二階擬線性拋物型方程極大值原理的一個(gè)簡單應(yīng)用

焦云芳

(晉城職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 山西 晉城 048026)

偏微分方程與生產(chǎn)實(shí)踐緊密聯(lián)系，如它密切聯(lián)系著物理學(xué)、力學(xué)和工程技術(shù)的許多問題，但我們都知道，非線性偏微分方程的求解是很困難的，于是不通過求解方程而獲得有關(guān)問題解的信息(如解的爆破性，解的先驗(yàn)估計(jì)、解的梯度估計(jì)、以及偏微分方程邊值問題解的存在性，唯一性，正則性等)[1]就顯得尤為重要，本文應(yīng)用二階擬線性拋物型方程:

βt(u)=Δu+f(x,t,u)

解的泛函:

V(x,t)=g(u)ut+h(u)

在第一邊值問題中的極大值原理[2-4]來討論解的爆破性.

定理1作為二階擬線性拋物型方程βt(u)=Δu+f(x,t,u)解的泛函V(x,t)=g(u)ut+h(u)在第一邊值問題中的極大值原理[1]的一個(gè)推論：

定理1 假設(shè)u是問題:

(1)

的充分光滑正解，并且滿足下列條件：

(b)對(duì)于0

有：

從而：ΔJ-2(logg′)′u

(2)

由條件1)可知式(2)右端非正， 從而由拋物型方程的極大值原理知：J只能在t=0或?Ω獲取極小值.

由條件2)得：J(x,0)=Δu0+f(u0)-δf(u0)≥0.另外，注意到：

u=0，?Ω×(0,T)上，有:ut=0，?Ω×(0,T)上，從而J=0，在?Ω×(0,T)上.

(3)

當(dāng)：

于是：-(G(u))t≥δ，Ω×(0,T)內(nèi),兩邊積分得：G(u(x,t))-G(u(x,T))≥δ(T-t),

例1 設(shè)u是問題：

例2 設(shè)w是問題.

的光滑正解,令eαw=u,則上述問題可轉(zhuǎn)化為:

參考文獻(xiàn):

[1]Sperb R P.Maximum principles and their Application[M]. New York： Academic Press,1981.

[2]焦云芳.關(guān)于泛函V(x,t)=g(u)ut+h(u)的極大值原理[J].吉林教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2010(11)：153-154.

[3]Zhang Hailiang，Zhang Wu．Blow-up rate of positive solution of uniformly parabolic equation with nonlinear boundary conditions[J].Ann of Diff Eqs,2003,19(3):439-444.

[4]林長好. 一類二階拋物方程解的極值原理和界[J]．中山大學(xué)學(xué)報(bào)，1986(3):50-54.