半 E－預(yù)不變凸函數(shù)與多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件

張永戰(zhàn)，張慶祥

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

其中x∈M?Rn，M是關(guān)于 η的E－不變凸集，

半 E－預(yù)不變凸函數(shù)與多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件

張永戰(zhàn)，張慶祥

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

先對半 E－預(yù)不變凸函數(shù)做了進一步研究，得到了它的幾個性質(zhì)及半 E－嚴(yán)格預(yù)不變凸函數(shù)的判定定理，進而給出了半 E－預(yù)不變凸函數(shù)在多目標(biāo)規(guī)劃問題中的最優(yōu)性條件，進一步豐富了優(yōu)化研究內(nèi)容。

半 E－預(yù)不變凸性；多目標(biāo)規(guī)劃；有效解

凸性及廣義凸性是規(guī)劃問題的一個重要研究內(nèi)容。目前凸函數(shù)已被沿著多種途徑進行了推廣。1999年 Youness［1］通過定義 E－凸集，將凸函數(shù)推廣到 E－凸函數(shù)。而后Yang［2］及Chen［3］指出了文獻［1］的一些錯誤結(jié)論并舉出反例。Hanson［4］引入不變凸函數(shù)，并證明了 Kuhn－Tucker條件的充分性，Weir等人［5］定義了預(yù)不變凸函數(shù)。1995年Mohan和 Neogy［6］證明了在條件 C下，不變凸函數(shù)是預(yù)不變凸函數(shù)，擬不變凸函數(shù)是預(yù)擬不變凸函數(shù)。張慶祥［7］1994年證明了廣義不變凸多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件。

半 E－預(yù)不變凸函數(shù)是一類重要的廣義凸函數(shù)，它是半E－凸函數(shù)的推廣。研究更多的半 E－預(yù)不變凸函數(shù)的性質(zhì)與多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件以便于進一步認(rèn)識半E－預(yù)不變凸函數(shù)，從而廣泛應(yīng)用它來解決實際問題。

1 預(yù)備知識

定義1 M?Rn稱為不變凸集，若存在η：M× M→Rn，使得對任意 x，y∈M，λ∈［0，1］有

定義 2 M?Rn稱為關(guān)于 η的 E－不變凸集，如果對任意x，y∈M，λ∈［0，1］，有

定義3 函數(shù) f：Rn→R被稱為在集合M?Rn上的半E－凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)存在映射 E：Rn×Rn→Rn，對任意x，y∈M?Rn，λ∈［0，1］，使得M是E－凸集，且有

定義4 稱函數(shù) f：Rn→R是在E－不變凸集M?Rn上關(guān)于 η的 E－預(yù)不變凸函數(shù)，如果存在 η：M ×M→Rn，對任意x，y∈M，λ∈［0，1］，有

定義 5 稱函數(shù) f：Rn→R是在E－不變凸集M?Rn上關(guān)于 η的半E－預(yù)不變凸函數(shù)，如果存在η：M×M→Rn，對任意x，y∈M，λ∈［0，1］，有

在此定義中，顯然有當(dāng)η（E（x），E（y））＝E（x）－E（y）時，f為半 E－凸函數(shù)，即半 E－預(yù)不變凸函數(shù)是半 E－凸函數(shù)的推廣。

定義6 稱函數(shù)f：M→R是在E－不變凸集 M上關(guān)于 η的半 E－嚴(yán)格預(yù)不變凸函數(shù)，如果存在 η：M×M→Rn，對任意x，y∈M，x≠y，λ∈［0，1］，有

條件 C 向量函數(shù) η滿足條件 C是指：對任意x，y∈M，λ∈［0，1］，C1：η（y，y＋λη（x，y））＝－λη（x，y）；C2：η（x，y＋λη（x，y））＝（1－λ）η（x，y）.

引理 1 向量函數(shù) η滿足條件C，則有 η（y＋λη（x，y），y）＝λη（x，y）.

證明過程見文獻［9］的定理1。

條件D M?Rn稱為不變凸集，稱函數(shù) f：M?Rn→R滿足條件 D是指：

對任意x，y∈M，有f（y＋η（x，y））≤f（x）.

2 主要結(jié)果

2.1 半 E－預(yù)不變凸函數(shù)性質(zhì)

定理1 M是關(guān)于 η的E－不變凸集，E（M）是不變凸集，η：M×M→Rn且滿足條件 C，f：Rn→R是在E－不變凸集M上關(guān)于相同η的半E－預(yù)不變凸函數(shù)，且f（x）≤f（E（x）），若存在 α∈［0，1］，使得對任意x，y∈E（M）?M，x≠y有

則 f（x）是在M上關(guān)于 η的半E－嚴(yán)格預(yù)不變凸函數(shù)。

證明 假設(shè) f（x）不是在 M上關(guān)于 η的半 E－嚴(yán)格預(yù)不變凸函數(shù)，則存在x，y∈M，x≠y，λ∈［0，1］有

選取β1，β2滿足 0≤β1＜β2≤1，且 λ＝αβ1＋（1－α）β2，

由E（M）是不變凸集，故令

因為 f（x）是關(guān)于 η的半 E－預(yù)不變凸函數(shù)，故有

由條件C，我們有

即

由（3）和（4）及f（x）≤f（E（x））有

這與（2）矛盾。

定理2 設(shè)

（i）E（M）?M是關(guān)于 η的不變凸集，M是關(guān)于η的 E－不變凸集；

（ii）η滿足條件C，f滿足條件 D；

則 f關(guān)于相同的 η是E－預(yù)不變凸函數(shù)的充要條件是：

在［0，1］上是凸函數(shù)。

證明 必要性：若 f是 M上關(guān)于 η的半 E－預(yù)不變凸函數(shù)，則由定義得，

對任意x，y∈M，λ∈［0，1］及 α1，α2∈［0，1］有

若 a1＝a2，則

另外，假設(shè) a1－α2＞0，由 a1，a2∈［0，1］可知 a2≠1，

由引理1，有

由此及 E（M）的不變凸性和f的E－預(yù)不變凸性，

（5）式可以寫成如下形式

當(dāng) a1－a2＜0，利用條件 C中的C1可證得

故 Φ（a）為區(qū)間［0，1］上的凸函數(shù)。

充分性：因 Φ（a）為區(qū)間［0，1］上的凸函數(shù)，又f滿足條件D，所以對任意x，y∈M，λ∈［0，1］有

注 對于半預(yù)不變凸函數(shù)，上述充分性成立，必要性不一定成立。

定理3 設(shè) M是關(guān)于η的 E－不變凸集，f關(guān)于相同的 η是半 E－預(yù)不變凸函數(shù)，

則 H為凸集。

證明 對任意的 a1，a2∈H，存在 x1，x2∈M，使得a1，a2∈R，且f（x1）≤a1，f（x2）≤a2。由 M的 E不變凸性，對?λ∈［0，1］，有 E（x2）＋λη（E（x1），E（x2））∈M。又f（x）為M上的關(guān)于?的半E－預(yù)不變凸函數(shù)，所以

從而

所以 H為凸集。

2.2半 E－預(yù)不變凸多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件

考慮如下多目標(biāo)規(guī)劃

其中x∈M?Rn，M是關(guān)于 η的E－不變凸集，

且三者均為M上的關(guān)于相同η的半E－預(yù)不變凸函數(shù)。記

定理4 設(shè)f1（x），f2（x），...，fp（x）是x0＝E（x0）處關(guān)于η的半E－預(yù)不變凸函數(shù)，則的局部有效解也是全局有效解。

證明 設(shè) x0＝E（x0）是）的局部有效解，則存在一個鄰域 N（x0，ε），不存在

使得假設(shè)x0不是全局有效解，則存在使得f（x*）≤f（x0），即有fi（x*）≤fi（x0），i＝1，2，...，p.

因為fi（x），i＝1，2，...，p是半 E－預(yù)不變凸函數(shù)，所以對任意λ∈［0，1］，有

當(dāng) λ→0＋時

定理5 設(shè) M是關(guān)于 η的開 E－不變凸集。f（x）是 M上關(guān)于 η的半 E－預(yù)不變凸函數(shù)，且在 x0處沿任何方向的方向?qū)?shù)非負，則 x0是）的全局有效解。

證明 因為 f（x）在 x0處是半E－預(yù)不變凸函數(shù)，則對任意x，y∈M，λ∈［0，1］

令 λ→0＋，我們有

由已知條件有

因此有f（x）－f（x0）≥0，即x0是的全局有效解。

構(gòu)造如下的單目標(biāo)問題

其中 λ＝（λ1，...，λp）T∈Λ＋＋，Λ＋＋

引理 2［10］對每個給定的 λ∈Λ＋＋，則相應(yīng)于（SP）λ的最優(yōu)解必是（VP）的有效解。

定理6 設(shè)M是關(guān)于η的開E－不變凸集，f：M→Rp，g：M→Rm，h：M→Rq，若存在x0＝E（x0）∈M滿足如下條件：

（i）f，gI，h均為 x0處關(guān)于 η的可微半 E－預(yù)不變凸函數(shù)；

（ii）存在 λ－∈Λ＋＋，u－∈Rm＋，v－∈Rq使得

則 x0為的有效解。

證明 因為 f是 M上關(guān)于 η的半 E－預(yù)不變凸

由 x0＝E（x0）∈M得

由 f的可微性得

于是

同理

將（8），（9），（10）三式左右兩邊分別相加并由（a）得

另外由 gI（x）≤gI（x0）＝0，h（x）＝h（x0）＝0有

即 x0是的最優(yōu)解。

根據(jù)引理 1 x0為）的有效解。

［1］Youness E A.E－convex sets，E－convex functions and E－convex programming［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1999，102（2）：439－450.

［2］Yang X M.On E－convex sets，E－convex functions and E－convex programming［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2001，109（3）：699－703.

［3］Chen X S.Some properties of semi－E－convex functions［J］.JMath Anal Appl，2002，275：251－262.

［4］Hanson M A.On sufficiency of the Kuhn－Tucker conditions［J］.Mathimatical Programming，1981，80：545－550.

［5］Weir T.and Mond B.Pre－invex Functions in Multiple Objective Optimization［J］.JMath Anal Appl，1988，136：29－38.

［6］Mohan SR.，Neogy SK.On invex sets and preinvex functions［J］.JMath Anal Appl，1995，189：901－908.

［7］張慶祥.廣義不變凸多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件［J］.延安大學(xué)學(xué)報，1994（1）：26－32.

［8］彭建文，楊新民.嚴(yán)格預(yù)不變凸函數(shù)的兩個性質(zhì)（英文版）［J］.運籌學(xué)學(xué)報，2005（9）：37－42.

［9］趙克全.r－預(yù)不變凸函數(shù)的一個充分條件［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2006，23（1）：10－13.

［10］林銼云，董家禮.多目標(biāo)優(yōu)化的方法與理論［M］.長春：吉林教育出版社，1992.

［責(zé)任編輯 賀小林］

The Sem i E－Preinvex Functions and Optimality Conditions for M ultiobjective Programm ing

ZHANG Yong－zhan，ZHANG Qing－xiang
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）

The semi E－preinvex functions are further studied，some properties of semi E－preinvex functions and a criteria of semi E－strictly preinvex functions are presented，lastly optimality conditions formultiobjective programming involving the semi E－preinvex functions are given.

semi E－preinvexity；multiobjective programming；efficient solutions

O221.6

A

1004-602X（2011）01-0010-04

2011 -03 -01

陜西省教育廳專項科研基金資助課題（06JK152）

張永戰(zhàn)（1985—），男，陜西定邊人，延安大學(xué)在讀碩士研究生。