君（江南大學(xué)至善學(xué)院 學(xué)生）

Wang Mingjun (Student，Honors School，Jiangnan University）

劉裔博（江南大學(xué)至善學(xué)院 學(xué)生）

Liu Yibo (Student，Honors School，Jiangnan University）

曹玉梅（江南大學(xué)至善學(xué)院 學(xué)生）

Cao Yumei (Student，Honors School，Jiangnan University）

趙亦兵（江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 副教授）

Zhao Yibing (Associate Professor，School of Mechanical Engineering，Jiangnan University）

王 武（江南大學(xué)生物工程學(xué)院 教授）

Wang Wu（Professor，School of Biology and Engineering，Jiangnan University）

不可否認(rèn)，數(shù)學(xué)本身就是一種美。但提到數(shù)學(xué)，很多人的第一印象是“枯燥乏味、缺乏色彩”。很長(zhǎng)時(shí)間以來，在美學(xué)的精彩世界里，沒有數(shù)學(xué)的立足之地，數(shù)學(xué)之美隱藏在深?yuàn)W的公式里、游離于直覺的具象之外，不免是一種遺憾。著名數(shù)學(xué)大師陳省身先生說過“數(shù)學(xué)是美的”，并曾于91歲高齡時(shí)為少年兒童題詞，寫下了“數(shù)學(xué)好玩”四個(gè)大字。[1]英國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家B?A?W羅素（Russell）1910年在《哲學(xué)論文》雜志發(fā)表《數(shù)學(xué)的研究》一文，在該文中，他提出：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理,而且也具有至高的美。它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到只有偉大的藝術(shù)才能譜寫的那種完美的境地?！盵2]事實(shí)如此，數(shù)學(xué)的魅力不僅體現(xiàn)在對(duì)真理和規(guī)律的精辟提煉和精準(zhǔn)表達(dá)，還在于它所隱藏的無與倫比的美。數(shù)學(xué)之美，美在它的包羅萬象，藉此，僅圍繞展示數(shù)學(xué)特殊的美，從數(shù)理學(xué)科常用的數(shù)學(xué)公式中遴選出少數(shù)范例，通過信息化手段，進(jìn)行藝術(shù)的詮釋和演繹，并探討有關(guān)設(shè)計(jì)美學(xué)應(yīng)用的前景。

一、眾里尋他千百度——數(shù)學(xué)美的魅力

圖1 y=x2函數(shù)的二維對(duì)稱圖形

圖2 z=x3+y3函數(shù)可演繹的精美圖形

對(duì)于數(shù)學(xué)公式的藝術(shù)詮釋，方法不同，其效果也不同。從簡(jiǎn)單的曲線到復(fù)雜的圖案，本質(zhì)上是算法的區(qū)別。作為對(duì)數(shù)學(xué)公式藝術(shù)性的詮釋，所要實(shí)現(xiàn)的就是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、單一到豐富的演變過程，實(shí)現(xiàn)可以令人信服的藝術(shù)表達(dá)。那么究竟什么樣的圖形才是內(nèi)容豐富、色彩多樣的呢？

從廣義上講，數(shù)學(xué)圖形包括一切與數(shù)學(xué)有關(guān)的圖形，如幾何圖形、函數(shù)圖形等。按空間維數(shù)劃分，則包括平面圖形、三維圖形、思維動(dòng)態(tài)圖形等。隨著信息化和數(shù)字媒體技術(shù)的廣泛應(yīng)用，借助應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件（Mathematica、Maple、MathCad、Matlab、幾何畫板）、計(jì)算機(jī)繪制的圖形（如分形圖形、微分方程的解曲線）也都屬于數(shù)學(xué)圖形的范疇。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)圖形多是由規(guī)則的直線段、圓弧、平面及曲面等組成，如圖1和圖2分別是一元函數(shù)y=x2和二元函數(shù)z=x3+y3的函數(shù)圖形，它們?cè)诳臻g上具有簡(jiǎn)單美、對(duì)稱美等特點(diǎn)，這對(duì)于數(shù)學(xué)規(guī)律研究具有很大意義。但不可否認(rèn)的是，這些圖形因?yàn)楹?jiǎn)單而顯得單調(diào)和空洞，藝術(shù)價(jià)值大打折扣，因而在美學(xué)藝術(shù)上還有很大的發(fā)展空間。那么什么樣的圖形才是具有較高藝術(shù)欣賞價(jià)值的呢？答案很明確，就是能夠達(dá)到藝術(shù)家畫筆下的作品一樣，反映自然，內(nèi)容充實(shí)，色彩豐富、生動(dòng)而又活潑。要想達(dá)到這樣的效果，研究者就必須能夠通過數(shù)學(xué)和信息化手段對(duì)于特定區(qū)域內(nèi)各個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)進(jìn)行色彩上的控制，根據(jù)每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)公式里的不同意義，定義不同的顏色。當(dāng)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)被完全控制之后，組合在一起，那么性質(zhì)相似或相同的點(diǎn)在色彩上相似或相同，便組成一定的圖案，形象地反映出數(shù)學(xué)公式的內(nèi)在意義。所以，這種圖形應(yīng)該具有不規(guī)則、對(duì)稱、隨機(jī)的特性，具有奇幻的藝術(shù)想象空間。是的，在數(shù)學(xué)上，恰有一類處理具備這些特性和要求，這就是誕生于20世紀(jì)后期的分形理論與技術(shù)。分形隸屬于幾何學(xué)范疇，卻打破了經(jīng)典幾何學(xué)的束縛，因而自誕生之日起，就是這樣一個(gè)科學(xué)與藝術(shù)彼此溝通融合的契合點(diǎn)，以自然美為中介而游走于科學(xué)與藝術(shù)之間的一個(gè)神奇的精靈。[3]分形便成為詮釋數(shù)學(xué)公式藝術(shù)價(jià)值的重要工具，它以學(xué)科交叉性強(qiáng)、抽象與具象相統(tǒng)一的獨(dú)特的魅力，吸引了一批數(shù)學(xué)家、藝術(shù)家、設(shè)計(jì)大師的注意力。

圖3 Koch曲線

圖4 函數(shù)f(z)=zn+c的逃逸時(shí)間算法演繹圖形

二、千錘萬鑿出深山——數(shù)學(xué)分形美的探尋

（一）分形引論

1973年，美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家Benoit Mandelbrot在法蘭西學(xué)院講課時(shí)，首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想。Benoit Mandelbrot創(chuàng)造了分形（Fractal）一詞，他把分形定義為“一個(gè)不規(guī)則的幾何形體，但在不同的尺度下看它，具有相同或相似的結(jié)構(gòu)?！辈灰?guī)則性在大自然中普遍存在，所以分形又可以稱之為自然幾何學(xué)，它以自然現(xiàn)象為研究切入點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)學(xué)研究方法，反映自然現(xiàn)象的本質(zhì)。所以，分形理論一經(jīng)提出，便引起了不同領(lǐng)域不同學(xué)者的極大興趣。按照Benoit Mandelbrot對(duì)分形的定義，分形具有以下的一些性質(zhì)：

宏觀上看，形態(tài)的不規(guī)則性。微觀上看，無限的精細(xì)結(jié)構(gòu)。不同尺度上看，具有自相似性（即局部與整體的相似）。 自相似性是分形最主要的特征，無限的自相似則構(gòu)成了一副分形圖。如圖3是瑞典數(shù)學(xué)家科赫（H.von Koch）在1904年首次提出的“妖魔曲線”，被稱之為Koch曲線。它的構(gòu)造過程是這樣的，將一條直線段三等分，然后將中間一段用夾角為60度的兩段等長(zhǎng)直線段代替，形成一段曲線。然后將該段曲線中的四段直線段按照相同的方法進(jìn)行替換，經(jīng)過無窮多次操作之后，便得到上述Koch曲線，這種結(jié)構(gòu)上的特性便是自相似性。

不同于傳統(tǒng)的歐幾里得幾何學(xué)用直線段、圓弧、平面及曲面等手段來分析自然界的各種現(xiàn)象，分形幾何是用不規(guī)則的、破碎的幾何形態(tài)來分析，因而更加符合自然界事物不規(guī)則幾何形態(tài)的現(xiàn)狀。[4]經(jīng)過幾十年的發(fā)展，分形已經(jīng)形成了完整的理論體系。分形理論基礎(chǔ)，特別是分形圖在幾何性質(zhì)上的“自相似”性，為計(jì)算機(jī)繪制美麗的分形圖奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)、開拓了廣闊的空間。[5]

（二）分形算法

目前的分行算法主要有遞歸算法、文法構(gòu)圖算法、迭代函數(shù)系統(tǒng)算法、逃逸時(shí)間算法、分形演化算法等，同一數(shù)學(xué)表達(dá)式在不同算法條件下所得到的圖形有所不同。迭代函數(shù)系統(tǒng)算法和逃逸時(shí)間算法的應(yīng)用較多。

1.迭代函數(shù)系統(tǒng)算法

迭代函數(shù)系統(tǒng)（Iteration Function System）最早是由Hutchison在1981年提出的。美國(guó)佐治亞理工學(xué)院的M F Bamsley等人在SIGGRAMPH85，SIGGRAMPH88國(guó)際會(huì)議上做了專題報(bào)告，使IFS成為分形圖像壓縮的基礎(chǔ)，從而使IFS成為分形圖形學(xué)最有生命力的領(lǐng)域之一。[6]

來看這樣一組函數(shù)方程：x’ =ax+by+c,y’ =dx+ey+f，稱此變換為仿射變換，其中x，y表示圖形變換前的坐標(biāo)，x’和y’表示變換后的坐標(biāo)，a～f為變換系數(shù)。對(duì)于一個(gè)仿射變換族{wn}來實(shí)現(xiàn)對(duì)某一圖形的變換，變換形式相同，變換系數(shù)不盡相同。也就是說仿射變換族{wn}中每一個(gè)仿射變換w被調(diào)用的概率P不同。從而，仿射變換系數(shù)a～f和概率P便組成了IFS算法最關(guān)鍵的部分。

2.逃逸時(shí)間算法

對(duì)于函數(shù)f(z)= z2+c，其中z和c都是復(fù)數(shù)。不妨先來考慮c=0的情況，設(shè)z=x+yi,則∣z∣= z2+y2 ，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，∣z∣的幾何意義是從原點(diǎn)到復(fù)平面上z點(diǎn)的距離。假設(shè)此方程以z0( x0, y0)開始迭代，已知∣f(z0)∣=∣z02∣+∣z0∣2：

(1)當(dāng)∣z0∣<1時(shí)，在此區(qū)域中∣f(z0)∣<∣z0)∣，那么對(duì)f(z)= z2的每一次迭代，令zn+1=zn2，結(jié)果使得z向0收斂，或者說0是z的吸引子。

(2)當(dāng)∣z0∣>1時(shí)，類似于上面的討論，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過迭代之后z會(huì)趨向于∞，也就是說，z向∞逃逸。

(3)當(dāng)∣z0∣= x02+y02 ，z的軌跡則是平面上的單位圓。

于是，復(fù)平面便被分為兩個(gè)區(qū)域，一個(gè)區(qū)域使落在其中的點(diǎn)向0收斂，而另一個(gè)區(qū)域使落在其中的點(diǎn)向∞逃逸，它們的分界線便是f(z0)=1的單位圓。

當(dāng)c≠0時(shí)，吸引子變?yōu)橐粋€(gè)區(qū)域，被吸進(jìn)去的點(diǎn)會(huì)遍歷整個(gè)區(qū)間，這個(gè)區(qū)域被稱之為混沌區(qū)。同時(shí)，混沌區(qū)和向∞逃逸的界線不再是單位圓，而成為一個(gè)不規(guī)則且不光滑的分界線。

根據(jù)上述的思想，可以進(jìn)行這樣的假設(shè)：設(shè)有一個(gè)足夠大的整數(shù)N，如果初始點(diǎn)a從未逃逸區(qū)域S開始迭代，經(jīng)過有限數(shù)次（N）迭代就達(dá)到逃逸區(qū)域S的邊界甚至超出了邊界，便可認(rèn)為點(diǎn)a逃逸到逃逸區(qū)域S了；如果經(jīng)過N次迭代后a的軌跡仍然落在收斂區(qū)域A內(nèi)，則可以認(rèn)為，a 是收斂區(qū)域A上的點(diǎn)。這就是逃逸時(shí)間算法的基本思想。[7]

（三）信息化處理

上述關(guān)于算法的處理是從數(shù)學(xué)上對(duì)分形的研究，它讓人們從最初的對(duì)分形的感性認(rèn)識(shí)上升到理性的分析，從而為整個(gè)學(xué)科的完善奠定了理論基礎(chǔ)。而計(jì)算機(jī)技術(shù)的引用，使得分形的數(shù)學(xué)和藝術(shù)魅力更加閃耀。

分形誕生之日正是計(jì)算機(jī)技術(shù)大力發(fā)展之時(shí)，一方面計(jì)算機(jī)的應(yīng)用大大推動(dòng)了分形理論的發(fā)展，并由于計(jì)算機(jī)模擬成功展現(xiàn)的優(yōu)美的分形圖像，迅速擴(kuò)大了分形的影響；另一方面分形理論也推動(dòng)了計(jì)算機(jī)圖像學(xué)的發(fā)展，分形與圖像研究的結(jié)合導(dǎo)致了分形圖像學(xué)的產(chǎn)生。

利用上述的各種算法思想，對(duì)不同的數(shù)學(xué)公式的算法演繹編譯成各種編程語言，如Matlab，VB，VC等等。選定算法后，對(duì)于設(shè)定的不同參數(shù)，通過一定的計(jì)算，若結(jié)果滿足某個(gè)條件就賦予某種色彩，否則賦予另一種色彩，這樣對(duì)于一定區(qū)域內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行控制，便可以形成一定的圖案，這樣的圖形便形象地反映了數(shù)學(xué)公式或數(shù)學(xué)算法的內(nèi)在規(guī)律。

三、不盡長(zhǎng)江天際流——分形對(duì)美的演繹

世界上從來就沒有無緣無故的美，也沒有無緣無故的愛。對(duì)分形美的衷愛絕不僅是一見鐘情，分形圖形所反映的規(guī)律以及對(duì)數(shù)學(xué)的完美演繹才是眾多數(shù)學(xué)家和藝術(shù)家為之輕狂的根本原因。那么分形的魅力究竟藏于何處，不妨一一演繹。

如圖4是函數(shù)f(z)=zn+c基于逃逸時(shí)間算法計(jì)算機(jī)模擬出來的。不難發(fā)現(xiàn)隨著變量z次數(shù)的變化，生成的分形圖的中心個(gè)數(shù)隨之發(fā)生變化。由函數(shù)自身的性質(zhì)，方程f(z)=zn+c=0解的個(gè)數(shù)是n，每一個(gè)解都是相互獨(dú)立又彼此聯(lián)系的。不同的解周圍的非函數(shù)解相對(duì)于其距離最近的解便具有相同的性質(zhì)，于是在分形圖上便通過相同顏色表現(xiàn)出來。通俗地講就是，n個(gè)解分布在一個(gè)中心周圍，即收斂于這個(gè)中心，而這n個(gè)解又作為二級(jí)中心，周圍分散著其他二級(jí)近似解，而這些二級(jí)近似解又作為三級(jí)中心，周圍分散著三級(jí)近似解，如此以至無窮，而其他與此無關(guān)的點(diǎn)并不收斂于任何中心，因而形成的分形圖是有界的。對(duì)此，分形圖形已初步詮釋了數(shù)學(xué)函數(shù)或公式的內(nèi)在意義。

再以f(z)=z6+c為例，繼續(xù)探尋常數(shù)c=u+vi不同取值時(shí)圖形和數(shù)學(xué)公式的密切關(guān)系。由圖5至少可以總結(jié)下述三點(diǎn)：

1.當(dāng)v不變時(shí)，存在值u0，使得當(dāng)︱u︱>︱u0︱，u絕對(duì)值越大圖形中心范圍越大，圖形越分散；當(dāng)︱u︱<︱u0︱，u絕對(duì)值越小圖形中心范圍越大，圖形越離散。

圖5 函數(shù)f(z)=z6+c的逃逸時(shí)間算法演繹分形圖

圖6 函數(shù)f( z )= z2+c 演繹的“矢車菊”圖案和自然界中的矢車菊

圖7 引入對(duì)數(shù)后演繹的“群燕共舞”圖案

2.當(dāng)u不變時(shí)，存在值v0，使得當(dāng)︱v︱>︱v0︱，v絕對(duì)值越大圖形中心范圍越大，圖形越分散；當(dāng)︱v︱<︱v0︱，v絕對(duì)值越小圖形中心范圍越大，圖形越離散。

3.u的符號(hào)決定圖形內(nèi)部的旋轉(zhuǎn)方向，u為正值時(shí)，為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，反之為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

當(dāng)uv絕對(duì)值均小于1時(shí)，生成的圖形內(nèi)容才可以相對(duì)豐富。經(jīng)不完全歸納得知，f(z)=z6+c的u=0.5,-0.27--0.29 v=-0.81--0.9 時(shí)可獲得比較好的圖形效果。但是無論怎樣改變u、v的數(shù)值和符號(hào)，圖形的基本單元并不改變，u、v只是改變這些單元的大小和位置。所以可以根據(jù)需要任意改變參數(shù)的大小和方向，得到預(yù)想的效果。

1.對(duì)于函數(shù)f( z )= z2+c ，選擇迭代方式：xk+1=｜xk2-yk2+u︳ yk+1=｜2xk-yk+v︳在該函數(shù)中，如令常數(shù)項(xiàng)c=0，則方程f=0僅有唯一的解，以零點(diǎn)為中心的二維區(qū)域，在等半徑的區(qū)域內(nèi)具有相同的斂散性，如圖6形象的反映了這一數(shù)學(xué)特征。令人意想不到的是，這樣一個(gè)函數(shù)經(jīng)過迭代演化出來的圖形竟然如此神奇，它和自然界中的矢車菊?qǐng)D案有著異曲同工之妙。

2.引入對(duì)數(shù)，改變迭代方式為 后，演繹生成的圖形如圖7：

引入對(duì)數(shù)之后，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)f(x)=lg/x/是關(guān)于y軸左右對(duì)稱的，擴(kuò)展到兩個(gè)自變量x,y時(shí)，對(duì)稱區(qū)域變?yōu)樗膫€(gè)，因?yàn)樗惴ㄖ惺侵貜?fù)的迭代，因而，在每一個(gè)對(duì)稱區(qū)域內(nèi)又分為四個(gè)次級(jí)對(duì)稱區(qū)域，如此以致無窮。這正是圖7中所反映的，四只燕子為一組，不斷相似的組合，構(gòu)成一幅群燕共舞的場(chǎng)面。

3.引入三角函數(shù)。

（1）函數(shù)仍為f(z)=z2+c時(shí)，迭代方式為xk+1=p2tanx0-q2tan2y0，

yk+1=2pqtanx0tany0時(shí)的演繹圖形如圖9。該迭代方式中是將x,y取正切值之后作為復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部進(jìn)行迭代的。已經(jīng)知道f(z)=z2+c=0圖形是圍繞兩個(gè)中心零點(diǎn)發(fā)散的，將自變量分別取正切值之后，函數(shù)的周期就變成了π，所有中心零點(diǎn)便會(huì)沿著x向和y向同時(shí)增加，反映在圖形上便是無數(shù)個(gè)自相似的小單元，這就是正切函數(shù)對(duì)圖形影響。

（2）迭 代方 式 為 xk+1=pxkcosyk，yk+1=qykcosyk時(shí)的演繹圖形如圖8。這一組迭代方式是隨機(jī)修改的，但卻無心插柳柳成蔭，經(jīng)過設(shè)定的算法演繹生成的圖形如此炫彩：流暢的線條，豐富的色彩，上下左右嚴(yán)格的對(duì)稱與和諧，并且具有三位空間效果。因此，數(shù)學(xué)和美術(shù)還有很多更深的聯(lián)系等待我們?nèi)ヌ骄俊?/p>

由此，分形不僅是一種科學(xué)，更可以作為一種藝術(shù)供人們欣賞。作為一個(gè)紐帶，將科學(xué)與藝術(shù)緊密相連。分形藝術(shù)以其自身獨(dú)特的視覺語言，加之科學(xué)技術(shù)的推陳出新，給人們呈現(xiàn)出了精美的畫卷，至極的視覺享受。

四、柳暗花明又一村——分形技術(shù)的應(yīng)用

隨著數(shù)學(xué)分形理論和分形美學(xué)的不斷發(fā)展，這一交叉學(xué)科將以全新的形式滲透到人類科技進(jìn)步與社會(huì)生活的各個(gè)方面，并引領(lǐng)更深入、更廣泛的創(chuàng)新與實(shí)際應(yīng)用。

（一）創(chuàng)新服飾圖案設(shè)計(jì)

最原始、最質(zhì)樸的原生態(tài)環(huán)境總會(huì)給藝術(shù)家們帶來數(shù)不清的靈感。我國(guó)民族傳統(tǒng)服飾中所蘊(yùn)含的原生態(tài)美，是一種最單純、最干凈的美。這種來自原生態(tài)的美學(xué)精髓，如果結(jié)合數(shù)學(xué)分形，尋覓出其中的理性規(guī)律和變換趨勢(shì)，可使原生態(tài)的美獲得新的詮釋，獲得再生的希望，使之成為一種至高至凈的可持續(xù)發(fā)展之美。理性提煉原生態(tài)藝術(shù)帶來的靈感，經(jīng)過分形處理可用于創(chuàng)新系列化服飾設(shè)計(jì)，如衣、帽、鞋以及其他相應(yīng)的配飾的設(shè)計(jì)中，反映出一套完整的分形變換。在服裝展示的過程中，系統(tǒng)設(shè)計(jì)的分形圖案在服飾表演的過程中動(dòng)態(tài)變換，理性表達(dá)，其價(jià)值在于反映數(shù)學(xué)與藝術(shù)結(jié)合的“大美”品質(zhì)，展示傳統(tǒng)與現(xiàn)代相交融的最新手法。這種設(shè)計(jì)概念與技術(shù)應(yīng)用定能推動(dòng)服飾設(shè)計(jì)延展并升級(jí)，促進(jìn)傳統(tǒng)服飾產(chǎn)業(yè)的更新?lián)Q代。

（二）標(biāo)識(shí)設(shè)計(jì)與信息防偽

分形美學(xué)圖案由公式、參數(shù)、色彩賦予、算法等諸多因素共同決定，因而分形圖案的具體生成結(jié)果是無限的。在知識(shí)產(chǎn)權(quán)得到高度保護(hù)的今天，在標(biāo)識(shí)圖案的設(shè)計(jì)和商業(yè)信息防偽方面引入分形美學(xué)技術(shù)不失為一種發(fā)展趨勢(shì)。知識(shí)產(chǎn)權(quán)擁有者掌握著標(biāo)識(shí)圖案的核心矢量、參數(shù)、方程，由此開發(fā)出的矢量圖形鎖，具有很強(qiáng)的保密性能，他人難以簡(jiǎn)單拷貝偽造，而且一旦發(fā)生侵權(quán)訴訟案件，標(biāo)識(shí)主權(quán)方擁有絕對(duì)的主動(dòng)權(quán)。再說分形圖形絢麗多彩，變換無窮，對(duì)視覺具有極強(qiáng)的沖擊力，對(duì)產(chǎn)品標(biāo)識(shí)也是一種無形的宣傳。分形美學(xué)應(yīng)用為商標(biāo)設(shè)計(jì)和使用注入高科技內(nèi)涵，并為追究違法責(zé)任起到不可替代的作用。

（三）產(chǎn)品設(shè)計(jì)

產(chǎn)品設(shè)計(jì)涉及結(jié)構(gòu)、外觀造型、色彩、工學(xué)功能以及包裝等，分形技術(shù)在產(chǎn)品設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用前景如下：分形圖不僅可在二維尺度上反映數(shù)學(xué)美的規(guī)律，三維空間里的分形處理，生成出立體幾何的最佳構(gòu)成，產(chǎn)生出光滑流暢的表面過渡，有助于表現(xiàn)出人們靠想象力得不到的立體印象。那些我們未曾感知的造型若應(yīng)用在工業(yè)產(chǎn)品的外觀設(shè)計(jì)上，不僅具有極高的藝術(shù)價(jià)值，還可以直接采用計(jì)算機(jī)程控，批量、標(biāo)準(zhǔn)化生產(chǎn)工業(yè)產(chǎn)品。色彩上可以直接利用分形中關(guān)于色彩賦予，配色效果是不可預(yù)測(cè)的，因而更具有創(chuàng)意的空間。并且，設(shè)計(jì)者還可靈活調(diào)整算法、顏色參變量等因子，這對(duì)于系列產(chǎn)品的創(chuàng)新設(shè)計(jì)更有意義。工學(xué)功能上，可以將關(guān)乎人體工學(xué)的相關(guān)公式編輯成分形程序，再應(yīng)用到產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)矢量定義將工學(xué)功能直接傳達(dá)到產(chǎn)品之中。分形在產(chǎn)品外包裝上的應(yīng)用更加直接，分形圖所包含的抽象、和諧、奇異的美，本身就具有無窮的吸引力，完全可以在產(chǎn)品視覺傳達(dá)上留下濃墨重彩的一筆。

（四）公共設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)和藝術(shù)有著更多元功能的體現(xiàn)。如在公共場(chǎng)所的雕塑設(shè)計(jì)中，如果打破傳統(tǒng)的手工雕琢設(shè)計(jì)方法，將分形原理應(yīng)用于雕塑的設(shè)計(jì)和制作中，采用現(xiàn)代化的加工設(shè)備，將可能開辟一片嶄新的藝術(shù)天地。這類設(shè)計(jì)已經(jīng)不再局限在單純的藝術(shù)水平之上，作品的銘牌上可將所采用的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)算法、色彩賦予等要素鐫刻其中，對(duì)于大眾知識(shí)普及和教育效果可能事半功倍。集藝術(shù)、知識(shí)為一體，反映學(xué)科交叉和技術(shù)融會(huì)的公共設(shè)計(jì)作品，不僅美化了城市公共空間，同時(shí)向公眾展示了現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的魅力。

（五）景觀設(shè)計(jì)

分形根據(jù)相似性的原理，很容易創(chuàng)造各種特殊的、意想不到的對(duì)稱規(guī)律；分形的漸變演化，很容易表現(xiàn)出由內(nèi)向外的發(fā)散特點(diǎn)或由外及里的收斂效應(yīng)，這種有別于傳統(tǒng)規(guī)整的幾何構(gòu)成與展示，在園林和景觀設(shè)計(jì)中，也許是一種全新的嘗試。并且，分形最初的含義就是非局限的、由離散趨向集成，由隨意形成規(guī)律，既可反映自然，又能超越自然。那種無規(guī)律演化成有序，隨機(jī)匯合成圖案，恰恰塑造了變幻無窮、多姿多彩的景觀藝術(shù)。在現(xiàn)代景觀設(shè)計(jì)中融入分形的概念和手法，也許對(duì)傳統(tǒng)的景觀設(shè)計(jì)形成顛覆性的沖擊，展現(xiàn)現(xiàn)代技術(shù)強(qiáng)大的影響力。

（六）益智游戲設(shè)計(jì)

經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展促進(jìn)人的工作、學(xué)習(xí)的節(jié)奏不斷加快，追求高品位的休閑體驗(yàn)，提高人的生活質(zhì)量是現(xiàn)代人的需求，休閑文化必然應(yīng)運(yùn)而生。為忙碌的上班族、兒童、老人設(shè)計(jì)出新穎的休閑設(shè)施和器具，勢(shì)在必行。分形益智游戲正是基于分形算法原理所設(shè)計(jì)的休閑小游戲，無論是建立在二維的巧妙拼接變換，還是三維的自由組裝搭建基礎(chǔ)上的設(shè)計(jì)，益智游戲的內(nèi)涵大大豐富。數(shù)學(xué)分形的自相似性、矢量界面的精確性，視覺傳達(dá)的新穎性，使之具有獨(dú)特的趣味性，對(duì)使用者產(chǎn)生極強(qiáng)的吸引力。數(shù)學(xué)分形益智游戲的創(chuàng)意魅力，就在于實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳達(dá)與休閑娛樂的有機(jī)結(jié)合，達(dá)到寓教于樂的目的，應(yīng)該是值得推崇、值得開發(fā)的創(chuàng)意產(chǎn)品。

圖8 （左） 正切函數(shù)引入后演繹的“創(chuàng)意廣場(chǎng)”圖案

結(jié)語

隨著現(xiàn)代科學(xué)與技術(shù)的不斷發(fā)展，學(xué)科交叉、技術(shù)集成逐漸成為一種主流趨勢(shì)。數(shù)學(xué)與藝術(shù)的交叉應(yīng)該引起更多的注意，應(yīng)該演繹出更多的成果。相信數(shù)學(xué)分形在不久的將來定會(huì)走進(jìn)設(shè)計(jì)美學(xué)的領(lǐng)地，定會(huì)大大提升人類的生活質(zhì)量，啟發(fā)人們深究科學(xué)的真諦，尋覓隱形的藝術(shù)的魅力！

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