任意量子演化過程中的幾何相位特征

王 鵬，賈培軍

（1.延安大學 物理與電子信息學院；2.延安大學資產(chǎn)與實驗室管理處，陜西 延安 716000）

任意量子演化過程中的幾何相位特征

王 鵬1，賈培軍2

（1.延安大學 物理與電子信息學院；2.延安大學資產(chǎn)與實驗室管理處，陜西 延安 716000）

給出了任意量子演化過程中的幾何相表達式。證明了幾何相的測量不變性與消失特性。在任意量子演化過程中不僅觀察到了幾何相，還發(fā)現(xiàn)有其它幾何結(jié)構(gòu)，諸如長度和距離等幾何結(jié)構(gòu)也存在。指出了所有這些幾何量之間的關系。

幾何相位；量子演化；幾何結(jié)構(gòu)

自從 Berry［1］發(fā)現(xiàn)量子系統(tǒng)經(jīng)過絕熱、周期和參量變化可以獲得重要的相位因子以后，人們開始尋找量子系統(tǒng)經(jīng)歷周期演化所獲得的幾何結(jié)構(gòu)。這里的幾何結(jié)構(gòu)指那些與參量時間關系無關的量。Berry相位是具有這樣本質(zhì)的一種幾何結(jié)構(gòu)。根據(jù)厄米線束中的平行輸運完整性可以很好地解釋 Berry相位。Aharonov和Anandan（AA）在不考慮哈密頓量參量的絕熱和周期演化情況下證明了幾何相的存在［2］。AA相被認為是希爾伯特空間 Q的投影 P中圍繞閉合曲線平行輸運的完整變換。后來，由于人們發(fā)現(xiàn)幾何相的完整性可以實現(xiàn)容錯量子門［3，4］，這使得幾何相的完整性成為人們關注的熱門課題，從而導致了對量子計算［5－9］和 量子 信息［10－13］中完整效應的研究。

Samuel和 Bhandari在薛定諤、非周期、非歸一演化條件下得到了幾何相［6］。然而，該幾何相是個間接定義，取決于開路徑的初末點的簡單閉合。如果末點不閉合，那么該幾何相就不再具有測量不變性。Anandan等人利用群理論基石在投影的希爾伯特空間 P中獲得了任意演化幾何相的無限小角元。Aitchison以非動力學方式定義了薛定諤、非周期、非歸一演化幾何相［7］。后來，Mukunda給出了幾何相動力學方法的一般理論［8］。

本文主要研究了任意演化量子系統(tǒng)所獲得的幾何相位、距離、長度。給出了非周期演化的意義，并給出了薛定諤、任意演化幾何相的定義。利用投影希爾伯特空間 P中線束定義了參考項，并證明通過聯(lián)絡一形式的線性積分給出了幾何相表示。指出了幾何相的各種特征；證明了幾何相不僅是相位不變的，而且是測量不變的；還證明了幾何相的消失特性。另外，引入了任意量子演化的幾何長度和距離的定義，并給出了幾何相的拓撲原理。最后，計算了諧振子的任意演化幾何相。

1 薛定諤演化過程中的幾何相

設{ψ}是希爾伯特空間 Q中的一組矢量，且

其中，H（t）為系統(tǒng)的哈密頓量。對于從 t＝0到t＝t的演化，根據(jù)最小 －標準距離函數(shù)［5］，周期演化滿足D2（ψ（0），ψ（t））＝［2－21〈ψ（0）｜ψ（t）〉｜］＝0，而非周期演化則滿足 D（ψ（0），ψ（t））＞0。利用Panchararnam［12］聯(lián)絡，當系統(tǒng)從初態(tài) ψ0＝ψ（0）演化到終態(tài) ψ＝ψ（t）且兩態(tài)之間不正交時，兩態(tài)之間的相對相位差為

一般地，對于初末態(tài)的點之間為非閉合路徑時，（2）式給出了經(jīng)歷任意演化［0，t］的量子系統(tǒng)所獲得的總相位。于是總相位為

同樣可以將總相位表示為

其中〈ψ0｜ψ〉＝Re〈ψ0｜ψ〉＋i Im〈ψ0｜ψ〉?？梢?，總相位與R＝｜〈ψ（0）｜ψ（t）〉｜的變化不靈敏。

對于任意的量子演化過程，幾何相是總相位與動力學相之差（其中動力學相為哈密頓量的期望值）。文獻［10］將幾何相表示為

從（4）式可見，要知道幾何相還必須知道系統(tǒng)的哈密頓量。

2 幾何相位與參考項

設 Γ為閉合積分［0，t］?R投影到 l空間的一條閉合曲線，而（d／dt）｜ψ（t）〉是曲線 Γ在點 ｜ψ（t）〉的正切矢量。該正切矢量可以看作被分解為分別屬于豎直分量空間 V｜ψ〉l和水平分量空間 H｜ψ〉l中的兩個分量之和。因此，如果空間 P中曲線上一點｜ψ（t）〉的投影是個常數(shù)，則該曲線被稱為是豎直曲線，且豎直曲線的正切稱為豎直矢量。相應地，在那點垂直于纖的矢量叫做水平矢量。在 l中給定點的水平矢量集稱為那個點的水平空間。為了得到幾何相位，有必要給出聯(lián)絡的定義。在主纖叢U（1）→l→P中的聯(lián)絡是正切空間 T｜ψ〉l中子空間 H｜ψ〉l中的每點｜ψ（t）〉的光滑賦值。由此可得，所有的點｜ψ（t）〉滿足 T｜ψ〉l＝V｜ψ〉l⊕H｜ψ〉l，且對于 c∈U（1）有（H｜ψ〉l）＝Hc｜ψ〉l，其中cc*＝1，而 δc（｜ψ〉）＝c｜ ψ〉表示相位 c對l的誘導行為。

借助于聯(lián)絡的定義，現(xiàn)在來描述纖叢中某矢量的平行輸運。將開曲線的水平抬高作為曲線∶［0，t］，t→｜ψ（t）〉。曲線 Γ是水平的，即vert［Γ］＝0，由此在任一時刻 t有，且一般也是開曲線。因此，

如果將空間 P中的開路徑抬高到空間l，那么空間l中會有許多開路徑。但是這些路徑中會有一個特殊曲線，這條曲線由一個“參考態(tài)”描出。定義參考態(tài)與初始態(tài)矢量〉有關，借助于這個“參考態(tài)”將可以定義量子系統(tǒng)的非周期演化幾何相。在第IV部分將看到幾何相是由水平曲線長度與特殊曲線（非水平）長度不相等所導致的。

為了定義這條特殊的曲線，考慮覆蓋 ρ（t）＝Π（｜ψ（t）〉纖叢的“參考項”｜x0（t）〉。這是一個投影過程s∶l→P，各點 ρ（t）∈P的像點在過 ρ的纖Π（ρ）上，也即 Π。s＝idp。如果定義與初始點有關的“參考項”為經(jīng)過s項的態(tài)曲線的投影，那么該投影為

或

上式中中｜x0（t）的下標 0指的是｜x0（t）〉總是與初始態(tài)｜ψ（0）〉有關。如果將初始態(tài)表示為 ｜ψ1（t）〉，那么“參考項”將被表示為 ｜xt1（t）〉?！埃黿0（t）〉”是纖叢l的“局域項”，即s：Uα?P→l，其中Uα是 P的開領域，且具有以下性質(zhì)：

（1）sΠ（｜ψ（0）〉）＝｜ψ（0）〉＝｜x0（0）〉

（2）Π（｜x0（t）〉）＝Π（｜ψ（t）〉）

（3）在量子系統(tǒng)的整個演化過程中〈x0（0）｜x0（t）〉始終是正實數(shù)。

下面用覆蓋投影空間 P中的曲線Γ的“參考項”來定義幾何相。對（10）式微分得

其中·表示對t的微分，給上式左乘〈x0（t）〉｜，得

將（11）式兩邊同時積分，并利用（4）式可得任意量子演化過程中的幾何相定義為

另外，還可以將（13）式表示為對聯(lián)絡一形式的的線積分：其中 ?μ＝?／?λμ，λ是希爾伯特空間投影空間P中的坐標。是空間P中連接初始點 Π（｜ψ0〉和終點 Π（｜ψ〉）的一條曲線。ωμ（λ）＝〈x0（λ）｜?μx0（λ）〉是聯(lián)絡形式，它的線性積分給出了幾何相。下面將說明非周期幾何相的測量不變性。用纖維叢語言來說，測量變換是指從一個局域項（s：Uα?P→l）到另一個局域項（s′：U′α?P→l）的投影。該投影是投影空間P中兩個不同坐標鄰域之間交叉的結(jié)果。另一種局域項的選擇指：作改變｜x0（t）〉→｜x0（t）′〉＝eiη（t）｜x0（t）〉，項的改變由結(jié)構(gòu)組 U（1）作用于纖維給出。在這樣的測量變換下，聯(lián)絡一形式 ωμ（λ）變換為

局域項｜x0（t）〉將空間P中的一條開路徑投影到l中的一條開路徑，由此，路徑上的初始點和終點是同相的（利用局域項的性質(zhì)（3））。上述測量變換給出l中的一條不同的開路徑為了使｜x0（t）′〉成為一個局域參考項，必須要求路徑滿足局域項的性質(zhì)（3），即〈x0（0）′｜x0（t）′〉始終是正實數(shù)。這就要求測量函數(shù)必須滿足 η（t）＝η（0）＋2πn。在這樣的測量變換下，幾何相變?yōu)?/p>

由此可見，用這樣的參考項定義的幾何相具有測量不變性。幾何相定義（13）的重要性在于，即使測地沒有閉合初始點和終點，它也有自身的存在性與物理意義。如果測地閉合初始點和終點，那么沿著測地幾何相一致為零。下面將利用測地方程和它的解證明這一點?？臻g P中的測地定義為具有平穩(wěn)能量的水平曲線。定義水平曲線的能量為：如果做變量化計算，就會獲得水平矢量｜

ψ（t）〉滿足的測地方程其中Vp（t）＝ΔE（t）／?是空間 P中態(tài)矢的變換速度。這里的 ΔE（t）是系統(tǒng)能量的不確定度。為了簡單，假定 ΔE（t）是與時無關的。則測地方程的解為

假定量子系統(tǒng)沿著測地線從 t＝0到 t＝t演化，那么沿著這條特殊路徑的參考項寫為

（13）式是一個非定域積分，給出了經(jīng)過任意的量子演化過程后幾何相的開路表達式。動力學相是路徑 Γ的定域疊加函數(shù)，而幾何相是路徑的非定域非疊加函數(shù)。為了清楚地看到幾何相（13）的非疊加性質(zhì)，量子系統(tǒng)從點 Π（｜ψ（t1）〉）到點 Π（｜（ψ（t2）〉），然后再從點 Π（｜ψ（t2）〉）到點 Π（｜（ψ（t3）〉）的演化過程。下面將證明，系統(tǒng)從點 Π（｜ψ（t1）〉）到點 Π（｜ψ（t3）〉）的演化過程中所獲得的幾何相不等于從點Π（｜ψ（t1）〉）到點Π（｜ψ（t2）〉）與從點Π（｜ψ（t2）〉）到點Π（｜ψ（t3）〉）所獲得的幾何相之和。系統(tǒng)經(jīng)過從時刻 t1到 t2，t2到 t3，t1到 t3的演化所獲得的幾何相分別為參考項｜x1（t）和｜x2（t）定義為

式中 Φp（t，t1）＝arg〈ψ（t1）｜ψ（t）〉，Φp（t，t2）＝arg

利用（21）式將（22）式表示為

因此，額外的幾何相為

這也和三點的 Bargmann不變有關

上等式左邊僅包含額外的幾何相，而右邊僅包含額外總相位。這表明額外的動力學相一致為零。這清楚地表明動力學的疊加特性，給出了幾何相的非疊加特性。

在適當?shù)臉O限條件下，幾何相（13）退化為絕熱Berry相和非絕熱A－A相。例如，態(tài)矢｜ψ（t）〉經(jīng)過周期演化［0，t］后滿足｜ψ（T）〉＝exp（iΦ）｜ψ（0）〉，其中 Φ為總相位。而參考項｜x0（t）〉經(jīng)過周期演化［0，t］后滿足｜x0（T）〉｜x0（0）〉。因此，經(jīng)歷周期演化的量子相位為

于是，參考項｜x0（t）〉和A－A項｜φ~（t）〉之間的關系為

使用（24）將幾何相表示為

上式計算時還使用了（12）式。

3 非絕熱演化過程中的其它幾何結(jié)構(gòu)

這節(jié)將尋找任意量子演化過程中的其它幾何結(jié)構(gòu)，并探索幾何相產(chǎn)生的拓撲原理。描述多體拓撲學的基本幾何結(jié)構(gòu)有“長度元”和“距離元”。下面將推導出長度和距離之間的不等式，并證明幾何相產(chǎn)生于這個不等式?？紤]曲線 Γ0∶［0，t］→l和由參考 項 x0（t）描繪出的曲線：［0，t］→l以及水平曲線（t）〉。我們知道，希爾伯特空間Q中的內(nèi)積產(chǎn)生一個投影空間P中的度規(guī)，而度規(guī)定義了空間l中的一條可微曲線的長度。

在量子系統(tǒng)任意的演化過程中使得 t→｜x0（t）〉對應于曲線Γ0（t）。那么，可微曲線Γ0從一點 ｜x0（0）〉到另一點｜x0（t）的總長度定義為

可以證實，（28）和（29）兩式所表示的長度的定義也是與任何量子演化過程相關的幾何結(jié)構(gòu)。積分（28）和（29）式存在于時間段［0，t］中，且是連續(xù)的，積分中所用的參量都是實數(shù)。這兩個長度都有一個重要的特征—再參量化不變性，即經(jīng)過做變換 t→t′且＞0，由 Γ和得到的所有曲線的長度不變?！湟虼?，曲線的長度與它們投影的參量化無關，是幾何曲線的特點，是對 t不變的。而且，這些長度在相位變換下，即｜ψ（t）〉→eia（t）｜ψ（t）〉，l（x0（t））和l（t））仍然不變。此外，長度與驅(qū)動量子系統(tǒng)沿著空間 P路徑演化的某個哈密頓量也無關。

除過這些共有的幾何特征以外，上面定義的兩個長度在本質(zhì)上是不同的。l（x0（t））在本質(zhì)上是非疊加的，因為假如量子系統(tǒng)從 t1到t2，然后再從 t2到 t3，t1到 t3的曲線長度不等于從 t1到 t2與 t2到 t3的長度之和。這長度與幾何相的特點類似，即不可積性。事實上，長度等于態(tài)矢量沿著希爾伯特空間 P中一條曲線的總距離，該距離由 Fubini－Study度規(guī)測量得到。希爾伯特空間 P允許 Fubini－Study度規(guī)的存在，總距離等于系統(tǒng)經(jīng)歷任意演化過程后能量不確定度的時間積分，即而且，這兩個長度是完全不同的幾何體?？梢钥闯?，曲線長度 l（x0（t））大于曲線長度。為了清楚這一點，計算曲線長度l（x0（t））的無限小量的平方：

通過計算得，

上式表明，參考項曲線的微小改變與水平曲線的微小改變以及幾何相的微小改變構(gòu)成了正三角，且它們對應的長度，距離和幾何相滿足勾股定理。

4 2個例子

下面以一些簡單例子來說明上文介紹的觀點。首先考慮關于二能級原子的簡單例子，該模型與自旋1／2粒子與磁場相互作用的模型一致。這里，希爾伯特空間Q＝C2，且投影空間 P＝P1（C）是個二維球面 S2。在任意時刻t態(tài)矢表示為

式中，θ和φ是與二能級系統(tǒng)有關的物理參量。基矢｜＋〉和｜－〉是希爾伯特空間中的正交矢量。在非周期演化過程中，態(tài)矢以極角 θ和方位角 φ＝2ωt的椎體上描繪出一段弧形。假定在自旋演化過程中θ為常數(shù)，φ僅隨時間而變。參考項｜x0（t）〉表示為

容易看出，該參考項滿足第III部分提到的所有特點。使用這個參考項可以計算出二能級原子的非周期幾何相為

這是一個變化的幾何相，相對于線性變化的動力學相，它是非線性變化的。這樣的非周期幾何相的正確測量已被Wagh和 Rakhecha提出來了。

下面以一維諧振子為例說明以上觀點。諧振子的態(tài)矢屬于希爾伯特空間，諧振子的一維哈密頓量為

任意時刻 t的態(tài)矢用基矢｜n〉展開為

其中展開系數(shù)Cn取決于初始態(tài)｜ψ（0）〉的選取。如果初始態(tài)是一個相干態(tài)，那么｜ψ（t）〉變?yōu)?/p>

其中Z是復數(shù)。歸一化的參考項｜x0（t）〉與初始態(tài)同相，投影到空間P中同一條曲線上，且表示為｜x0（t）〉＝exp［－｜z｜2／2＋i tan－1

利用參考項｜x0（t）〉計算幾何相為

5 結(jié)論

本文主要研究了在任意量子演化過程中的幾何結(jié)構(gòu)。指出了所有這些幾何量之間的關系。利用投影希爾伯特空間 P中線束定義了參考項，并證明通過聯(lián)絡一形式的線性積分給出了幾何相表示。指出了幾何相的各種特征；證明了幾何相不僅是相位不變的，而且是測量不變的；還證明了幾何相的消失特性。另外，引入了任意量子演化的幾何長度和距離的定義，并給出了幾何相的拓撲原理。最后，計算了諧振子的任意演化幾何相。

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［責任編輯 賀小林］

Geometric Phase Characteristic During Arbitrary Quantum Evolution

WANG PENG1，JIA Pei－jun2
（1.College of Physics and Electrionic Information，Yan an University；2.Assets and Laboratory Management of Yan an University，Yan an 716000，China）

The expression for the geometric phasewas present during arbitrary quantum evolution.The gauge invariant and vanishing property of the geometric phase was showed.Not only the geometric phase was observed，The other geometric structure was found，such as geometric length and distance.The relation among these geometric structure was pointed ont.

geometric phase；quantum evolution；geometric structure

O413

A

1004-602X（2011）01-0023-06

2011 -01 -07

王鵬（1983—），男，陜西吳起人，延安大學助教。