Lagrange插指與Newton插指的注記

鄒 樂(lè)， 李昌文

（1.合肥學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)與智能信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230601；2.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

插值在工程數(shù)值計(jì)算方面有著廣泛的應(yīng)用，如有限元方法中形函數(shù)的建立、科學(xué)計(jì)算可視化過(guò)程中圖形圖像的實(shí)現(xiàn)等都要用到插值理論。插值問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是希望找到一個(gè)盡量簡(jiǎn)單的函數(shù)，如多項(xiàng)式函數(shù)去近似某個(gè)函數(shù)。然而對(duì)于有些問(wèn)題，多項(xiàng)式函數(shù)雖然簡(jiǎn)單，卻不便于計(jì)算，如求參數(shù)的最大似然估計(jì)值，為解決此問(wèn)題，文獻(xiàn)［1－5］提出了冪指數(shù)插值，簡(jiǎn)稱(chēng)插指。Lagrange插值公式構(gòu)造簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)緊湊、思路清晰，但缺點(diǎn)是在等距結(jié)點(diǎn)插值過(guò)程中，當(dāng)結(jié)點(diǎn)數(shù)較大時(shí)會(huì)表現(xiàn)出極大的數(shù)值不穩(wěn)定性。此外，當(dāng)插值結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)有變動(dòng)時(shí)，Lagrange插值公式也隨之發(fā)生變化，需重新構(gòu)造，從而整個(gè)公式的結(jié)構(gòu)也發(fā)生變化，這在實(shí)際計(jì)算中是極不方便的。為了克服上述缺點(diǎn)，文獻(xiàn)［6－8］給出了2種解決辦法：利用與之等價(jià)的Newton插值多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算；對(duì)傳統(tǒng)的Lagrange插值進(jìn)行改進(jìn)，提出了改進(jìn)的Lagrange插值和重心Lagrange插值。

本文對(duì)Lagrange插指多項(xiàng)式進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種改進(jìn)的Lagrange插指和重心型Lagrange插指，并討論了Lagrange插指多項(xiàng)式與Newton插指多項(xiàng)式的相互轉(zhuǎn)化問(wèn)題。

1 Lagrange插指與Newton插指

1.1 Lagrange插指

設(shè)給定函數(shù)y＝f（x）及在區(qū)間［a，b］上的一組對(duì)應(yīng)關(guān)系｛（x0，y0），（x1，y1），…，（xn，yn）｝，以n＋1個(gè)n次Lagrange插值基函數(shù)為基礎(chǔ)，文獻(xiàn)［2］構(gòu)造出Lagrange插指多項(xiàng)式，并證明了次數(shù)不超過(guò)n的插指多項(xiàng)式唯一性。

文獻(xiàn)［2］構(gòu)造的Lagrange插指公式為：

其中，li（x）為在n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的n次基本插值多項(xiàng)式，或稱(chēng)作n次Lagrange插值基函數(shù)，即

同Lagrange插值多項(xiàng)式一樣，Lagrange插指多項(xiàng)式在插指結(jié)點(diǎn)較少時(shí)，具有很好的插值精度，其存在的主要缺陷是：① 增加新的插指結(jié)點(diǎn)時(shí)，需要重新計(jì)算；② 當(dāng)結(jié)點(diǎn)數(shù)量很大時(shí)，插指是數(shù)值不穩(wěn)定的。

1.2 Newton插指

設(shè)函數(shù)y＝f（x）及在區(qū)間［a，b］上有定義且大于零，給定區(qū)間［a，b］上的一組對(duì)應(yīng)關(guān)系｛（x0，y0），（x1，y1），…，（xn，yn）｝，文獻(xiàn)［1］證明了存在唯一的一個(gè)n次Newton插指多項(xiàng)式，即

滿(mǎn)足插指條件：

其中，ai（i＝0，1，…，n）為差商指；pi（x）＝（xx0）（x－x1）…（x－xi－1），i＝0，1，…，n。

2 改進(jìn)的Lagrange插指與重心型插指

2.1 改進(jìn)的Lagrange插指

（2）式的插值基函數(shù)li（x）的分子可以寫(xiě)成：

定義重心權(quán)為：

將（6）式代入（1）式，得到Lagrange插指公式的另一種表現(xiàn)形式為：）

（7）式稱(chēng)為改進(jìn)的Lagrange插指公式，在增加一個(gè)新的插指節(jié)點(diǎn)時(shí)易于計(jì)算。

2.2 重心型Lagrange插指

利用Lagrange插值多項(xiàng)式插值常數(shù)1，可以得到的恒等式為：

利用（8）式可得到重心型Lagrange插指公式為：

重心型Lagrange插指多項(xiàng)式在分子和分母都包含插值權(quán)ωi，因此ωi的任何非零倍數(shù)仍是插值權(quán)。由（5）式可知，插值權(quán)僅依賴(lài)于插值結(jié)點(diǎn)的分布，因此對(duì)于一些特殊的結(jié)點(diǎn)分布可以得到簡(jiǎn)化插值權(quán)。

3 插指的相互轉(zhuǎn)化

下面討論Lagrange插指與Newton插指的相互轉(zhuǎn)化算法。由（1）式得：

其中，ai（i＝0，1，…，n）是差商指；pi（x）＝（xx0）（x－x1）…（x－xi－1），i＝0，1，…，n。

差商可以由函數(shù)值線(xiàn)性組合表示［9］，可得：

因此，由Newton插指與Lagrange插指的轉(zhuǎn)化變成如下線(xiàn)性方程組的解，即

利用Gauss消去法可得如下算法：

上述線(xiàn)性方程組也可以用作由Lagrange插指向Newton插指的轉(zhuǎn)化算法。給定形如（10）式的Lagrange插指多項(xiàng)式可以計(jì)算Newton插指多項(xiàng)式（11）式中的系數(shù)ai。

如果當(dāng)i≠j時(shí)xi≠xj，可以得到由Lagrange插指向Newton插指的轉(zhuǎn)化算法為：

4 數(shù)值例子

以Runge函數(shù)f（x）＝1／（1＋25x2）為例，說(shuō)明重心型Lagrange插指多項(xiàng)式的良好數(shù)值穩(wěn)定性。在區(qū)間［－1，1］上令n＝100，以第2類(lèi)Chebyshev點(diǎn)作為插指節(jié)點(diǎn)，插指計(jì)算區(qū)間［－1，1］上的2 000個(gè)點(diǎn)的近似值，利用 Matlab繪圖，如圖1所示。

通過(guò)大量的數(shù)值計(jì)算表明，對(duì)于等距節(jié)點(diǎn)重心Lagrange插指表現(xiàn)出極大的數(shù)值不穩(wěn)定性，但是對(duì)于Chebyshev點(diǎn)的插指，重心型Lagrange插指具有極好的數(shù)值穩(wěn)定性。

下面的例子說(shuō)明了由Lagrange插指向New－

ton插指轉(zhuǎn)化算法的有效性和可行性。

圖1 Runge函數(shù)的重心型Lagrange插指

例1 求滿(mǎn)足插指條件：y0＝f（0）＝（1－p）2，y1＝f（1）＝2p（1－p），y2＝f（2）＝p2的插指公式，其中0＜p＜1［3］。

由文獻(xiàn)［2］易得滿(mǎn)足插指條件的Lagrange插指為：

由此可得：

易見(jiàn)：

由Lagrange插指向Newton插指的轉(zhuǎn)化算法（15）式可得：

故可以直接寫(xiě)滿(mǎn)足插指條件的Newton插指為：

這與用文獻(xiàn)［1］中方法所求結(jié)果完全相同，由Newton插指向Lagrange插指的轉(zhuǎn)化算法（14）式可以由a0、a1、a2計(jì)算出σ0、σ1、σ2。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文改進(jìn)了Lagrange插指多項(xiàng)式，得到2種新形式的插指多項(xiàng)式：改進(jìn)的Lagrange插指多項(xiàng)式和重心型Lagrange插指多項(xiàng)式。當(dāng)增加新的插值節(jié)點(diǎn)時(shí)不需重新計(jì)算原有插指節(jié)點(diǎn)的Lagrange基函數(shù)。文中討論了Lagrange插指多項(xiàng)式與Newton插指多項(xiàng)式的相互轉(zhuǎn)化，給出了由Newton插指多項(xiàng)式向Lagrange插指多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)化算法以及由Lagrange插指多項(xiàng)式向Newton插指多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)化算法。

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