威布爾分布無故障數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估

陸祖建，張仕念，張國(guó)彬，易當(dāng)祥

（北京市清河大樓子八，北京 100085）

1 引言

兩參數(shù)威布爾分布的分布函數(shù)是：

其中m為形狀參數(shù)，η為尺度參數(shù)，t為工作時(shí)間。對(duì)于無故障數(shù)據(jù)的情況，文獻(xiàn) [1-2]已給出當(dāng)形狀參數(shù)m已知和未知時(shí)的兩種評(píng)估方法。在實(shí)際工作中，采用哪一種方法更加符合實(shí)際是一個(gè)令人十分關(guān)心的問題。當(dāng)然在對(duì)形狀參數(shù)m能作出正確的假設(shè)時(shí)采用前一種方法是最好的。但實(shí)際上，當(dāng)我們對(duì)產(chǎn)品的試驗(yàn)數(shù)據(jù)掌握得比較少，甚至還沒有一個(gè)失效數(shù)據(jù)時(shí)，要對(duì)形狀參數(shù)m作出正確的假設(shè)是十分困難的。這時(shí)就需要對(duì)采用哪種評(píng)估方法的決定作出選擇。

本文通過一個(gè)例子，用兩種方法分別給出其評(píng)估結(jié)果，進(jìn)行對(duì)比分析，以引起注意。

2 兩種評(píng)估方法

設(shè)n個(gè)產(chǎn)品試驗(yàn)了t1，t2，…，tn沒有出現(xiàn)故障。

2.1 形狀參數(shù)m已知時(shí)的可靠性評(píng)估

尺度參數(shù)η的點(diǎn)估計(jì)為：

尺度參數(shù)η的1-α單側(cè)置信下限為：

a）基本可靠度的點(diǎn)估計(jì)

對(duì)于任意給定的工作時(shí)間t0，其基本可靠度Rm(t0)為：

基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)為：

b）任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì)[4]

如果產(chǎn)品的任務(wù)時(shí)間為tz，而該產(chǎn)品已累計(jì)工作時(shí)間為ts，則該產(chǎn)品完成該次任務(wù)的可靠度為：

2.2 形狀參數(shù)m未知時(shí)的可靠性評(píng)估

設(shè)n個(gè)產(chǎn)品試驗(yàn)了t1，t2，…，tn沒有出現(xiàn)故障，形狀參數(shù)m未知。但通過相似產(chǎn)品的信息和工程分析可以給出形狀參數(shù)的一個(gè)界限，如設(shè)0＜m1≤m≤m2， 其中 m1， m2為已知數(shù)。

對(duì)于任意給定的工作時(shí)間t0，其形狀參數(shù)由下述方程解出：

當(dāng)形狀參數(shù)m確定后，其尺度參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、1-α單側(cè)置信下限估計(jì)，基本可靠度的點(diǎn)估計(jì)R(t0)、1-α單側(cè)置信下限估計(jì)RL(t0)和任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì)Rz (t0)、1-α單側(cè)置信下限估計(jì)RLz(t0)形式上與式 (1)、 (2)、 (3)、 (4)、 (5)和 (6)相同，所不同的是此時(shí)式中的形狀參數(shù)m不是已知的，也就不是固定的。對(duì)于一組固定的t1，t2，…，tn來說，m完全由工作時(shí)間t0及所假定的形狀參數(shù)的一個(gè)界限0＜m1≤m≤m2所確定。

3 對(duì)比分析

下面以一個(gè)例子，用上述兩種方法分別給出其評(píng)估結(jié)果。

例：某產(chǎn)品服從威布爾分布，已獲得n=20個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別為： 2， 2， 2， 3， 3， 3， 5， 7， 9，11， 15， 20， 24， 28， 30， 32， 33， 34， 35， 38，無失效，分別用兩種方法給出工作時(shí)間t0為4、2×4、3×4、4×4、5×4、6×4、 7×4、 8×4、 9×4、 10×4的基本可靠度點(diǎn)估計(jì)，基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)，以及每次任務(wù)時(shí)間tz=4的第1、2、3、4、5、6、7、8、9和10次任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì)，任務(wù)可靠度的1-α單側(cè)置信下限。其中，對(duì)形狀參數(shù)m已知的評(píng)估方法，取m=3；形狀參數(shù)m未知的評(píng)估方法， 則取 m1=1， m2=10； 置信度 1-α=0.9。

根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得以下結(jié)果，如表1、2、3、4和5所示。

表1 由取m1=1，m2=10確定的m

表2 基本可靠度的點(diǎn)估計(jì)

表3 基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)

表4 任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì)

表5 任務(wù)可靠度的1-α單側(cè)置信下限

表2給出了當(dāng)形狀參數(shù)已知時(shí)（m=3）的基本可靠度點(diǎn)估計(jì)Rm和形狀參數(shù)未知時(shí)的基本可靠度點(diǎn)估計(jì) R；當(dāng)工作時(shí)間分別為 4、2×4、3×4、 4×4、5×4、 6×4、 7×4、 8×4、 9×4、 10×4時(shí)的估計(jì)值，可以看到的Rm值普遍高于R的值；只有當(dāng)t0=8×4時(shí)，由于式（7）解得的m=3.1364，與形狀參數(shù)已知的m=3接近，因此其值也接近。

表3給出了當(dāng)形狀參數(shù)已知時(shí)（m=3）基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)RLm和形狀參數(shù)未知的基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)RL，當(dāng)工作時(shí)間t0取不同值時(shí)的估計(jì)值。與表2相似，RLm的值普遍高于RL的值，只有當(dāng)t0=8×4時(shí)比較接近。

表4給出了每次任務(wù)時(shí)間為4，完成第1、2、3、4、5、6、7、8、9和10次任務(wù)時(shí)，形狀參數(shù)已知時(shí)（m=3）的任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì)Rzm和形狀參數(shù)未知時(shí)的任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì)Rz?？梢钥吹剑?dāng)完成第5、6、7、8任務(wù)時(shí)Rz的值高于Rzm的值，但其值不超過0.01，其它均為Rzm高于Rz。

表5給出了每次任務(wù)時(shí)間為4，完成第 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9和 10次任務(wù)時(shí)，形狀參數(shù)已知時(shí)（m=3）的任務(wù)可靠度的1-α單側(cè)置信下限RLzm和形狀參數(shù)未知時(shí)的任務(wù)可靠度的1-α單側(cè)置信下限RLz。當(dāng)完成第7、8任務(wù)時(shí)RLz的值高于RLzm的值，但其值不超過0.01， 其它均為 RLzm高于 RLz。

需要指出的是，文獻(xiàn) [2]給出了當(dāng)形狀參數(shù)毫無所知時(shí)，求基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)的方法：

由式（8）可給出基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)，見表6。

表6 形狀參數(shù)毫無所知時(shí)的基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)

表6中，當(dāng)t0為4、2×4時(shí)，由于其小于t*=10.3929， t0為 10×4時(shí)大于 t(n)=38， 根據(jù)式（8）直接解得RL*的值，此時(shí)m不定。

再對(duì)比表 6和表 1， 表 6中 t0為 3×4、 4×4、5×4時(shí)， m 分別為 0.1227、 0.4017、 0.6869； 而表1中則根據(jù)式（7）中的相應(yīng)規(guī)則，確定為1。t0為9×4時(shí)表6中的 m為14.0543，而表1中根據(jù)規(guī)則確定為10。對(duì)比表6與表3中的RL可以看到， 除 t0為 6×4、 7×4、 8×4時(shí)其值相等外（m 相等）， 其余均為RL*＜RL。

4 結(jié)束語

通過以上分析可以看到，當(dāng)對(duì)形狀參數(shù)毫無所知時(shí)，所得到的基本可靠度置信下限是最為保守的；隨著對(duì)形狀參數(shù)認(rèn)識(shí)的增加，基本可靠度的置信下限就會(huì)增大。因此，堅(jiān)持統(tǒng)計(jì)評(píng)估與工程評(píng)估相結(jié)合的原則，通過相似產(chǎn)品的信息和工程經(jīng)驗(yàn)對(duì)形狀參數(shù)作出一個(gè)較為精確的估計(jì)是十分必要的。

[1]趙宇，楊軍，馬小兵.可靠性數(shù)據(jù)分析教程 [M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2009.

[2]陳家鼎.生存分析與可靠性 [M].北京：北京大學(xué)出版社， 2005.

[3]劉宏林，劉華，張可麗，等.失效個(gè)數(shù)極小情況下某繼電產(chǎn)品的可靠性評(píng)定 [J].武漢化工學(xué)院學(xué)報(bào)，2001， 23（1）： 70-71.

[4]陸祖建，張仕念，劉雪峰，等.關(guān)于威布爾分布的若干問題 [J].質(zhì)量與可靠性，2007，（6）：7-12.