L－預拓撲空間的良緊性

王 瑜，馬保國，張敏芝

（延安大學數學與計算機科學學院，陜西 延安，716000）

L－預拓撲空間的良緊性

王 瑜，馬保國，張敏芝

（延安大學數學與計算機科學學院，陜西 延安，716000）

在 L－預拓撲空間中定義了良緊集，并討論了 L－預拓撲空間中良緊集的等價刻劃與基本性質。

L－預拓撲空間；α－遠域族；良緊集；r－覆蓋；α－網

眾所周知，緊性理論是模糊拓撲學研究的重要課題之一，而良緊性被認為是一種最好的緊性。文獻［1］王國俊教授在 LF－拓撲空間中，就 L＝［0，1］的情形引入良緊性理論。彭育威在文獻［2］、［3］中將良緊性理論推廣到一般的F格 L的情形，給出了不依賴于［0，1］拓撲結構的良緊性的等價刻劃，并討論了它們的基本性質。自從李生剛等人在文獻［4］中引入L－預拓撲空間的概念以來，得出了一系列有意義的結果［4－7］。但是在 L－預拓撲空間，對于良緊集目前還沒有研究。因此本文的主要目的是在已有文獻的基礎上，引入 L－預拓撲空間的良緊集及良緊空間的概念，給出了它們的等價刻劃并研究其基本性質，如，L－預拓撲空間的良緊性對閉子集是遺傳的、弱拓撲不變的、L－好的推廣等。

本文中L表示具有最小元0和最大元 1的De Morgan代數，LX是從 X到 L的映射的全體。Copr（L）表示L中非 0余素元的全體，Pr（L）表示 L中非1素元的全體。α∈L，β（α）為α的極小集，β*（α）＝β（α）∩Copr（L）.其它記號和術語見參考文獻。

1 預備知識

定義 1.1[4]設L是 Fuzzy格，X≠?，δ?LX，

若則稱δ為X上的L－預拓撲，稱（X，δ）為L－預拓撲空間，δ中的成員稱為 L－開集，δ′中的成員稱為 L－閉集。

定義 1.2［6］設（X，δ）是L－預拓撲空間，xλ∈Copr（LX），A∈δ′，若 xλ≤A，則稱A為xλ的閉預遠域。設 B∈LX，若有 xλ的閉預遠域 A，使得 B≤A，則稱B為xλ的預遠域。xλ的所有預遠域之集，稱為 xλ在（X，δ）中的預遠域系，記作 ηδ（xλ）；xλ在

定義 1.3［5］設（X，δ）是L－預拓撲空間，G∈LX，α∈Copr（L），Φ?δ′。

（1）若?xa≤G，存在 A∈Φ，使得 xa≤A，則稱Φ為 G的 α－預遠域族。記作∧Φ＜G（α）。

（2）若?γ∈β*（α），使 Φ為 G的 γ－預遠域族，則 稱 Φ 為 G的 α－－預遠 域族，記 作∧Φ＜＜G（α）

定義 1.4［6］設（X1，δ1）和（X2，δ2）為兩個L－預拓撲空間，f：X1→X2是一個映射，如果對任意 B∈δ2，有fL←（B）∈δ1，或對任意 B∈δ2′，有 fL←（B）∈δ1′，則稱 f為連續(xù)的 L－值 Zadeh型函數。

其中，fL→

定義1.5 設（X，δ）是L－預拓撲空間，α∈Copr（L），稱X中網｛S（n），n∈D｝為α－網，是指存在n0∈D，使得對于任意n≥n0（n∈D），當r∈β*（α）時，有V（S（n））≥r成立。其中V（S（n））表示S（n）的高度，令V（S）＝｛V（S（n）），n∈D｝，這時V（S）是 L中的分子網，稱為 S的值網。

定義1.6 設S＝｛S（n），n∈D｝為L－預拓撲空間（X，δ）中的α－網，xα∈Copr（LX），如果?U∈ηδ（xα），S經常不在U中，則稱 xα為 S的聚點。

定義 1.7［6］設（X，R）是分明的預拓撲空間，L是完全分配格，A：X→L是映射。如果對任意的 α這里 R′表示（X，R）中全體閉集之族。則稱 A為 X上的 L值下半連續(xù)映射。以 ωL（R）表示X上全體下半連續(xù)映射之集，則

（1）X上每個 L中取常值的函數屬于ωL（R），

（2）若A，B∈ωL（R，則A∧B∈ωL（R），

（3）若I?ωL（R），則∨I∈ωL（R）.

由此可見，ωL（R）是 X上的 L－預拓撲，叫做由R生成（或誘導）的 X上的 L－預拓撲，并且稱（X，ωL（R）為（X，R）拓撲生成（或誘導）的L－預拓撲空間。

2 L－預拓撲空間的良緊集

定義2.1 設（X，δ）是L－預拓撲空間，A∈LX.如果對 A的任一α－預遠域族 Φ?δ′，Φ有有限子族 Ψ，使 Ψ構成 A的α－－預遠域族，則稱A為（X，δ）中的良緊集。

當（X，δ）中的最大L－集1是良緊集時，稱（X，δ）為良緊的L－預拓撲空間，簡稱良緊空間。

定理2.1 設（X，δ）是L－預拓撲空間，A∈LX，則 A為良緊集當且僅當以下條件成立：

（1）?α∈Copr（L），A的每個 α－預遠域族 Φ都有有限的子 α－預遠域族，即，若∧Φ＜A（α），則有 ψ∈2（Φ），使∧Ψ＜A（α）.

（2）?α∈Copr（L），由一個閉集構成的 A的α－預遠域族 Φ＝｛P｝也是 A的 α－－預遠域族。

證明 必要性：設 A是良緊集，?α∈Copr（L），Φ是A的α－預遠域族，則Φ有有限子族 Ψ，使∧Ψ＜＜A（α）.這時自然有∧Ψ＜A（α），即，Ψ是 Φ的有限子 α－預遠域族，從而（1）成立。再設Φ＝｛P｝是 A的α－預遠域族，則 Φ有有限子族，使∧Ψ＜＜A（α）.但這時只可能 Ψ＝Φ，所以，Φ也是A的α－的任一分子 xr，均有這時，存在Q∈Ψ，使r≤Q（x），所以，Ψ是A的 α－－預遠域族。這就證明了 A是良緊集。

定義2.2 設（X，δ）是L－預拓撲空間，Ω?LX.如果∨Ω＝1，則稱Ω為（X，δ）的覆蓋。如果 Ω?δ，則稱Ω為（X，δ）的開覆蓋。當 Δ?Ω，且∨Δ＝1時，稱 Δ為 Ω的子覆蓋。

定義2.3 設（X，δ）是L－預拓撲空間，Ω?δ，r是L中的素元，且r＜1。?x∈X，有U∈Ω，使U（x）≤r，則稱 Ω為（LX，δ）的r－覆蓋，或簡稱 Ω為r－覆蓋。設 α*（r）是 r的異于1的素元組成的極大集。若存在s∈α*（r），使Ω為（X，δ）的s－覆蓋，則稱Ω為 r＋－覆蓋。

定理2.2 L－預拓撲空間（X，δ）是良緊集當且僅當每個r－覆蓋Ω，都有有限子族 Δ，使 Δ構成r＋－覆蓋。

證明 設（X，δ）是良緊空間，Ω是 r－覆蓋，r是 L中的素元且 r＜1.令Φ＝Ω′，則 Φ是閉集族，且?x∈X，有P＝U′∈Φ，使U（x）≤r，也就是r′≤P（x）.因為r是異于1的素元，所以 r′是 L中的分子。由xr

′≤P知，P∈ηδ（xr′）.這表明 Φ是 r′－預遠域族，因為（X，δ）是良緊空間，所以，Ω有有限子族Δ，使得 Ψ＝Δ′構成（r′）－－預遠域族，即，存在 s∈β*（r′），使得?x∈X，有B∈Δ，使s≤V′（x）.這等價于存在s′∈α*（r），使?x∈X，有 B∈Δ，使V（x）≤s′.可見Ω的有限子族 Δ是 r＋－覆蓋。

反過來，設（X，δ）的每個 r－覆蓋都有有限子族構成（X，δ）的 r＋－覆蓋。設 Φ是任一 α－預遠域族。令Ω＝Φ′，r＝α′，則由α為分子知r是異于1的素元且 Ω是 r－覆蓋。由假設Ω有有限子族 Δ，使其構成 r＋－覆蓋，令 Ψ＝Δ′，則Ψ是Φ的有限子族。易證 Ψ是α－－預遠域族，所以（X，δ）是良緊空間。

定理2.3 設（X，δ）是L－預拓撲空間，A∈LX，則 A是良緊集當且僅?α∈Copr（L），A中的α－網在 A中有一高度等于 α的聚點。

證明 設 A是良緊集，S＝｛S（n），n∈D｝是 A－預遠域族，從而（2）成立。

充分性：設條件（1）和（2）成立，?α∈Copr（L），Φ是A的 α－預遠域族。由（1）知，Φ有有限子族Ψ，使∧Ψ＜A（α）.令P＝∧Ψ，則{｝P顯然是A的 α－預遠域族。由（2）知，{ ｝P也是A的 α－－預遠域族。即，Copr（L）中有分子r∈β*（α），使得對A中中的 α－網，若S在 A中沒有高度等于α的聚點。那么，對A中任一分子 xα，有U（x）∈ηδ（xα）使 S最終小于或等于U（x），即，存在n（x）∈D使當n≥n（x）時S（x）≤U（x）.令｝，則Φ是A的 α－遠域族。因為 A是良緊集，Φ有有限子族 Ψ使∧Ψ＜＜A（α），即，存在r∈β*（α）使得對 A中任一分子yr有i≤k使 yr≤U（xi）.令，則對 A中任一分子yr有 yr≤ U，即，

因為 D是定向集，存在 n0∈D使 n0≥n（xi）（i＝1，...，k）。那么當 n≥n0時，S（n）≤U（xi）（i＝1，...，k），從而當n≥n0時S（n）≤U，即，

由（1），（2）式及S（n）≤A得，當n≥n0時 V（S（n））≥r。這與S是A中的 α－網的定義相矛盾。所以S在 A中至少有一高度等于 α的聚點。

反過來，設 A中每個α－網在 A中有高度等于α的聚點（α∈Copr（L）），Φ是A的 α－遠域族。設Φ的任一有限子族 Ψ都不是A的 α－－遠域族，則?Ψ∈2（Φ），?r∈β*（α），A中有分子xΨ

r使

令 D＝β*（α）×2（Φ），對 D中二元（r1，Ψ1）與（r2，Ψ2），規(guī)定（r1，Ψ1）≤（r2，Ψ2）當且僅當 r1≤r2且 r1≤r2，

由［1］中的引理6.2.6易知 D是定向集。令

則S是 A中的分子網。因為?r∈β*（α），任取Ψ0∈2（Φ），則當（s，Ψ）≥（r，Ψ0）時，V（xΨs）≥r，所以 S是A中的α－網。在 A中任取高度等于 α的分子 xα.由 Φ是A的 α－遠域族知，有Q∈Φ使 Q∈ηδ（xα）.這時｛Q｝∈2（Φ）.任取s∈β*（α），則當（r，Ψ）≥（s，｛Q｝）時，由（3）式及Q∈Ψ知≤Q，即，S最終在Q中，所以 xα不是 S的聚點。那么 S在 A中就沒有高度等于 α的聚點，此與題設矛盾。所以 Φ有有限子族 Ψ，使 Ψ成為A的α－－遠域族，可見 A是良緊集。

定理2.4 設（X，δ）是L－預拓撲空間，A是良緊集，B是閉集，則 A∧B是良緊集。

證明 設S是A∧B中的α－網，則S也是A中的 α－網。因為 A是良緊集，S在 A中有一高度等于 α的聚點 xα。但 S又是閉集 B中的分子網，xα作為 S的聚點應當有 xα≤B1。所以 xα≤A∧B，即，xα是 S在 A∧B中的聚點，因此A∧B是良緊集。

L－預拓撲空間中的良緊集在連續(xù)的 L值 Zadeh型函數之下的像是良緊集。

定理2.5 設（X1，δ1）和（X2，δ2）是L－預拓撲空間，f：（X1，δ1）→（X2，δ2）是連續(xù)的L值Zadeh型函數，那么當 A是（X1，δ1）中的良緊集時f（A）是（X2，δ2）中的良緊集。

證明 ?α∈Copr（L），設 Φ是f（A）的 α－預遠域族，則對 A中任一分子 xα，f（xα）＝（f（x））α是 f（A）中高度等于α的分子，所以Φ中有閉集 P，使（f（x））α≤P，或 α≤P（f（x）），這等價于α≤f－1（P）（x）或xα≤f－1（P）。因為f連續(xù)，f－1（P）是（LX，δ1）中的閉集，所以，f－1（P）∈η－δ1（xα），從而f－1（Φ）是A的α－預遠域族。由 A的良緊性知，Φ有有限子族 Ψ＝｛P1，...，Pn｝，使f－1（Ψ）是A的α－預遠域族。以下只須證明Ψ就是 f（A）的α－－預遠域族，為此只須證明存在s∈β*（α），使 f（A）中任一高度等于s的分子ys而言，存在 i≤n使ys≤Pi，即，只須證明事實上，由 f－1（Ψ）是 A的α－－預遠域族知，有 r∈β*（α），使對 A中任一分子 xr和 i≤n，都有 xr≤f－1（Pi），即，

現在設（4）不成立，即，

因為α＝sup*（α），所以由極小映射 β的性質知

由r∈β*（s）知，有x∈X使A（x）≥r且f（x）＝y(tǒng)。這時xr是A中的分子，從而滿足（5）。又，（f（x））r＝y(tǒng)r≤ys，所以由（6）得 f（xr）＝（f（x））r＝y(tǒng)r≤P1∧...∧Pn。即

上式與（5）相矛盾，所以（4）式成立。

推論 2.1 L－預拓撲空間中良緊性是弱拓撲不變的。

定理2.6 設（X，ωL（R））是由分明預拓撲空間（X，R）拓撲生成的 L－預拓撲空間，則（X，ωL（R））是良緊空間當且僅當（X，R）是緊空間。

證明 必要性：設（X，ωL（R））是良緊空間，Ψ是（X，R）的開覆蓋。令

則 Γ是（X，ωL（R））中的開集族。由L的最大元1可表示為若干分子之并。任取這樣一個分子 α，令 r＝α′，則 r是異于1的素元，這時 Γ顯然是r－覆蓋。由（LX，ωL（R））的 良 緊 性知，Ψ有有 限 子族｛W1，...，Wn｝使 Γ 的有 限 子族 Δ ＝ ｛χWi成為 r＋－覆蓋。那么對每個 x∈X，有 χWi∈Δ，使 χWi（x）≠0，即，x∈Wi.可見｛W1，...，Wn｝是Ψ的有限子覆蓋。所以（X，R）是緊空間。

充分性：設（X，R）是緊空間，Σ是（LX，ωL（R））是r－覆蓋，?x∈X，可取Ux∈Σ，使Ux（x）≤r，所以有s（x）∈α*（r），使Ux（x）≤s（x）.這時

因為 Ux是 X上的L值下半連續(xù)函數組成，ιs（x）（Ux）是（X，R）中的開集，所以，是（X，R）的開覆蓋。因為（X，R）是緊空間，故有x1，...，xn∈X，使得構成Γ的有限子覆蓋，由文獻［1］的引理6.2.6易知，α*（r）是下定向集，所以，存在s∈α*（r），使 s≤s（x1），...，s≤s（xn）.任取x∈X，由 Γ0是X的覆蓋知有 i＜n，使得 x∈ιs（xi）（Uxi），從而 Uxi（x）≤s（xi），那么更有 Uxi（x）≤s.這表明Γ0是 s－覆蓋，從而，Γ0是r＋－覆蓋。由定理2.2知，則（X，ωL（R））是良緊空間。

推論2.2 L－預拓撲空間中良緊性是 L－好的推廣。

［1］王國俊.L－fuzzy拓撲空間論［M］.西安：陜西師大出版社，1988：94.

［2］彭育威.L－fuzzy拓撲空間的良緊集［J］.數學學報，1986，29（4）：555－558.

［3］彭育威.L－良緊子集的刻劃［J］.數學進展，1987（16）：87－90.

［4］蘇華飛，李生剛.L－預拓撲的確定［J］.內蒙古大學學報（自然科學版），2006，37（4）：378－381.

［5］鐘曉靜，尤飛，李生剛.L－預拓撲空間中模糊網的 O－收斂及其應用［J］.模糊系統(tǒng)與數學，2010，24（1）：35－40.

［6］賀曉麗，伏文清.L－預拓撲空間的局部連通性：可乘性與 L－好的推廣［J］.山東大學學報，2010，45（10）：78－82.

［責任編輯 賀小林］

N－Com pactness In L－Pretopological Spaces

WANG YU，MA Bao－guo，ZHANG Min－zhi
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China.）

The conceptof N－compactnesswas defined in L－pretopological spaces，two characterization of the ncompactnesswere given，and some of its importantwere discussed.

L－pretopological spaces；N－compactness；α－remote neighborborhood；r－covered set；α－net

O189.1

A

1004-602X（2011）02-0009-04

2011 -05 -03

陜西省自然科學基金青年資助項目（2010JQ1005）

王瑜（1985—），女，陜西乾縣人，延安大學在讀碩士研究生。