陸祖建,張仕念,張國(guó)彬,易當(dāng)祥
(北京市清河大樓子八,北京 100085)
兩參數(shù)威布爾分布的分布函數(shù)是:
其中m為形狀參數(shù),η為尺度參數(shù),t為工作時(shí)間。對(duì)于無故障數(shù)據(jù)的情況,文獻(xiàn) [1-2]已給出當(dāng)形狀參數(shù)m已知和未知時(shí)的兩種評(píng)估方法。在實(shí)際工作中,采用哪一種方法更加符合實(shí)際是一個(gè)令人十分關(guān)心的問題。當(dāng)然在對(duì)形狀參數(shù)m能作出正確的假設(shè)時(shí)采用前一種方法是最好的。但實(shí)際上,當(dāng)我們對(duì)產(chǎn)品的試驗(yàn)數(shù)據(jù)掌握得比較少,甚至還沒有一個(gè)失效數(shù)據(jù)時(shí),要對(duì)形狀參數(shù)m作出正確的假設(shè)是十分困難的。這時(shí)就需要對(duì)采用哪種評(píng)估方法的決定作出選擇。
本文通過一個(gè)例子,用兩種方法分別給出其評(píng)估結(jié)果,進(jìn)行對(duì)比分析,以引起注意。
設(shè)n個(gè)產(chǎn)品試驗(yàn)了t1,t2,…,tn沒有出現(xiàn)故障。
尺度參數(shù)η的點(diǎn)估計(jì)為:
尺度參數(shù)η的1-α單側(cè)置信下限為:
a)基本可靠度的點(diǎn)估計(jì)
對(duì)于任意給定的工作時(shí)間t0,其基本可靠度Rm(t0)為:
基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)為:
b)任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì)[4]
如果產(chǎn)品的任務(wù)時(shí)間為tz,而該產(chǎn)品已累計(jì)工作時(shí)間為ts,則該產(chǎn)品完成該次任務(wù)的可靠度為:
設(shè)n個(gè)產(chǎn)品試驗(yàn)了t1,t2,…,tn沒有出現(xiàn)故障,形狀參數(shù)m未知。但通過相似產(chǎn)品的信息和工程分析可以給出形狀參數(shù)的一個(gè)界限,如設(shè)0<m1≤m≤m2, 其中 m1, m2為已知數(shù)。
對(duì)于任意給定的工作時(shí)間t0,其形狀參數(shù)由下述方程解出:
當(dāng)形狀參數(shù)m確定后,其尺度參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、1-α單側(cè)置信下限估計(jì),基本可靠度的點(diǎn)估計(jì)R(t0)、1-α單側(cè)置信下限估計(jì)RL(t0)和任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì)Rz (t0)、1-α單側(cè)置信下限估計(jì)RLz(t0)形式上與式 (1)、 (2)、 (3)、 (4)、 (5)和 (6)相同,所不同的是此時(shí)式中的形狀參數(shù)m不是已知的,也就不是固定的。對(duì)于一組固定的t1,t2,…,tn來說,m完全由工作時(shí)間t0及所假定的形狀參數(shù)的一個(gè)界限0<m1≤m≤m2所確定。
下面以一個(gè)例子,用上述兩種方法分別給出其評(píng)估結(jié)果。
例:某產(chǎn)品服從威布爾分布,已獲得n=20個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別為: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 7, 9,11, 15, 20, 24, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 38,無失效,分別用兩種方法給出工作時(shí)間t0為4、2×4、3×4、4×4、5×4、6×4、 7×4、 8×4、 9×4、 10×4的基本可靠度點(diǎn)估計(jì),基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì),以及每次任務(wù)時(shí)間tz=4的第1、2、3、4、5、6、7、8、9和10次任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì),任務(wù)可靠度的1-α單側(cè)置信下限。其中,對(duì)形狀參數(shù)m已知的評(píng)估方法,取m=3;形狀參數(shù)m未知的評(píng)估方法, 則取 m1=1, m2=10; 置信度 1-α=0.9。
根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得以下結(jié)果,如表1、2、3、4和5所示。
表1 由取m1=1,m2=10確定的m
表2 基本可靠度的點(diǎn)估計(jì)
表3 基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)
表4 任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì)
表5 任務(wù)可靠度的1-α單側(cè)置信下限
表2給出了當(dāng)形狀參數(shù)已知時(shí)(m=3)的基本可靠度點(diǎn)估計(jì)Rm和形狀參數(shù)未知時(shí)的基本可靠度點(diǎn)估計(jì) R;當(dāng)工作時(shí)間分別為 4、2×4、3×4、 4×4、5×4、 6×4、 7×4、 8×4、 9×4、 10×4時(shí)的估計(jì)值,可以看到的Rm值普遍高于R的值;只有當(dāng)t0=8×4時(shí),由于式(7)解得的m=3.1364,與形狀參數(shù)已知的m=3接近,因此其值也接近。
表3給出了當(dāng)形狀參數(shù)已知時(shí)(m=3)基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)RLm和形狀參數(shù)未知的基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)RL,當(dāng)工作時(shí)間t0取不同值時(shí)的估計(jì)值。與表2相似,RLm的值普遍高于RL的值,只有當(dāng)t0=8×4時(shí)比較接近。
表4給出了每次任務(wù)時(shí)間為4,完成第1、2、3、4、5、6、7、8、9和10次任務(wù)時(shí),形狀參數(shù)已知時(shí)(m=3)的任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì)Rzm和形狀參數(shù)未知時(shí)的任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì)Rz??梢钥吹剑?dāng)完成第5、6、7、8任務(wù)時(shí)Rz的值高于Rzm的值,但其值不超過0.01,其它均為Rzm高于Rz。
表5給出了每次任務(wù)時(shí)間為4,完成第 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9和 10次任務(wù)時(shí),形狀參數(shù)已知時(shí)(m=3)的任務(wù)可靠度的1-α單側(cè)置信下限RLzm和形狀參數(shù)未知時(shí)的任務(wù)可靠度的1-α單側(cè)置信下限RLz。當(dāng)完成第7、8任務(wù)時(shí)RLz的值高于RLzm的值,但其值不超過0.01, 其它均為 RLzm高于 RLz。
需要指出的是,文獻(xiàn) [2]給出了當(dāng)形狀參數(shù)毫無所知時(shí),求基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)的方法:
由式(8)可給出基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì),見表6。
表6 形狀參數(shù)毫無所知時(shí)的基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計(jì)
表6中,當(dāng)t0為4、2×4時(shí),由于其小于t*=10.3929, t0為 10×4時(shí)大于 t(n)=38, 根據(jù)式(8)直接解得RL*的值,此時(shí)m不定。
再對(duì)比表 6和表 1, 表 6中 t0為 3×4、 4×4、5×4時(shí), m 分別為 0.1227、 0.4017、 0.6869; 而表1中則根據(jù)式(7)中的相應(yīng)規(guī)則,確定為1。t0為9×4時(shí)表6中的 m為14.0543,而表1中根據(jù)規(guī)則確定為10。對(duì)比表6與表3中的RL可以看到, 除 t0為 6×4、 7×4、 8×4時(shí)其值相等外(m 相等), 其余均為RL*<RL。
通過以上分析可以看到,當(dāng)對(duì)形狀參數(shù)毫無所知時(shí),所得到的基本可靠度置信下限是最為保守的;隨著對(duì)形狀參數(shù)認(rèn)識(shí)的增加,基本可靠度的置信下限就會(huì)增大。因此,堅(jiān)持統(tǒng)計(jì)評(píng)估與工程評(píng)估相結(jié)合的原則,通過相似產(chǎn)品的信息和工程經(jīng)驗(yàn)對(duì)形狀參數(shù)作出一個(gè)較為精確的估計(jì)是十分必要的。
[1]趙宇,楊軍,馬小兵.可靠性數(shù)據(jù)分析教程 [M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2009.
[2]陳家鼎.生存分析與可靠性 [M].北京:北京大學(xué)出版社, 2005.
[3]劉宏林,劉華,張可麗,等.失效個(gè)數(shù)極小情況下某繼電產(chǎn)品的可靠性評(píng)定 [J].武漢化工學(xué)院學(xué)報(bào),2001, 23(1): 70-71.
[4]陸祖建,張仕念,劉雪峰,等.關(guān)于威布爾分布的若干問題 [J].質(zhì)量與可靠性,2007,(6):7-12.