具連續(xù)變量高階中立型差分方程的漸近性

孫 靜,劉志民

（河北工程大學(xué) 理學(xué)院,河北 邯鄲 056038）

隨著醫(yī)學(xué),生物數(shù)學(xué),現(xiàn)代物理等自然科學(xué)和邊緣學(xué)科的發(fā)展,出現(xiàn)了許多由差分方程描述的具體數(shù)學(xué)模型。近年來,在具有離散變量的差分方程的解的振動(dòng)性研究方面的論文比較豐富[1-3],而具有連續(xù)變量的高階差分方程漸近性的研究還不多,文獻(xiàn)[4]主要研究了一類高階方程的振動(dòng)性,且給出了非振動(dòng)解的漸近性的一個(gè)充分條件,嚴(yán)秀坤在文獻(xiàn)[5]中以離散Knesor定理為基礎(chǔ)討論了一類高階變系數(shù)非線性中立型差分方程的漸近性,本文應(yīng)用反證法和數(shù)學(xué)歸納法,考慮具有連續(xù)變量的高階差分方程的漸近性。

1 基本引理

式中 τ＞0是步長。

對(duì)于方程（1）,

令

函數(shù){y（t）}稱為方程（1）的解,如果 y∈C（[t0-δ（t0）,+∞）,R）,當(dāng) t≥t0時(shí),{y（t）}滿足方程（1）。

首先給出下列條件:

（A）uf（u）＞0,u≠0

（B）對(duì)某個(gè) t≥t0,有

（C）0≤q（t）≤1

引理1 若{x（t）}是方程（1）的一個(gè)有界最終正解,設(shè)條件（A）和（C）成立,則當(dāng) d是奇數(shù)時(shí)

則當(dāng)d是偶數(shù)時(shí)

2 主要結(jié)果及其證明

證明不妨設(shè){x（t）}是方程（1）的一個(gè)最終正解,則存在充分大的自然數(shù)t1≥t0,使得式（3）成立,又由條件（A）可知

成立。因?yàn)閐是奇數(shù),由引理1可知式（3）和

成立。

由Δτz（t）＜0知{z（t）}最終單調(diào)遞減,當(dāng) t→+∞時(shí),{z（t）}存在有限的非負(fù)極限;由條件（C）和式（2）知,{x（t）}也存在有限的非負(fù)極限l1,即

由于函數(shù)f（u）是單調(diào)非減的及條件（A）,有

從而由方程（1）有

將上式的兩邊對(duì)n從n1到n求和,得

由條件（B）知

當(dāng){x（t）}是方程（1）的最終負(fù)解時(shí),可同理證明。證畢。

證明不妨設(shè){x（t）}是方程（1）的一個(gè)最終正解,則存在充分大的自然數(shù)t1≥t0,使得式（3）成立。因?yàn)閐是奇數(shù),由引理1可知式（3）和式（5）成立,再由上面定理可知,式（6）成立。

從而由方程（1）有

類似于定理2的證明,可知最終有

當(dāng){x（t）}是方程（1）的最終負(fù)解時(shí),可同理證明。

定理3 若{x（t）}是方程（1）的有界非振動(dòng)解,設(shè)條件（A）成立,且 d是偶數(shù),則 t→∞時(shí),{x（t）}收斂于某有限數(shù)值。

證明不妨設(shè){x（t）}是方程（1）的有界正解,則由引理1得Δτz（t）＞0最終成立。所以{z（t）}是最終單調(diào)遞增的,又因?yàn)閧x（t）}有界,因而{z（t）}有界,所以 t→+∞時(shí),{z（t）}存在正的有限極限,從而{x（t）}存在正的有限極限。

當(dāng){x（t）}是方程（1）的有界負(fù)解時(shí),可類似證明{x（t）}存在有限的負(fù)極限。證畢。

3 結(jié)論

[1]韓振來,李秀珍,從今明,等.一類具有連續(xù)變量的三階非線性時(shí)滯差分方程的振動(dòng)性判據(jù)[J].濟(jì)南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,17（4）:334-336.

[2]孫書榮,韓振來.一類具有連續(xù)變量的二階中立型差分方程的振動(dòng)性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,22（5）:943-946.

[3]劉志民,孫靜.具有連續(xù)變量二階中立型差分方程的振動(dòng)性及其有界解[J].河北工程大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,26（2）:109-110.

[4]唐清干,曾玲.高階中立型差分方程的振動(dòng)性及其非振動(dòng)解的漸近性態(tài)[J].數(shù)學(xué)雜志,2000（20）:207-210.

[5]嚴(yán)秀坤,張卓飛.高階非線性中立型差分方程的漸近性態(tài)[J].湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2006,28（1）;20-23.