一個包含平方補數(shù)的復合函數(shù)

穆秀梅，郭金保，何桃，趙杏花

（延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

一個包含平方補數(shù)的復合函數(shù)

穆秀梅，郭金保，何桃，趙杏花

（延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

利用初等和解析的方法研究復合函數(shù) SL( SSC( n ))的均值，并得到了一個有趣的漸進公式。

平方補數(shù)；Smarandache LCM函數(shù)；復合函數(shù)；均值；漸進公式

對于任意的正整數(shù)n，著名的 F.Smarandache LCM函數(shù) SL (n)定義為最小的正整數(shù) k使得 n｜[1 ，2，…，k]，其中 [ 1，2，…，k]表示1，2，…，k的最小公倍數(shù)，即

從 ()SL n的定義和性質(zhì)，很容易推斷，對于任意

關于 ()SL n的初等性質(zhì)，許多學者進行了研究，獲得了一系列有趣的結(jié)果。例如文獻［1］中，證明了對任意給定的正整數(shù) k及任意實數(shù) x＞2有漸進公式，則有

其中 ci( i＝1，2，…，k)是可計算的常數(shù)。設 n為任一正整數(shù)， ()SSC n表示使 mn為一完全平方數(shù)的最小正整數(shù) m，即

在文獻［2］中，F(xiàn).Smarandache教授要求我們研究數(shù)列 {SSC (n )｝的性質(zhì).對此已有許多學者進行了研究，取得了一系列研究成果。例如文獻［3］中，劉紅艷、茍素用初等方法研究了 SSC (n)和的均值，文獻［4］中，張文鵬教授和徐哲峰博士研究了Smarandache函數(shù)作用于平方補數(shù)上的均值公式，得到了較強的漸進公式，即

這里用 ()S n表示 Smarandache函數(shù)，即 ()S n ＝min{ m：n m！，m∈N｝.

定理 對任一實數(shù) x≥3，有漸進公式

為了完成定理的證明，我們需要引入一些引理，為簡單起見，用 ()p n表示 n的最大素因子。

證明：（1）當 n是一個無平方因子數(shù)，有 n＝p1p2…pr( )p n，則

即

上面為引理1的證明。

引理 2 當 p為一素數(shù)時，有漸進公式

成立。

證明：令 π()x表示不大于x的素數(shù)的個數(shù)，我們有

成立。由 Abel恒等式，可得出

即引理2得證。

定理的證明 由以上的引理，我們有

從而完成了定理的證明。

［1］Lv Zhongtian.On the F.Smarandache LCM function and its mean value［J］.Scientia Magna，2007，3（1）：22－25.

［2］Smarandache F.Only problems，not solutions［M］.Chicago：Xiquan Pulishing House，1993.

［3］劉紅艷，茍素.關于F.Smarandache的一個問題［J］.延安大學學報，2001，2（3）：5－6.

［4］ZhangWenpeng and Xu Zhefeng.On the Smarandache function and square complements［J］.Scientia Magna，2005（2）：1－4.

［5］Apostol T M，Introduction to analytic number theory［M］. New York：Spring－Verlag，1976.

［責任編輯 賀小林］

A Com posite Function Involving the Square Com p lements

MU Xiu－mei，GUO Jin－bao，HE TAO，ZHAO Xing－h(huán)ua
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）

Themain purpose of this paper is using the elementary and analytic methods to study the mean value properties of the composite functionSL (SSC( n ))，and giving an interesting asymptotic formula.

square complements；Smarandache LCM function；composite function；mean value；asymptotic formula

O156.4

A

1004-602X（2011）02-0007-02

2011 -03 -28

穆秀梅（1988—），女，陜西銅川人，延安大學在讀碩士研究生。