α－混合相依函數(shù)型數(shù)據(jù)改良核回歸估計的漸近正態(tài)性

陸曉恒， 石賢匯， 凌能祥

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.銅陵學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系，安徽 銅陵 244000）

0 引言

回歸函數(shù)估計是數(shù)據(jù)分析中一個非常重要的問題，由于其在通信、控制系統(tǒng)、模式識別等很多領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用，一直以來備受關(guān)注。在有限維場合，很多學(xué)者無論在獨立同分布（i.i.d.）還是某種相依情形下，都對其進(jìn)行了研究并且獲得了卓有成效的結(jié)果，如文獻(xiàn)［1－4］等。

最近幾年，隨著函數(shù)型數(shù)據(jù)在包括醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)度量學(xué)、環(huán)境度量學(xué)、化學(xué)度量學(xué)等各個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，函數(shù)型數(shù)據(jù)的回歸函數(shù)估計越來越受到人們的關(guān)注。文獻(xiàn)［5］采用經(jīng)典的 Nadaraya－Watson（N－W）核，對相依數(shù)據(jù)的函數(shù)型非參數(shù)回歸模型進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［6］建立了相依函數(shù)型數(shù)據(jù)N－W核估計的漸近正態(tài)性的性質(zhì)。關(guān)于函數(shù)型數(shù)據(jù)的分析可參考文獻(xiàn)［7－8］；關(guān)于函數(shù)型數(shù)據(jù)非參數(shù)統(tǒng)計回歸函數(shù)、條件分位數(shù)、條件眾數(shù)核估計的詳細(xì)分析可參考文獻(xiàn)［9］。

設(shè)｛（Xi，Yi），1≤i≤n｝是同分布于（X，Y）的函數(shù)型數(shù)據(jù)，其中X在某個抽象的半度量空間E中取值，而Y取值于實值空間R。文獻(xiàn)［5］和文獻(xiàn)［10］引入的N－W核回歸函數(shù)的估計定義為：

其中，K（·）為一實值的核函數(shù)；h＝hn為滿足的窗寬參數(shù)；d（·，·）為空間E中的一個半度量。本文所研究的改良的核回歸估計為：

其中，Ι（A）是集合A上的一個示性函數(shù)；bn滿足當(dāng)n→∞時，bn→∞。這個估計在文獻(xiàn)［11］中進(jìn)行了研究，并得到了一些相合性的結(jié)果。

定義1 若過程｛（Xi，Yi），i≥1｝的混合系數(shù)α（n）滿足：

則稱過程｛（Xi，Yi），i≥1｝為α－混合或強(qiáng)混合過程。

其中，Akj為隨機(jī)變量｛（Xi，Yi），j≤i≤k｝產(chǎn)生的σ－代數(shù)。進(jìn)而，若?a＞0，C＞0使得：

則稱｛（Xi，Yi），i≥1｝為階a的算術(shù)α－混合；若?t∈（0，1），C＞0使得：

則稱｛（Xi，Yi），i≥1｝為幾何α－混合。

本文的主要目的是就α－混合函數(shù)型數(shù)據(jù)在某些合適的條件下，獲得改良的核回歸估計＾r(nóng)（x）的漸近正態(tài)性的性質(zhì)。假設(shè)C是一個正的常數(shù)，在文中每次出現(xiàn)時，都可以取不同的值；c1、c2為2個正的常數(shù)。

1 一些記號和假設(shè)條件

設(shè)Ki（x）＝K（h－1d（x，Xi）），i＝1，2，…，n；B（x，h）是中心為x，半徑為h＞0的小球。為了方便，先引入下列一些記號：

（1）（i）?h＞0，P｛X∈B（x，h）｝＝φx（h），其中且φx（h）在原點的某個領(lǐng)域內(nèi)關(guān)于h絕對連續(xù)。

其中，Cjx，j＝1，2為2個正的關(guān)于x的函數(shù)。

（3）對v≥1，都有E｜Y｜v≤C＜∞。

（4）（i）?β＞0，使得對?μ，ν∈E，有｜r（μ）－r（ν）｜≤Cd（μ，ν）β。

（ii）設(shè)g2（u）＝Var［Yi｜Xi＝u］，u∈E，在x的某個領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且滿足當(dāng)h→0時，

（2）K（·）是滿足0＜c1≤K（·）≤c2＜∞的支撐集為［0，1］的實值核函數(shù)，且滿足：

設(shè)對某個m＞2有：

在x的某個領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)。

（iii）設(shè)g（u，v；x）＝E［（Yi－r（x））（Yjr（x））｜Xi＝u，Xj＝v］，i≠j，u，v∈E在（x，x）的某個領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)。

（5）對某個m＞2，p＞1－2／m有：

（6）設(shè)當(dāng)n→∞時有nφx（h）→∞。同時存在正整數(shù)序列｛vn｝滿足

條件（1）和文獻(xiàn)［6］中的condition 3′不同，這里小球概率和聯(lián)合密度函數(shù)都沒有寫成2個函數(shù)乘積的形式，更具一般性。條件（2）關(guān)于核函數(shù)的假設(shè)是很經(jīng)典的，關(guān)于極限值的假設(shè)在文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［11］中都作了類似的假設(shè)。條件（3）～（6）都可以在文獻(xiàn)［6］中找到類似的假設(shè)。

2 結(jié)論及其證明

為了更方便地敘述和得到相關(guān)結(jié)論，先給出一些引理，并對其進(jìn)行證明。

證明 由文獻(xiàn)［11］中Theorem 2的證明過程可知：于是根據(jù)un（x）的表達(dá)式可得：

首先對T1進(jìn)行處理：

同時有：

由條件（4）的（i）可知：

于是，由條件（2）可得：

又由控制收斂定理知，當(dāng)n→∞有：

因此，由（3）式、（5）式、（6）式有：

對T2進(jìn)行處理：

其中，an＝o（n），下面將給出其具體形式。

對于T21：

由控制收斂定理知，當(dāng)n→∞有：

又由條件（1）的（ii）、條件（2）和條件（4）的（iii），當(dāng)n足夠大的時候，可得：

從而當(dāng)n足夠大的時候有：

對于T22，利用文獻(xiàn)［12］中Davydov’s lemma可得：

由控制收斂定理知，當(dāng)n→∞有：

又由條件（2）和條件（4）的（ii），當(dāng)n足夠大的時候，可得：

綜上（2）式、（7）式、（8）式、（11）式和（12）式，于是有：

引理2 假設(shè)條件（1）～（6）滿足，則當(dāng)n→∞時有：

證明 此引理的證明利用Bernstein大塊小塊過程，可參考文獻(xiàn)［6］中Theorem 4的證明。

引理3 假設(shè)條件（1）、（2）和（5）滿足且有，則

證明 此引理的證明參見文獻(xiàn)［6］中Theorem 1的證明，需要注意的是小球概率和聯(lián)合密度函數(shù)的表達(dá)形式不同。

引理4 假設(shè)條件（1）～（6）滿足，則當(dāng)n→∞時有：

于是由引理2和引理3可知結(jié)論成立。

下面給出本文的一個重要結(jié)論。

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