C－余弦算子函數(shù)拓?fù)?/h1>
2011-06-05 14:36:49趙華新
畢 偉，趙華新
（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）
C－余弦算子函數(shù)拓?fù)?/p>
畢 偉，趙華新
（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）
利用 C－余弦算子函數(shù)的概念，引入一新的局部凸向量拓?fù)洌?duì)其基本性質(zhì)以及在新的局部凸線性拓?fù)湟饬x下 C－余弦算子函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行初步研究。
余弦算子函數(shù)；局部凸向量拓?fù)?；生成元；C－余弦算子函數(shù)拓?fù)?/p>
2006年趙華新［1］首次提出了半群拓?fù)溥@一理論，之后王曉夢(mèng)［2］將這一理論推廣到積分 C－半群拓?fù)洹１疚脑诖嘶A(chǔ)上，主要利用 C－余弦算子函數(shù)的概念，誘導(dǎo)出一新的局部凸線性拓?fù)?，并?duì)其基本性質(zhì)以及在新的局部凸線性拓?fù)湟饬x下 C－余弦算子函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行初步研究。余弦算子函數(shù)拓?fù)鋵⒕植客咕€性拓?fù)淇臻g理論與有界線性算子半群理論有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使這兩個(gè)方面的理論更為豐富，應(yīng)用更為廣泛。
設(shè)X是Banach空間，C∈B（X）是一單射，強(qiáng)連續(xù)算子族｛T（t），t∈R｝∈B（X）是 X上的 C－余弦算子函數(shù)，即滿足：
（1） T（0）＝C；
（2）2T（t）T（s）＝T（t＋s）C＋T（t－s）C t，s∈R.
C－余弦算子函數(shù)｛T（t），t∈R｝的無(wú)窮小生成元 A定義如下：Ax＝（λ2－C）x，?x∈D（A）＝｛x∈X；Cx∈R（Rλ）｝
其中 Rλ＝λ－1e－λtT（t）dt∈B（X），（λ＞ω）為單射，且A與 λ無(wú)關(guān)。
A的 C預(yù)解式定義如下：
其中 ρc（A）＝｛λ2：λ2－A為單射且 R（C）?R（λ2－A）｝。
對(duì)任意λ＞ω，令 Rλ（x）＝‖R（λ2，A）cx‖＝
x∈X，t∈R，則利用C－余弦算子函數(shù)的定義容易驗(yàn)證，對(duì)任意 x，y∈X及 λ＞ω有
（1）pλ（x）≥0；
（2）pλ（x＋y）≤pλ（x）＋pλ（y），x，y∈X；
（3）pλ（αx）＝αpλ（x），α≥0.
即 Pλ（x）是X上的一半范數(shù)，從而由半范數(shù)族 S＝｛Pλ，λ＞ω｝可以確定一局部凸向量拓?fù)?，記?τ。
定義1 由上述半范數(shù)族S＝｛Pλ，λ＞ω｝所確定的X上的局部凸向量拓?fù)浞Q為 C－余弦算子函數(shù)拓?fù)?，相?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為（X，τ）。
引理 1［3］設(shè) E是線性空間，A，B是 E上的兩族半范數(shù)，則由 A確定的拓?fù)淙跤谟葿確定的拓?fù)涞某湟獥l件是：對(duì)于每個(gè) q∈A，必存在 p1，p2...pm∈B以及正數(shù) c1，c2...cm使得對(duì)一切 x∈E成立：
定理1 X上的 C－余弦算子函數(shù)拓?fù)淙跤谟煞稊?shù)所確定的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明 由于對(duì)任意 λ＞ω及 x，y∈X有：
由此及引理1，易見(jiàn)定理成立。
定義2 在一局部凸線性拓?fù)淇臻gX中，若對(duì)任意的Cauchy序列｛xn｝，｛R（λ2，A）xn｝（λ＞ω）都收斂，則稱 X是 C－余弦算子函數(shù)完備的。
定理2 局部凸線性拓?fù)淇臻g（X，τ）是C－余弦算子函數(shù)完備的。
證明 設(shè)｛xn｝是（X，τ）中的任意 Cauchy序列，則對(duì)于任意連續(xù)半范數(shù)q（x）及ε＞0，集合U＝｛x：q（x）＜ε｝構(gòu)成0的一個(gè)鄰域，從而必存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n，m＞N時(shí)，有（xn－xm）∈U，即q（xn－xm）＜ε，特別地，對(duì)任意pλ（x）∈S有
可知｛R（λ2，A）Cxn｝（λ＞ω）是 Banach空間（X，‖●‖）中的 Cauchy序列，從而｛R（λ2，A）Cxn｝（λ＞ω）必收斂，再由定理1知｛R（λ2，A）Cxn｝（λ＞ω）也是（X，τ）中的收斂列。
由于pλ（x）＝‖R（λ2，A）Cx‖≤‖R（λ2，A）C‖·‖x‖，所以拓?fù)洇尤跤谟煞稊?shù)所確定的一局部凸向量拓?fù)?，從而?dāng)｛T（t），t∈R｝是（X，‖●‖）上的C－余弦算子函數(shù)時(shí)，它也是局部凸線性拓?fù)淇臻g（X，τ）上的C－余弦算子函數(shù)。
對(duì)于由單個(gè)半范數(shù)誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)?，有如下結(jié)果：
定理3 設(shè) λ，μ＞ω且 λ2，μ2∈ρ（A），則由半范數(shù) pλ（x）＝‖R（λ2，A）Cx‖所確定的局部凸向量拓?fù)渑c由半范數(shù) pμ（x）＝‖R（μ2，A）Cx‖所確定的局部凸向量拓?fù)涞葍r(jià)。
證明 因?yàn)橛深A(yù)解方程知，對(duì)任意 λ2，μ2∈ρ（A）有
則對(duì)任意 x∈X有：
類似地，有
再利用引理1，即可得本定理成立。
［1］趙華新.C－半群拓?fù)洌跩］.河南科學(xué)，2006（2）：169－171.
［2］王曉夢(mèng)，趙華新，常勝偉.積分 C－半群拓?fù)洌跩］.延安大學(xué)學(xué)報(bào)，2008（2）：5－6.
［3］夏道行，楊亞力.線性拓?fù)淇臻g引論［M］.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1986.
［4］鄭權(quán)，雷巖松.指數(shù)有界的C－余弦算子函數(shù)［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，1996（3）：242－252.
［責(zé)任編輯 賀小林］
C－cosine Operator Function Topological
BIWEI，ZHAO Hua－xin
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）
By using the C－cosine operator function，a new locally convex vector topologicalwas introducted，and propositions of itwere given.
cosine operator function；locally convex vector topological；generator；C－cosine operator function topological
O177.3
A
1004-602X（2011）02-0013-02
2011 -03 -22
畢偉（1986—），男，陜西米脂人，延安大學(xué)在讀碩士研究生。
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畢 偉，趙華新
（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）
C－余弦算子函數(shù)拓?fù)?/p>
畢 偉，趙華新
（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）
利用 C－余弦算子函數(shù)的概念，引入一新的局部凸向量拓?fù)洌?duì)其基本性質(zhì)以及在新的局部凸線性拓?fù)湟饬x下 C－余弦算子函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行初步研究。
余弦算子函數(shù)；局部凸向量拓?fù)?；生成元；C－余弦算子函數(shù)拓?fù)?/p>
2006年趙華新［1］首次提出了半群拓?fù)溥@一理論，之后王曉夢(mèng)［2］將這一理論推廣到積分 C－半群拓?fù)洹１疚脑诖嘶A(chǔ)上，主要利用 C－余弦算子函數(shù)的概念，誘導(dǎo)出一新的局部凸線性拓?fù)?，并?duì)其基本性質(zhì)以及在新的局部凸線性拓?fù)湟饬x下 C－余弦算子函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行初步研究。余弦算子函數(shù)拓?fù)鋵⒕植客咕€性拓?fù)淇臻g理論與有界線性算子半群理論有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使這兩個(gè)方面的理論更為豐富，應(yīng)用更為廣泛。
設(shè)X是Banach空間，C∈B（X）是一單射，強(qiáng)連續(xù)算子族｛T（t），t∈R｝∈B（X）是 X上的 C－余弦算子函數(shù)，即滿足：
（1） T（0）＝C；
（2）2T（t）T（s）＝T（t＋s）C＋T（t－s）C t，s∈R.
C－余弦算子函數(shù)｛T（t），t∈R｝的無(wú)窮小生成元 A定義如下：Ax＝（λ2－C）x，?x∈D（A）＝｛x∈X；Cx∈R（Rλ）｝
其中 Rλ＝λ－1e－λtT（t）dt∈B（X），（λ＞ω）為單射，且A與 λ無(wú)關(guān)。
A的 C預(yù)解式定義如下：
其中 ρc（A）＝｛λ2：λ2－A為單射且 R（C）?R（λ2－A）｝。
對(duì)任意λ＞ω，令 Rλ（x）＝‖R（λ2，A）cx‖＝
x∈X，t∈R，則利用C－余弦算子函數(shù)的定義容易驗(yàn)證，對(duì)任意 x，y∈X及 λ＞ω有
（1）pλ（x）≥0；
（2）pλ（x＋y）≤pλ（x）＋pλ（y），x，y∈X；
（3）pλ（αx）＝αpλ（x），α≥0.
即 Pλ（x）是X上的一半范數(shù)，從而由半范數(shù)族 S＝｛Pλ，λ＞ω｝可以確定一局部凸向量拓?fù)?，記?τ。
定義1 由上述半范數(shù)族S＝｛Pλ，λ＞ω｝所確定的X上的局部凸向量拓?fù)浞Q為 C－余弦算子函數(shù)拓?fù)?，相?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為（X，τ）。
引理 1［3］設(shè) E是線性空間，A，B是 E上的兩族半范數(shù)，則由 A確定的拓?fù)淙跤谟葿確定的拓?fù)涞某湟獥l件是：對(duì)于每個(gè) q∈A，必存在 p1，p2...pm∈B以及正數(shù) c1，c2...cm使得對(duì)一切 x∈E成立：
定理1 X上的 C－余弦算子函數(shù)拓?fù)淙跤谟煞稊?shù)所確定的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
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定理2 局部凸線性拓?fù)淇臻g（X，τ）是C－余弦算子函數(shù)完備的。
證明 設(shè)｛xn｝是（X，τ）中的任意 Cauchy序列，則對(duì)于任意連續(xù)半范數(shù)q（x）及ε＞0，集合U＝｛x：q（x）＜ε｝構(gòu)成0的一個(gè)鄰域，從而必存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n，m＞N時(shí)，有（xn－xm）∈U，即q（xn－xm）＜ε，特別地，對(duì)任意pλ（x）∈S有
可知｛R（λ2，A）Cxn｝（λ＞ω）是 Banach空間（X，‖●‖）中的 Cauchy序列，從而｛R（λ2，A）Cxn｝（λ＞ω）必收斂，再由定理1知｛R（λ2，A）Cxn｝（λ＞ω）也是（X，τ）中的收斂列。
由于pλ（x）＝‖R（λ2，A）Cx‖≤‖R（λ2，A）C‖·‖x‖，所以拓?fù)洇尤跤谟煞稊?shù)所確定的一局部凸向量拓?fù)?，從而?dāng)｛T（t），t∈R｝是（X，‖●‖）上的C－余弦算子函數(shù)時(shí)，它也是局部凸線性拓?fù)淇臻g（X，τ）上的C－余弦算子函數(shù)。
對(duì)于由單個(gè)半范數(shù)誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)?，有如下結(jié)果：
定理3 設(shè) λ，μ＞ω且 λ2，μ2∈ρ（A），則由半范數(shù) pλ（x）＝‖R（λ2，A）Cx‖所確定的局部凸向量拓?fù)渑c由半范數(shù) pμ（x）＝‖R（μ2，A）Cx‖所確定的局部凸向量拓?fù)涞葍r(jià)。
證明 因?yàn)橛深A(yù)解方程知，對(duì)任意 λ2，μ2∈ρ（A）有
則對(duì)任意 x∈X有：
類似地，有
再利用引理1，即可得本定理成立。
［1］趙華新.C－半群拓?fù)洌跩］.河南科學(xué)，2006（2）：169－171.
［2］王曉夢(mèng)，趙華新，常勝偉.積分 C－半群拓?fù)洌跩］.延安大學(xué)學(xué)報(bào)，2008（2）：5－6.
［3］夏道行，楊亞力.線性拓?fù)淇臻g引論［M］.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1986.
［4］鄭權(quán)，雷巖松.指數(shù)有界的C－余弦算子函數(shù)［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，1996（3）：242－252.
［責(zé)任編輯 賀小林］
C－cosine Operator Function Topological
BIWEI，ZHAO Hua－xin
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）
By using the C－cosine operator function，a new locally convex vector topologicalwas introducted，and propositions of itwere given.
cosine operator function；locally convex vector topological；generator；C－cosine operator function topological
O177.3
A
1004-602X（2011）02-0013-02
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