廣義一致對稱凸多目標半無限規(guī)劃的對偶性

高 穎，張慶祥

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

廣義一致對稱凸多目標半無限規(guī)劃的對偶性

高 穎，張慶祥

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

定義了廣義一致（F，α，p，d）－對稱凸函數(shù)，并在這些廣義凸性情形研究了一類多目標半無限規(guī)劃的對偶性，得到了若干弱對偶和強對偶定理。

廣義一致（F，α，p，d）－對稱凸函數(shù)；多目標半無限規(guī)劃；Mond－Weir型對偶；有效解

凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃的研究中占有十分重要的位置。與此同時，凸函數(shù)也從不同角度得到了不斷擴充，由此得到眾多的廣義凸函數(shù)類。Preda［1］在F－凸［2］和p－凸［3］的基礎(chǔ)上提出了（F，ρ）－凸的概念，并且得到推廣，其后，Liang等給出了（F，α，p，d）－凸的概念［4］，進一步拓展了（F，ρ）－凸函數(shù)，李麗等［5］又給出了（F，α，ρ，d）－對稱凸函數(shù)的概念，文獻［6］中給出了廣義一致（F，α，ρ，d）－凸函數(shù)概念，并研究涉及這些廣義凸函數(shù)的半無限分式規(guī)劃。

本文在廣義一致（F，α，ρ，d）－凸函數(shù)基礎(chǔ)上定義廣義一致（F，α，ρ，d）－對稱凸函數(shù)的概念，得到涉及此類廣義凸性的一類多目標半無限規(guī)劃的一些Mond－Weir的對偶性結(jié)果。

1 預(yù)備知識

定義 1.1［4］稱泛函 F：Rn×Rn×Rm→R是次線性的，如果?x1，x2∈Rn，有

（i） F（x1，x2；α1＋α2）≤F（x1，x2；α1）＋F（x1，x2；α2），?α1，α2∈Rm，

（ii） F（x1，x2；tα）＝tF（x1，x2；α），?α∈Rm，

由（ii）知，F(xiàn)（x1，x2；0）＝F（x1，x2；0α）＝0×F（x1，x2；α）＝0，其中0∈R。

設(shè) C?Rn是非空的，x∈C，f∶C→R在 x0處是對稱可微函數(shù)，F(xiàn)∶C×C×Rm→R是次線性泛函；設(shè) α

∶C×C→R＋{}＼0，ρi∈R，φ∶R→R，

b∶C×C×［0，1］→R＋，（x，x0；λ）＝b（x， x0），d∶C×C→R，d（.，.）是 Rn上的一個偽度量，ρ＝（ρ1，ρ2，…，ρm）。

定義 1.2［7］稱函數(shù)f（x）在x是對稱梯度，如果有

f（x＋h）－f（x－h(huán)）＝2hTfs（x）＋0（‖h‖），并記作fs（x）。

次梯度與梯度并不唯一，但對稱梯度唯一，而且對稱梯度與梯度有著很相似的性質(zhì)，所以研究對稱梯度有著重要意義。

定義 1.3［6］稱函數(shù) f∶C→R在x0∈C處關(guān)于F，φ，b，d是廣義一致（F，α，ρ，d）－凸的，如果對所有的x∈C，存在 ρ∈R，使得

2 主要結(jié)果

定義2.1 稱函數(shù) f∶C→R在 x0∈C處關(guān)于 F，φ，b，d是廣義一致（F，α，ρ，d）－對稱凸的，如果對所有的x∈C，存在 ρ∈R，使得

當(dāng) ρ＞0，ρ＝0，ρ＜0時，分別稱 f為廣義強一致（F，α，ρ，d）－對稱凸，廣義一致（F，α，ρ，d）－對稱凸，廣義弱一致（F，α，ρ，d）－對稱凸。

定義 2.2 稱函數(shù)f∶C→R在x0∈C處關(guān)于 F，φ，b，d是廣義一致嚴格（F，α，ρ，d）－對稱凸的，如果對所有的 x∈C，x≠x0，存在 ρ∈R，使得

定義 2.3 稱函數(shù)f∶C→R在x0∈C處關(guān)于 F，φ，b，d是廣義一致（F，α，ρ，d）－對稱偽凸的，如果對所有的x∈C，存在 ρ∈R，使得

定義 2.4 稱函數(shù)f∶C→R在x0∈C處關(guān)于 F，φ，b，d是廣義一致嚴格（F，α，ρ，d）－對稱偽凸的，如果對所有的 x∈C，x≠x0，存在 ρ∈R，使得

定義 2.5 稱函數(shù)f∶C→R在x0∈C處關(guān)于 F，φ，b，d是廣義一致嚴格（F，α，ρ，d）－對稱擬凸的，如果對所有的x∈C，存在 ρ∈R，使得

當(dāng) ρ＜0，ρ＝0，ρ＜0時，分別稱 f為廣義強一致（F，α，ρ，d）－對稱擬凸，廣義一致（F，α，ρ，d）－對稱擬凸，廣義弱一致（F，α，ρ，d）－對稱擬凸。

定義 2.6 稱函數(shù)f∶C→R在x0∈C處關(guān)于 F，φ，b，d是廣義一致（F，α，ρ，d）－弱對稱擬凸的，如果對所有的 x∈C，存在ρ∈R，使得

考慮多目標半無限規(guī)劃（VP）min f（x）＝（f1（x），f2（x），…，fp（x）），

其中f∶X0→Rp是對稱可微函數(shù)，g∶X0×U→Rm對于?u∈U關(guān)于x是對稱可微函數(shù)，X0?Rn是一非空開集，U?Rm是一無限參數(shù)集。

記X＝ {x｜g（x，u）≤0，x∈X0，u∈U}，是 U的任意可數(shù)子集，，且僅有有限個 μi＝0}。

規(guī)劃（VP）的 Mond－Weir型對偶規(guī)劃（VD）

μj≥0，對一切j∈Δ，且僅有有限個＝1. （c）

W＝{（y，uj，λ，μ）｜（y，uj，λ，μ）}滿足（a）（b）（c）式子為（VD）的可行集。

定理1（弱對偶性）設(shè)x∈X，（y，uj，λ，μ）∈W，如果對于 λi＞0，i＝1，2，…，p，μj∈Λ，j∈Δ，?F，φ1，φ2，b1，b2，ρ∈R1，ρj2∈R1Λ，滿足

證明：假設(shè)f（x）≤f（y），則?i0∈ { 1，2，…，p}，使得 fi0（x）＜fi0（y），fi（x）≤fi（y），?i∈ {1 ，2，…，p}，i≠j。

因 λi＞0，i＝1，2，…，p，所以

由（i）得又

μj∈Λ，且 j∈I（y），g（y，uj）＝0，所以uj）≥0，

當(dāng) j?I（y）時，取μj＝0，

式（1）＋（2），利用F的次線性性質(zhì)，得

定理2（弱對偶性）設(shè)x∈X，（y，uj，λ，μ）∈W，如果對于 λi＞0，i＝1，2，…，p，μj∈∧，j∈Δ，?F， φ1，φ2，b1，b2，ρ∈R1∈R1Λ，滿足

定理3（弱對偶性）設(shè)x∈X，（y，uj，λ，μ）∈W，如果對于 λi＞0，i＝1，2，…，p，uj∈Λ，j∈Δ，?F，φ1，φ2，b1，b2，ρ∈R1∈R1Λ，滿足

（i）∑p

i＝1λifi在 y是廣義一致嚴格（F，α，ρ，d）－對稱偽凸；

定理4（弱對偶性）設(shè)x∈X，（y，uj，λ，μ）∈W，如果對于 λi＞0，i＝1，2，…，p，μj∈Λ，j∈Δ，?F，φ1， φ2，b1，b2，ρ∈R1，∈R1Λ，滿足

定理5（弱對偶性）設(shè)x∈X，（y，uj，λ，μ）∈W，如果對于 λi＞0，i＝1，2，…，p，μj∈Λ，j∈Δ，?F，φ1，φ2，b1，b2，ρ∈R1，∈R1Λ，滿足

定理2－定理 5的證明類似于定理1。

定理6（強對偶性）x*是（VP）的一個有效解，如果對 λi＞0，i＝1，2，…，p，μj∈Λ，j∈Δ，?F，φ1，φ2，b1，b2，ρ∈R1，ρj2∈R1Λ，滿足

（iv）對于（y，uj，λ，u）∈W，在x*處Kuhn－tuker約束備格成立，則?（x*，u*）使得（x*，ui，x*，u*）為（VD）的有效解，且（VP）與（VD）的目標函數(shù)值相等。

證明：因在 x*處 Kuhn－tuker約束備格成立，所以?＞0，i＝1，2，…，p，Λ，j∈Δ，?uj∈U*，有g(shù)（x*，uj）≥0，所以（x*，uj，λ*，u*）是（VD）的可行解。

假設(shè)（x*，uj，λ*，u*）不是（VD）的有效解，則?（y，uj，λ，μ）∈W和一個i0，使得

另一方面，由弱對偶性（定理 2）知，f（x*）f（y），這與式（3）矛盾，故（x*，uj，λ*，u*）是（VD）的有效解，顯然，兩規(guī)劃的目標函數(shù)值相等。

［1］Preda V.On efficiency and duality formultiobjective program［J］.JMath Anal Appl，1992，166：365－377.

［2］Gulati TR.Islam A.Sufficiency and duality inmultiobjective programming problems involving generalized F－convex functions［J］.JMath Anal Appl，1994，183：181－195.

［3］Via l JP.Strong and weak convexity setand functions［J］. Math Oper Res，1983（8）：231－259.

［4］Liang ZA.Huang X.Pardalos PM.Optimality conditions and duality for a class ofnonlinear fractional programming problems［J］.JOptim Theory Appl，2001，110：611－619.

［5］李麗，張慶祥.（F，α，ρ，d）－對稱凸性下多目標規(guī)劃的MOND－WE IR型對偶［J］.延安大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，28（2）：14－17.

［6］高曉艷，張慶祥，張蕾蕾.一類廣義一致凸半無限分式規(guī)劃的最優(yōu)性條件［J］.延安大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2005，24（1）：26－31.

［7］Minch R A.Applications of symmetric derivatives in Mathematical programming［J］.Mathematical Programming 1971（1）：307－320.

［責(zé)任編輯 賀小林］

Duality for M ultiobjective Sem i－Infinite Programm ing under Generalized Uniform（F，α，ρ，d）－Symmetrical Convexity

GAO YING，ZHANG Qing－xiang
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）

The generalized uniform（F，α，ρ，d）－symmetrical convex function is defined.Some weak duality and strong duality theorems formultiobjective semi－infinite programming are given under these generalized convexity（F，α，ρ，d）－symmetrical convex.

generalized uniform（F，α，ρ，d）－symmetrical convexity；multiobjective semi－infinite programming；Mond－Weir vector duality；efficient solutions

O221.6

A

1004-602X（2011）01-0006-04

2011 -03 -19

陜西省教育廳專項科研基金資助課題（06JK152）

高穎（1984—），女，陜西米脂人，延安大學(xué)在讀碩士研究生。