三維各向同性諧振子在兩不同坐標(biāo)下的解及其聯(lián)系

付文羽

（寧波工程學(xué)院 理學(xué)院，浙江 寧波 315211）

三維各向同性諧振子在兩不同坐標(biāo)下的解及其聯(lián)系

付文羽

（寧波工程學(xué)院 理學(xué)院，浙江 寧波 315211）

根據(jù)量子理論及薛定諤方程，從三維各向同性諧振子的本征值與本征函數(shù)出發(fā)，詳細(xì)研究了三維各向同性諧振子在直角坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下的本征函數(shù)、本征值之間的對應(yīng)關(guān)系。理論分析表明，直角坐標(biāo)系兩不同坐標(biāo)系下的本征函數(shù)之間通過一個幺正變換聯(lián)系起來，能級簡并度與幺正變換矩陣階數(shù)相同。

量子力學(xué)；三維各向同性諧振子；不同坐標(biāo)系；本征函數(shù)

自然界中廣泛碰到簡諧運(yùn)動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子的振動，晶格的振動，原子核表面振動以及輻射場的振動等，都可以按簡諧振動進(jìn)行處理。對于三維各向同性諧振子，常見的求解方法是將其在直角坐標(biāo)系下分離變量，將三維薛定諤方程化為三個一維微分方程進(jìn)行處理［1］。由于一維諧振子在直角坐標(biāo)系下的本征函數(shù)及本征值早已被人們所熟知，所以通過這種方法很容易解出三維各向同性諧振子的本征值和本征函數(shù)。三維各向同性諧振子另一種解法就是在球面坐標(biāo)系下，運(yùn)用薛定諤方程的直接求解得出的本征函數(shù)。

上述兩種解法均在文獻(xiàn)［1，2］中進(jìn)行了詳細(xì)討論。由于選擇了不同的守恒量完全集，加之問題的復(fù)雜性，在直角坐標(biāo)系下求得的本征函數(shù)為三個厄爾米特函數(shù)的乘積，而在直角坐標(biāo)系下求得的本征函數(shù)為球諧函數(shù)與合流超幾何函數(shù)的乘積。那么，一個有意思的問題是在這兩個不同坐標(biāo)系下解出的三維各向同性諧振子的本征值、本征函數(shù)之間有什么聯(lián)系？本文通過兩種坐標(biāo)系下解的討論，找出其本征值、本征函數(shù)之間對應(yīng)關(guān)系，為不同的守恒量完全集下同一問題的討論提供一個教學(xué)例證，同時，也促使學(xué)生加深對諸如厄爾米特函數(shù)、球諧函數(shù)與合流超幾何函數(shù)等特殊函數(shù)性質(zhì)的理解。

1 三維各向同性諧振子在兩不同坐標(biāo)系下解的簡述

1.1 三維各向同性諧振子在直角坐標(biāo)系下的解

三維各向同性諧振子在直角坐標(biāo)系下的定態(tài)薛定諤方程為

令 Φ（x，y，z）＝Φ（x）Φ（y）Φ（z）分離變量得方程

其 解［1］，因 此 方 程

（1）的本征函數(shù)為

方程（2）的本征值為

對于一組給定（nx，ny，nz）值，三維各向同性諧振子能級的簡并度為其中 Ex＋Ey＋Ez＝E，f＝1＋2

1.2 三維各向同性諧振子在球坐標(biāo)下的解

三維各向同性諧振子在球坐標(biāo)下的定態(tài)薛定諤方程

球坐標(biāo)下三維各向同性諧振子的本征函數(shù)為Ψ（r，θ，φ）＝Rnrl（r）Yl，m（θ，φ）

其中，

本征值為

2 兩種不同坐標(biāo)下本征函數(shù)之間聯(lián)系

由上述求解過程可知，兩種求法的過程不盡相同，本征值的表達(dá)形式卻完全相同，而且在直角坐標(biāo)系下求解三維各向同性諧振子比較容易，表達(dá)形式也較簡明，相比較而言，在求坐標(biāo)下求解，過程較繁且結(jié)果也較繁。由于選擇了不同的守恒量完全集，在球坐標(biāo)系中求解得出的本征函數(shù)Ψnrlm（r，θ，φ）是守恒量完全集的共同本征態(tài)，而在直角坐標(biāo)系中求解得出的本征函數(shù) Φ（x，y，z）則是守恒量完全集的共同本征態(tài)，根據(jù)態(tài)和力學(xué)量的表象變換理論，我們假設(shè)這兩個本征函數(shù)由一個幺正變換聯(lián)系起來。

下面對上述假設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證。

（1）對于n＝0，由于能級不簡并，可以看出這

兩個本征函數(shù)是相同的，即

（2）對于 n＝1，能級簡并度為 3，波函數(shù) ψnrlm（r，θ，φ）三個態(tài)分別為

1

波函數(shù) Φnxnynz（x，y，z）三個態(tài)分別為

代入（11）、（12）、（13）式得

式（17）（18）（19）式與（14）（15）（16）式對比可知所以歸一化的幺正變換為（3）對于n＝2，能級簡并度為 6，ψnrlm（r，θ，φ）有 6個態(tài)為

Φ（x，y，z）也有6個態(tài)分別為

由于

所以我們可以將 ψn，lm（r，θ，φ）表示為 Φ（x，y，z）的函數(shù)得

其中其中分塊矩陣

由此可得 n＝2時的幺正變換為

（4）對于 n＝3，能級簡并度為10，用同樣方法分析可得n＝3的情況下：ψn，lm（r，θ，φ）＝SΦ（x，y，z）波函數(shù)ψn，lm（r，θ，φ）與Φ（x，y，z）之間的幺正變換為一個10階矩陣

其中分塊矩陣

3 結(jié)論

由以上分析計可知，三維各向同性諧振子在直角坐標(biāo)系下和在球面坐標(biāo)系下的本征函數(shù)之間通過一個幺正變換聯(lián)系起來，即三維厄爾米特函數(shù)與球諧函數(shù)和合流超幾何函數(shù)之間通過一個幺正變換相互聯(lián)系起來，這就印證了量子力學(xué)中兩不同守恒量完全集之間的變換是一個幺正變換的結(jié)論。同時，也給出了厄爾米特函數(shù)、球諧函數(shù)和合流超幾何函數(shù)之間的關(guān)系。這對于理解這幾類特殊函數(shù)的性質(zhì)和量子力學(xué)教學(xué)具有參考價值。

根據(jù)以上計算，我們得出，在n＝1時，三維各向同性諧振子的能級簡并度為3，求出的幺正變換是3階矩陣。在n＝2時，三維各向同性諧振子的能級簡并度為6，求出的幺正變換是6階矩陣，在n＝3時，能級的簡并度為10，求出的幺正變換是 10階矩陣，依次類推，我們可以斷定，在 n＝N時，由于能級的簡并度為（N＋1）（N＋2），所以得出的幺正變換應(yīng)為（N＋1）（N＋2）階矩陣。

［1］曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)教程［M］.北京：科學(xué)出版社，2003.

［2］周世勛.量子力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1979.

［責(zé)任編輯 賀小林］

Results and Relationship of Three－Dimensional Isotropic Harmonic Oscillator in the Two Different Coordinate System s

FUWen－yu
（Faculty of Science，Ning bo University of Technology，Ning bo 315211，China）

Based on the theory of quantum and schrodinger function，it discussed particularly the corresponding relationship of eigenfunctions and eigenvalue for three-dimensional isotropic harmonic oscillator in cartesian coordinate and in spherical coordinate respectively.The theoretical results show that the eigenfunctions in cartesian coordinate and in spherical coordinate are associated by unitary transformation，and the degeneracy of energy level is same with the order of unitary transformation.

quantum mechanics；three－dimensional isotropic harmonic oscillator；different coordinate systems；eigenfunction.

G642.41

A

1004-602X（2011）01-0019-04

2010 -12 -27

甘肅省高校研究生導(dǎo)師科研項(xiàng)目計劃（0810－1）；寧波工程學(xué)院科研啟動項(xiàng)目

付文羽（1963—），男，甘肅寧縣人，教授，碩士。