低速流場(chǎng)中的聲傳播模擬

倪大明，張文平，明平劍

(哈爾濱工程大學(xué)動(dòng)力與能源工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

計(jì)算氣動(dòng)聲學(xué)已經(jīng)成為預(yù)測(cè)聲產(chǎn)生和傳播的普遍工具［1］，其主要分為兩大類:1)是基于 Lighthill［2］聲比擬分析，結(jié)合聲源(單極子，雙極子，四極子)求解線性波動(dòng)方程;2)是求解可壓縮的歐拉或N-S方程［3］.前者主要是在聲源和遠(yuǎn)場(chǎng)建立關(guān)系，在其線性模型中反射、衍射以及一些非線性因素不被考慮，其主要用于預(yù)測(cè)聲場(chǎng)遠(yuǎn)場(chǎng)，而后者考慮了非線性因素，但是由于計(jì)算資源的限制，模擬聲傳播很遠(yuǎn)的距離計(jì)算量是很大的，因此，其主要被用于預(yù)測(cè)聲場(chǎng)近場(chǎng).

對(duì)于高速流，Tam［4］提出了一種可壓縮歐拉和可壓縮N-S耦合的方法預(yù)測(cè)近場(chǎng)的聲產(chǎn)生和傳播.對(duì)于低速流，Hardin［5］在交錯(cuò)網(wǎng)格的基礎(chǔ)上提出了二步法可預(yù)測(cè)聲產(chǎn)生和傳播，SHEN等在其基礎(chǔ)上在極坐標(biāo)系下改進(jìn)了二步法，并將其推廣到層流［6］和湍流［7］.對(duì)于均勻流場(chǎng)中的聲傳播問(wèn)題，張榮欣等［8］采用切比雪夫譜元方法求解亞音速均勻流場(chǎng)中的輻射聲場(chǎng)，X.Nogueira等［9］在基于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格下提出了一種高精度有限體積法可以求解亞音速和超音速均勻流場(chǎng)中的輻射聲場(chǎng).

基于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，采用交錯(cuò)網(wǎng)格計(jì)算比較復(fù)雜，因此，本文在直角坐標(biāo)系下基于非結(jié)構(gòu)化同位網(wǎng)格應(yīng)用有限體積法結(jié)合SIMPLE算法模擬低速流中的聲傳播問(wèn)題，在界面聲流速計(jì)算采用 Rhie-Chow［10］插值，在邊界上采用DRP(保持色散關(guān)系)吸收邊界，最后進(jìn)行了算例的模擬并和聲學(xué)理論分析解進(jìn)行了對(duì)比分析.

1 控制方程

可壓N-S方程組由連續(xù)方程、動(dòng)量方程、絕熱等熵的狀態(tài)方程組成:

式中:ρ、u、p、c、S 分別為控制體中心的密度、速度矢量、壓力、聲傳播的速度和動(dòng)量方程源項(xiàng)，ρ=ρ(x，y，z，t)，u=u(x，y，z，t)，p=p(x，y，z，t)，c=c(x，y，z，t).

對(duì)于低速流，不考慮聲反向散射對(duì)流場(chǎng)解的影響，將可壓N-S方程分解為流體動(dòng)力項(xiàng)和擾動(dòng)聲項(xiàng)，而流體動(dòng)力項(xiàng)按照不可壓流場(chǎng)求解，用二步法將以上基本變量進(jìn)行分解，則可壓變量:

式中:U是不可壓速度矢量;P是不可壓壓力;ρ0是不可壓密度;u'是聲擾動(dòng)速度矢量;p'是聲擾動(dòng)壓力;ρ'是聲擾動(dòng)密度.

將式(4)代入方程(1)～(3)，并結(jié)合不可壓N-S方程，同時(shí)令矢量f=ρu'+ρ'U，則聲擾動(dòng)方程的連續(xù)方程、動(dòng)量方程和等熵狀態(tài)方程分別為

為了消除邊界反射對(duì)內(nèi)部聲場(chǎng)的影響，采用DRP 無(wú)反射邊界［11］:

式中:un為可壓縮法向速度，r為邊界面中心到聲源距離，ui'為聲擾動(dòng)速度分量，n對(duì)于一、二、三維問(wèn)題分別取 0、1/2、1.

2 數(shù)值離散

不可壓流場(chǎng)和聲擾動(dòng)場(chǎng)動(dòng)量方程離散在時(shí)間項(xiàng)采用二階前差格式，對(duì)流項(xiàng)采用二階迎風(fēng)格式，擴(kuò)散項(xiàng)和壓力項(xiàng)采用中心差分.在求解界面不可壓流場(chǎng)流量和聲擾動(dòng)場(chǎng)流量采用Rhie-Chow插值.不可壓流場(chǎng)求解應(yīng)用明平劍［12］GTEA程序.

2.1 動(dòng)量預(yù)測(cè)

根據(jù)動(dòng)量方程(6)離散得到矢量f的離散方程:

式中:AP為計(jì)算單元中心矢量f的系數(shù)，Ai為計(jì)算單元鄰近單元中心矢量f的系數(shù)為計(jì)算單元中心矢量f的預(yù)測(cè)值為計(jì)算單元鄰近單元中心矢量f的預(yù)測(cè)值，V為計(jì)算單元體積.連續(xù)方程(5)離散得到:

式中:Σ f_f為單元界面上矢量f流量之和.

求解動(dòng)量方程(9)，得到矢量f*，然后計(jì)算單元表面上的矢量f*流量:

2.2 壓力修正

引入矢量f修正量f'和聲壓修正量pp'，則f＊＊=f*+f'，p'＊＊=p'*+pp'，同時(shí)根據(jù)動(dòng)量方程(9)，有:

式(13)與(9)相減，得到矢量f修正量f'更新公式:

同時(shí)結(jié)合連續(xù)方程(5)和絕熱狀態(tài)方程(7)，可得

根據(jù)式(14)、(15)，可得聲壓力修正方程:

以上給出的SIMPLE算法以矢量形式給出，與具體坐標(biāo)系及網(wǎng)格形式無(wú)關(guān)，適用于任意混合網(wǎng)格.

2.3 動(dòng)量修正

聲壓修正后，根據(jù)式(14)更新矢量f值，其他變量按下式更新:

式中:u'i為聲擾動(dòng)速度分量，fi為矢量變量分量，Ui為不可壓速度分量，Pref為環(huán)境參考?jí)毫?，γ為比熱，tref為環(huán)境參考溫度，上標(biāo)n+1為當(dāng)前時(shí)刻計(jì)算值，n為上個(gè)時(shí)刻值，n-1為上2個(gè)時(shí)刻值.值得注意的是:若流動(dòng)介質(zhì)可以作為完全理想氣體，則聲傳播速度按照式(19)更新;若流動(dòng)介質(zhì)為水，則聲傳播速度按照介質(zhì)聲傳播速度經(jīng)驗(yàn)公式(20)更新.

3 求解步驟

圖1 系統(tǒng)工作流程Fig.1 Workflow of system

控制方程的求解包括不可壓流場(chǎng)和聲擾動(dòng)場(chǎng)計(jì)算，如圖1所示，其求解步驟為:

1)根據(jù)上一個(gè)迭代層得到的U*、P*，以及上一個(gè)時(shí)間層的U0、P0，求解不可壓流場(chǎng)動(dòng)量方程，得到新的U＊＊;

2)求解不可壓壓力修正方程，得到修正值P';

3)計(jì)算出新的P、U;

4)根據(jù)求出的P、U和上一個(gè)迭代層得到的矢量f*、聲擾動(dòng)壓力p'*，以及上一個(gè)時(shí)間層的f0、p0'，求解聲擾動(dòng)動(dòng)量方程，得到新的f＊＊;

5)求解聲擾動(dòng)壓力修正方程，得到修正值p″;

6)計(jì)算出新的 p'、f;

7)根據(jù)式(17)～(20)，更新 ρ'、ui'、c;

8)判斷迭代是否收斂，如果收斂，則進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間層，否則返回步驟1)繼續(xù)求解;

9)判斷時(shí)間是否已經(jīng)達(dá)到設(shè)定值，如果達(dá)到則計(jì)算結(jié)束，反之，將目前值存入 U0、P0、p0'、f0、ρ0'、ui0'、c0，返回步驟1)，進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間層進(jìn)行迭代.

4 均勻流場(chǎng)算例驗(yàn)證

為了方便研究，本文采用具有解析解的單極子點(diǎn)聲源，其表達(dá)式如下:

式中:un'為聲源法向振動(dòng)速度;A為聲源振幅;ω為角頻率.取 A=0.006，ω =68π.

4.1 流動(dòng)對(duì)平面波傳播的影響

計(jì)算區(qū)域?yàn)棣?{(x，y):-25 m≤x≤25 m，-0.2 m≤y≤0.2 m}，在人工邊界 x=25 m 上面采用DRP吸收邊界條件，邊界x=-25 m給定點(diǎn)聲源，將計(jì)算區(qū)域劃分為400個(gè)非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，時(shí)間步長(zhǎng)為 Δt=0.000 1 s，計(jì)算2 000 步.t=0.2 s時(shí)，沿 x軸的聲壓型線在Ma=0和0.2的對(duì)比見(jiàn)圖2.從圖2可以看出，Ma=0時(shí)，聲源波長(zhǎng)為10 m;Ma=0.2時(shí)，聲源波長(zhǎng)為12 m，其模擬結(jié)果符合聲傳播的多普勒效應(yīng)，與理論分析吻合.同時(shí)可以看出，邊界處理較好，反射微小.

圖2 t=0.2 s，Ma=0，0.2 時(shí)沿 x 軸的聲壓型線對(duì)比Fig.2 Comparison of sound pressure distribution of numerical results on x axis，t=0.2 s，Ma=0，0.2

4.2 流動(dòng)對(duì)柱面波傳播的影響

計(jì)算區(qū)域?yàn)棣?{(x，y)∶-50 m≤x≤50 m，-50 m≤y≤50 m}，在人工邊界?Ω上面采用DRP吸收邊界條件，點(diǎn)聲源位置坐標(biāo)(0，0)，將計(jì)算區(qū)域劃分為8 861個(gè)非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格.

取流場(chǎng)馬赫數(shù) Ma=0，時(shí)間步長(zhǎng)為 Δt=0.000 1 s，計(jì)算2 000步.可得到靜止流場(chǎng)中由單極子聲源產(chǎn)生的輻射聲場(chǎng)云圖，見(jiàn)圖3.沿x軸的聲壓型線與理論解析解的對(duì)比見(jiàn)圖4，可以看出，數(shù)值解和解析解吻合得良好.

圖3 Ma=0時(shí)的聲場(chǎng)云圖Fig.3 Distributions of sound pressure at different time，Ma=0

圖4 Ma=0時(shí)沿x軸的聲壓型線與理論解對(duì)比Fig.4 Sound pressure distributions of numerical results versus theoretics on x axis at different time，Ma=0

取流場(chǎng)馬赫數(shù) ，其余參數(shù)不變，可得Ma=0.2流場(chǎng)中單極子聲源產(chǎn)生的聲場(chǎng)云圖見(jiàn)圖5，從圖6可以看出數(shù)值解與解析解吻合得很好，包括邊界條件的處理.

圖5 Ma=0.2時(shí)的聲場(chǎng)云圖Fig.5 Distributions of sound pressure at different time，Ma=0.2

圖6 Ma=0.2時(shí)沿x軸的聲壓型線與理論解對(duì)比Fig.6 Sound pressure distribution of numerical results versus theoretics on x axis at different time，Ma=0.2

5 圓柱繞流流噪聲模擬

計(jì)算區(qū)域?yàn)?Ω={(x，y)∶ -50 m≤x≤50 m，-50 m≤y≤50 m}，在人工邊界?Ω上面采用DRP吸收邊界條件，將計(jì)算區(qū)域劃分為25 421個(gè)非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格.圓柱直徑為D=1 m，流場(chǎng)馬赫數(shù)Ma=0.2，雷諾數(shù)Re=200.時(shí)間步長(zhǎng)為t=0.002 5 s，總計(jì)算時(shí)間為 t=3.75 s，當(dāng)不可壓流場(chǎng)計(jì)算趨于周期變化時(shí)，即當(dāng)t=2.5 s時(shí)，開始計(jì)算聲場(chǎng)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)設(shè)于坐標(biāo)為(0 m，3 m)處.

若考慮圓柱表面有微小振動(dòng)，為了方便研究，本文采用具有解析解的單極子聲源，其表達(dá)式見(jiàn)式(21).為了將流噪聲與該聲源區(qū)分開，取A=0.06，ω =68π.

當(dāng)t=2.75 s時(shí)，聲場(chǎng)計(jì)算趨于穩(wěn)定.取t=3 s時(shí)，半徑為r=3 m圓周上的聲壓值，繪制成聲壓指向性圖如圖7.從圖中可以看出，馬赫數(shù)為0.2時(shí)，圓柱繞流流噪聲的聲壓級(jí)處于81～123 dB之間，且沿著x軸對(duì)稱分布，最大聲壓級(jí)處于9°和-9°位置處.由于給定聲源的壓力輻值5 Pa小于流噪聲的壓力輻值38 Pa，因此給定聲源與流噪聲的干涉結(jié)果對(duì)圓柱上游影響較小，主要影響區(qū)域?yàn)閳A柱上游區(qū)，其使流噪聲的聲壓級(jí)稍微有所增大.

圖7 圓柱表面是否微振指向性對(duì)比(r=3 m，t=3 s)Fig.7 Directivity pattern of circular cylinder noise radiation，considering circular cylinder surface slight shock or not，r=3 m，t=0.3 s

圖8 圓柱表面是否微振監(jiān)測(cè)點(diǎn)聲壓隨時(shí)間變化對(duì)比Fig.8 Sound pressure distribution of moniter point vs time，considering circular cylinder surface slight shock or not

圖9 圓柱表面是否微振監(jiān)測(cè)點(diǎn)聲壓隨頻率變化對(duì)比Fig.9 Sound pressure distribution of moniter point vs frequency，considering circular cylinder surface slight shock or not

觀察監(jiān)測(cè)點(diǎn)聲壓隨時(shí)間變化如圖8，從圖中可以看出，單計(jì)算圓柱繞流流噪聲時(shí)，聲壓隨時(shí)間變化分布很規(guī)則，最大聲壓38 Pa，最小聲壓-26.5 Pa.通過(guò)FFT變換后，可得聲壓隨頻率變化如圖9，可以看出，圓柱繞流流噪聲主要集中在頻率為14 Hz處，可計(jì)算出斯特勞哈爾數(shù):

其與聲學(xué)手冊(cè)中風(fēng)吹聲斯特勞哈爾數(shù)一般為0.2相對(duì)應(yīng).

若模擬流噪聲與給定聲源相干涉問(wèn)題，從圖8中可以看出，監(jiān)測(cè)點(diǎn)的聲壓隨時(shí)間變化分布與單計(jì)算流噪聲的聲壓分布有明顯不同.通過(guò)FFT變換后，可得聲壓隨頻率變化如圖9，可以看出，噪聲主要集中在頻率為14 Hz和34 Hz處，14 Hz對(duì)應(yīng)圓柱繞流流噪聲的主要集中頻率，而34 Hz對(duì)應(yīng)給定聲源的頻率，其計(jì)算結(jié)果與理論分析吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法的正確性和可靠性.

6 結(jié)束語(yǔ)

采用基于可壓N-S方程的分解法對(duì)低速流中的聲傳播問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬，并采用基于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的有限體積法和SIMPLE算法求解不可壓流場(chǎng)方程的和聲擾動(dòng)方程，在計(jì)算界面流速和聲擾動(dòng)速度采用Rhie-Chow插值，在邊界上采用DRP吸收邊界條件消除邊界反射對(duì)聲場(chǎng)的影響.對(duì)低速流中平面波、柱面波、圓柱繞流流噪聲以及流噪聲與已知聲波干涉?zhèn)鞑?wèn)題進(jìn)行了數(shù)值模擬，與理論分析解對(duì)比表明，這種數(shù)值模擬方法預(yù)測(cè)的聲傳播是穩(wěn)定可靠的.由于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的應(yīng)用，該數(shù)值模擬方法可便捷求解結(jié)構(gòu)復(fù)雜的低速流中的聲傳播問(wèn)題.

［1］SHEN W Z，MICHELSEN J A，SORENSEN J N.A collocated grid finite volume method for aeroacoustic computations of low-speed flows［J］.Journal of Computational Physics，2004，196:348-366.

［2］LIGHTHILL M J.On sound generated aerodynamically.I:General theory［C］//Proceedings of the Royal Society A.London，1952.

［3］PHILIP J M，LYLE N L，ASHOK B，et al.A parallel threedimensional computational aeroacoustics method using nonlinear disturbance equations［J］.Journal of Computational Physics，1997，133:56-74.

［4］SHEN H，TAM C W.Numerical simulation of the generation of axisymmetric mode jet screech tones［J］.AIAA Journal，1998，36(10):1801-1828.

［5］HARDIN J C，POPE D S.An acoustic/viscous splitting technique for computational aeroacoustics［J］.Theoret Comput Fluid Dynamics，1994，6:323-340.

［6］SHEN W Z，SORENSEN J N.Aeroacoustic modeling of low-speed flows［J］.Theoret Comput.Fluid Dynamics，1999，13:271-289.

［7］SHEN W Z，SORENSEN J N.Aeroacoustic modeling of turbulent airfoil flows［J］.J AIAA，2001，39(6):1057-1064.

［8］張榮欣，秦國(guó)良.用切比雪夫譜元方法求解均勻流場(chǎng)中的聲傳播問(wèn)題［J］.西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，43(7):120-124.

ZHANG Rongxin，QIN Guoliang.Chebychev spectral elements method for acoustic propagation problem in a uniform mean flow［J］.Journal of Xi'an Jiaotong University，2009，43(7):120-124.

［9］NOGUEIRA X，COLOMINAS I，F(xiàn)ELGUEROSO L C，et al.Resolution of computational aeroacoustics problems on unstructured grids with a higher-order finite volume scheme［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics 2010，234(7):2089-2097.

［10］RHIE C M ，CHOW W L.Numerical study of the turbulent flow past an airfoil with trailing edge separation［J］.AIAA Journal，1983，21(11):1525-1532.

［11］TAM C M，WEBB J C.Dispersion-relation-preserving finite difference schemes for computational acoustics［J］.Journal of Computational Physics，1993，107:262-281.

［12］明平劍，張文平，雷國(guó)東，等.帶壁面射流燃燒室燃燒數(shù)值模擬［J］.航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2008，23(7):1205-1211.

MING Pingjian，ZHANG Wenping，LEI Guodong，et al.Numerical simulation of combustion in a wall jet combustor［J］.Journal of Aerospace Power，2008，23(7):1205-1211.