隨機失諧的成組葉片－輪盤固有振動局部化研究

王艾倫 孫勃海

中南大學(xué)現(xiàn)代復(fù)雜裝備設(shè)計與極端制造教育部重點實驗室，長沙，410083

0 引言

汽輪機、燃氣輪機等葉輪機械的葉盤系統(tǒng)常采用圍帶、拉筋等結(jié)構(gòu)將葉片連接起來構(gòu)成葉片組。這種以葉片組沿輪盤周向均勻分布的結(jié)構(gòu)通?？烧J為是一種循環(huán)周期結(jié)構(gòu)［1］?，F(xiàn)有研究表明，對于循環(huán)周期結(jié)構(gòu)，當(dāng)失諧存在時，系統(tǒng)的振動能量會集中在某一個或幾個扇區(qū)內(nèi)，即出現(xiàn)振動局部化現(xiàn)象，從而致使局部振動應(yīng)力過大，降低了結(jié)構(gòu)的高周疲勞壽命［2－4］。目前，對失諧葉盤系統(tǒng)振動局部化的研究多基于自由葉片葉盤系統(tǒng)，但由于成組葉片－輪盤系統(tǒng)是以葉片組為重復(fù)結(jié)構(gòu)的循環(huán)周期結(jié)構(gòu)，比起自由葉片葉盤系統(tǒng)，其振動局部化特征更為復(fù)雜。

由于材料缺陷、制造誤差及使用磨損所導(dǎo)致的隨機失諧是葉盤系統(tǒng)失諧的主要形式。在隨機失諧引起的振動局部化問題研究方面，主要成果多集中于頻率轉(zhuǎn)向與失諧敏感性的關(guān)系方面，文獻［5－9］在此方面取得的一系列研究成果，推動了此研究方向的發(fā)展。但在成組葉片－輪盤中，葉片的成組使系統(tǒng)的固有頻率出現(xiàn)了分離，經(jīng)典的頻率轉(zhuǎn)向曲線已不復(fù)存在，因此應(yīng)用頻率轉(zhuǎn)向理論研究成組葉片－輪盤的振動局部化存在極大的難度。文獻［4，10－13］采用 Monte Carlo Simulation統(tǒng)計分析方法研究了失諧敏感性問題，但這些研究都是針對于自由葉片葉盤系統(tǒng)，雖然這些研究結(jié)論不能夠反映成組葉片－輪盤的振動局部化特性，但由于其采用的Monte Carlo Simulation統(tǒng)計分析方法對于葉盤的形式?jīng)]有具體要求，因此可以有效地移植以用于分析成組葉片－輪盤振動局部化問題。

成組葉片－輪盤振動局部化問題研究主要包括兩個方面，即固有振動局部化和振動響應(yīng)局部化。其中掌握固有振動局部化特征是分析葉盤系統(tǒng)振動響應(yīng)局部化的理論基礎(chǔ)和前提。因此，本文主要針對成組葉片－輪盤的固有振動局部化問題展開研究，研究內(nèi)容主要包括成組葉片－輪盤系統(tǒng)固有頻率對隨機失諧的敏感性、葉盤系統(tǒng)各階模態(tài)振動局部化程度以及失諧敏感性隨失諧強度增大的變化趨勢等。

1 成組葉片－輪盤的分析模型及自由振動方程

圖1 成組葉片－輪盤的集中參數(shù)模型

本文根據(jù)成組葉片－輪盤的具體特征，對文獻［4］中應(yīng)用的典型葉盤結(jié)構(gòu)集中參數(shù)模型進行了一定的修正，模型如圖1所示，每一葉盤扇區(qū)以兩個集中質(zhì)量表示，質(zhì)量塊之間通過彈簧連接，結(jié)構(gòu)中的阻尼忽略不計。葉盤系統(tǒng)中每n個葉片成組連接在一起，共有m個葉片組，圖中，mb為葉片質(zhì)量，md為輪盤離散質(zhì)量，k1為組內(nèi)葉片間耦合剛度，k2為葉片剛度，k3為輪盤剛度，k4為葉片組間的耦合剛度，k0為輪盤扇區(qū)間耦合剛度。

式（6）描述了第i個葉片組的自由振動方程。令Z＝［Z1Z2… Zm］，則可得整個葉盤的自由振動方程為

2 固有振動局部化因子及其統(tǒng)計分析方法

式（7）描述了系統(tǒng)的無阻尼自由振動，由此方程可確定葉盤系統(tǒng)的各階固有頻率和模態(tài)振型：

式中，Фs、ωs分別為第s階系統(tǒng)模態(tài)和固有頻率。

Фs包含了各扇區(qū)葉片和輪盤的模態(tài)振幅，將葉片和輪盤自由度分開，即Фs＝ ［ФB，s；ФD，s］，其中ФB，s表示葉片子模態(tài)，ФD，s表示輪盤子模態(tài)。

為分析成組葉片－輪盤系統(tǒng)各階模態(tài)的振動局部化特性，利用文獻［9］中提出的振動局部化因子描述葉盤系統(tǒng)各階模態(tài)的振動局部化程度，有

式中，N為葉片數(shù)；Amax為葉片子模態(tài)ФB，s（或輪盤子模態(tài)ФD，s）的最大模態(tài)振幅；j為葉片（或輪盤）最大模態(tài)振幅扇區(qū)的編號；Ai為第i個扇區(qū)葉片（或輪盤）的模態(tài)振幅；L為葉片子模態(tài)ФB，s（或輪盤子模態(tài)ФD，s）的振動局部化因子。

振動局部化因子L表征了各子結(jié)構(gòu)振動能量在系統(tǒng)總振動能量中的比值，定量反映了失諧振動模態(tài)局部化程度。

對于隨機失諧的葉盤結(jié)構(gòu)，其振動模態(tài)的概率特性的描述涉及剛度隨機失諧場，因此較為復(fù)雜。式（9）所定義的模態(tài)局部化因子將剛度隨機失諧場的每一樣本矢量轉(zhuǎn)化為隨機變量的一個樣本值，這樣樣本值的集合就構(gòu)成了描述模態(tài)振型局部化程度的隨機變量，其統(tǒng)計特性（均值和方差）即可反映隨機失諧葉盤固有振動局部化的統(tǒng)計規(guī)律。

運用Monte Carlo Simulation統(tǒng)計分析方法對系統(tǒng)進行仿真分析。成組葉片－輪盤共有10個葉片組（m＝10），每組有6個葉片（n＝6），假設(shè)葉片的隨機失諧滿足正態(tài)分布，其相對失諧量的均值為0，失諧強度δ（失諧量的標(biāo)準(zhǔn)差）為0～5%。在每一種失諧強度下采樣2000次，分別計算系統(tǒng)的固有頻率和振動局部化因子等值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。參照文獻［4］，給出的其他相關(guān)仿真參數(shù)如表1所示。

表1 模型量綱一化參數(shù)

3 仿真結(jié)果分析

3.1 固有頻率對隨機失諧的敏感性

當(dāng)葉片隨機失諧強度δ＝3%時，葉盤系統(tǒng)各階固有頻率的統(tǒng)計特性如圖2所示。

圖2 隨機失諧葉盤系統(tǒng)固有頻率的統(tǒng)計分析

由圖2可知，失諧后各階固有頻率的均值與諧調(diào)葉盤系統(tǒng)基本相同，且固有頻率的標(biāo)準(zhǔn)差也非常小，因此，對于成組葉片－輪盤系統(tǒng)，其固有頻率對失諧不敏感。此外，由圖2b可知，系統(tǒng)1～19階以及91～120階固有頻率的標(biāo)準(zhǔn)差接近于0，而20～90階固有頻率的標(biāo)準(zhǔn)差比起其他階次有較大的變化，而這一范圍正是系統(tǒng)模態(tài)密集區(qū)域，因此，模態(tài)密集區(qū)內(nèi)各階固有頻率對隨機失諧的敏感性比其他階次強。

3.2 各階模態(tài)振型對隨機失諧的敏感性

當(dāng)葉片隨機失諧強度δ＝3%時，葉盤系統(tǒng)各階模態(tài)振動局部化因子的統(tǒng)計特性如圖3所示。由圖3可知，在模態(tài)密集區(qū)內(nèi)（20～90階）葉片子模態(tài)和輪盤子模態(tài)都出現(xiàn)了較大的振動局部化現(xiàn)象，而振動局部化因子標(biāo)準(zhǔn)差在模態(tài)密集區(qū)內(nèi)較大則說明在此區(qū)域內(nèi)各階模態(tài)對于失諧量沿周向的分布形式極為敏感。此外，比較圖2b和圖3a可知，葉片子模態(tài)振動局部化因子隨模態(tài)階次的變化規(guī)律和固有頻率標(biāo)準(zhǔn)差隨模態(tài)階次的變化規(guī)律基本相同，這意味著在失諧時固有頻率的波動程度可以反映該階次葉片子模態(tài)振動局部化的程度。

另外，為比較失諧對葉片子模態(tài)和輪盤子模態(tài)的影響大小，以振動局部化程度較大的一階模態(tài)（第82階）為例，分別畫出的葉片和輪盤的模態(tài)振型如圖4所示。

圖3 振動局部化因子的統(tǒng)計特征

圖4 第82階模態(tài)振型

比較圖4a和圖4b可知，葉片子模態(tài)和輪盤子模態(tài)在相同的扇區(qū)內(nèi)都出現(xiàn)了振動局部化的現(xiàn)象，但輪盤子模態(tài)的模態(tài)振幅遠小于葉片子模態(tài)。因此，盡管葉片和輪盤在模態(tài)密集區(qū)內(nèi)振動局部化對失諧都極為敏感，但系統(tǒng)振動能量多集中于葉片子模態(tài)，所以振動局部化對葉片的影響遠大于對輪盤的影響。此外，在圖4中，葉片和輪盤的最大模態(tài)振幅都出現(xiàn)在扇區(qū)序號為40～50的范圍內(nèi)，這僅是一種特定隨機失諧分布形式下所表現(xiàn)出的特征，對于不同的失諧分布形式，最大模態(tài)振幅出現(xiàn)的位置并不相同，但都呈現(xiàn)出輪盤子模態(tài)的模態(tài)振幅遠小于葉片子模態(tài)的模態(tài)振幅的特征。

3.3 失諧敏感性與失諧強度的關(guān)系

現(xiàn)以第82階模態(tài)為例，研究振動局部化因子隨失諧量增大的變化趨勢，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 第82階模態(tài)振動局部化因子隨失諧量的變化

由圖5可見，隨著失諧強度的增大，葉盤系統(tǒng)的振動局部化因子呈上升趨勢，在δ＝0～1．5%的范圍內(nèi)，固有振動局部化程度隨失諧強度的增大而顯著增大，但當(dāng)失諧量增大到一定程度后，振動局部化因子增勢逐漸變緩，輪盤子模態(tài)的振動局部化因子甚至?xí)霈F(xiàn)下降的現(xiàn)象。因此，當(dāng)失諧強度較大時，葉盤系統(tǒng)的振動局部化程度對失諧的敏感性將保持一個相對穩(wěn)定的狀態(tài)。

4 結(jié)論

（1）在模態(tài)密集區(qū)內(nèi)，葉盤系統(tǒng)的各階固有頻率對隨機失諧的敏感性強于其他階次固有頻率，但總的來說，固有頻率對隨機失諧的敏感性較低；

（2）在模態(tài)密集區(qū)內(nèi)葉片子模態(tài)和輪盤子模態(tài)對隨機失諧的敏感性遠大于其他階次，且固有頻率標(biāo)準(zhǔn)差的微弱變化直接反映了葉片子模態(tài)振型對隨機失諧的敏感性。此外，盡管葉片和輪盤在模態(tài)密集區(qū)內(nèi)固有振動局部化對失諧都極為敏感，但系統(tǒng)振動能量多集中于葉片子模態(tài)，所以振動局部化對葉片的影響遠大于對輪盤的影響；

（3）固有振動局部化對失諧的敏感性會隨著失諧強度的增大而增大，但當(dāng)失諧量增大到一定程度后，葉盤系統(tǒng)的振動局部化對隨機失諧的敏感性會保持一個相對穩(wěn)定的狀態(tài)。

［1］ Zmitrowicz A．A Note on Natural Vibrations of Turbine Blade Assemblies with Non－continuous Shroud Rings［J］．Journal of Sound and Vibration，1996，192（2）：521－533．

［2］ Wei S T，Pierre C．Localization Phenomena in Mistunedassemblies with Cyclic Symmetry Part 1：Free Vibrations［J］．Journal of Vibration，Acoustics，Stress，and Reliability in Design，1988，110（4）：429－438．

［3］ 王紅建．復(fù)雜耦合失諧葉片—輪盤系統(tǒng)振動局部化問題研究［D］．西安：西北工業(yè)大學(xué)，2006．

［4］ 王建軍，李其漢．航空發(fā)動機失諧葉盤振動減縮模型與應(yīng)用［M］．北京：國防工業(yè)出版社，2009．

［5］ Castanier M P，Ottarsson G．A Reduced－order Modeling Technique for Mistuned Bladed Disks［J］．Journal of Vibration and Acoustics，1997，119（3）：439－447．

［6］ Bladh R，Pierre C，Castanier M P，et al．Dynamic Response Predictions for a Mistuned Industrial Turbomachinery Rotor Using Reduced－order Modeling［J］．Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，2002，124（2）：311－424．

［7］ Kenyon J A，Griffin J H，Kim N E．Sensitivity of Tuned Bladed Disk Response to Frequency of Veering［J］．ASME，Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，2005，127（4）：835－842．

［8］ 王紅建，賀爾銘，趙志彬．葉盤系統(tǒng)頻率轉(zhuǎn)向與模態(tài)耦合特性分析［J］．航空動力學(xué)報，2008，23（12）：2214－2218．

［9］ 王紅建，賀爾銘，趙志彬．頻率轉(zhuǎn)向特征對失諧葉盤模態(tài)局部化的作用［J］．中國機械工程，2009，20（1）：82－85．

［10］ Mignolet M P，Lin C C，LaBorde B H．A Novel Limit Distribution for the Analysis of Randomly Mistuned Bladed Disks［J］．Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，2001，123（2）：388－394．

［11］ Mignolet M P，Hu W．Direct Prediction of the Effects of Mistuning on the Forced Response of Bladed Disks［J］．Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，1998，120（3）：626－634．

［12］ Keeri A，Nikolaidis E，Ghiocel D M，et al．Combined Approximations for Efficient Probabilistic Analysis of Structures［J］．AIAA Journal，2004，42（7）：1321－1330．

［13］ 賀爾銘，余仕俠，王紅建．隨機失諧葉盤系統(tǒng)受迫振動響應(yīng)的統(tǒng)計特性研究［J］．機械強度，2007，29（1）：20－24.