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    威布爾分布無故障數(shù)據(jù)的可靠性評估

    2011-06-03 10:33:00陸祖建張仕念張國彬易當祥
    關(guān)鍵詞:方法

    陸祖建,張仕念,張國彬,易當祥

    (北京市清河大樓子八,北京 100085)

    1 引言

    兩參數(shù)威布爾分布的分布函數(shù)是:

    其中m為形狀參數(shù),η為尺度參數(shù),t為工作時間。對于無故障數(shù)據(jù)的情況,文獻 [1-2]已給出當形狀參數(shù)m已知和未知時的兩種評估方法。在實際工作中,采用哪一種方法更加符合實際是一個令人十分關(guān)心的問題。當然在對形狀參數(shù)m能作出正確的假設時采用前一種方法是最好的。但實際上,當我們對產(chǎn)品的試驗數(shù)據(jù)掌握得比較少,甚至還沒有一個失效數(shù)據(jù)時,要對形狀參數(shù)m作出正確的假設是十分困難的。這時就需要對采用哪種評估方法的決定作出選擇。

    本文通過一個例子,用兩種方法分別給出其評估結(jié)果,進行對比分析,以引起注意。

    2 兩種評估方法

    設n個產(chǎn)品試驗了t1,t2,…,tn沒有出現(xiàn)故障。

    2.1 形狀參數(shù)m已知時的可靠性評估

    尺度參數(shù)η的點估計為:

    尺度參數(shù)η的1-α單側(cè)置信下限為:

    a)基本可靠度的點估計

    對于任意給定的工作時間t0,其基本可靠度Rm(t0)為:

    基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計為:

    b)任務可靠度的點估計[4]

    如果產(chǎn)品的任務時間為tz,而該產(chǎn)品已累計工作時間為ts,則該產(chǎn)品完成該次任務的可靠度為:

    2.2 形狀參數(shù)m未知時的可靠性評估

    設n個產(chǎn)品試驗了t1,t2,…,tn沒有出現(xiàn)故障,形狀參數(shù)m未知。但通過相似產(chǎn)品的信息和工程分析可以給出形狀參數(shù)的一個界限,如設0<m1≤m≤m2, 其中 m1, m2為已知數(shù)。

    對于任意給定的工作時間t0,其形狀參數(shù)由下述方程解出:

    當形狀參數(shù)m確定后,其尺度參數(shù)的點估計、1-α單側(cè)置信下限估計,基本可靠度的點估計R(t0)、1-α單側(cè)置信下限估計RL(t0)和任務可靠度的點估計Rz (t0)、1-α單側(cè)置信下限估計RLz(t0)形式上與式 (1)、 (2)、 (3)、 (4)、 (5)和 (6)相同,所不同的是此時式中的形狀參數(shù)m不是已知的,也就不是固定的。對于一組固定的t1,t2,…,tn來說,m完全由工作時間t0及所假定的形狀參數(shù)的一個界限0<m1≤m≤m2所確定。

    3 對比分析

    下面以一個例子,用上述兩種方法分別給出其評估結(jié)果。

    例:某產(chǎn)品服從威布爾分布,已獲得n=20個試驗數(shù)據(jù)分別為: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 7, 9,11, 15, 20, 24, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 38,無失效,分別用兩種方法給出工作時間t0為4、2×4、3×4、4×4、5×4、6×4、 7×4、 8×4、 9×4、 10×4的基本可靠度點估計,基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計,以及每次任務時間tz=4的第1、2、3、4、5、6、7、8、9和10次任務可靠度的點估計,任務可靠度的1-α單側(cè)置信下限。其中,對形狀參數(shù)m已知的評估方法,取m=3;形狀參數(shù)m未知的評估方法, 則取 m1=1, m2=10; 置信度 1-α=0.9。

    根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得以下結(jié)果,如表1、2、3、4和5所示。

    表1 由取m1=1,m2=10確定的m

    表2 基本可靠度的點估計

    表3 基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計

    表4 任務可靠度的點估計

    表5 任務可靠度的1-α單側(cè)置信下限

    表2給出了當形狀參數(shù)已知時(m=3)的基本可靠度點估計Rm和形狀參數(shù)未知時的基本可靠度點估計 R;當工作時間分別為 4、2×4、3×4、 4×4、5×4、 6×4、 7×4、 8×4、 9×4、 10×4時的估計值,可以看到的Rm值普遍高于R的值;只有當t0=8×4時,由于式(7)解得的m=3.1364,與形狀參數(shù)已知的m=3接近,因此其值也接近。

    表3給出了當形狀參數(shù)已知時(m=3)基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計RLm和形狀參數(shù)未知的基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計RL,當工作時間t0取不同值時的估計值。與表2相似,RLm的值普遍高于RL的值,只有當t0=8×4時比較接近。

    表4給出了每次任務時間為4,完成第1、2、3、4、5、6、7、8、9和10次任務時,形狀參數(shù)已知時(m=3)的任務可靠度的點估計Rzm和形狀參數(shù)未知時的任務可靠度的點估計Rz??梢钥吹?,當完成第5、6、7、8任務時Rz的值高于Rzm的值,但其值不超過0.01,其它均為Rzm高于Rz。

    表5給出了每次任務時間為4,完成第 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9和 10次任務時,形狀參數(shù)已知時(m=3)的任務可靠度的1-α單側(cè)置信下限RLzm和形狀參數(shù)未知時的任務可靠度的1-α單側(cè)置信下限RLz。當完成第7、8任務時RLz的值高于RLzm的值,但其值不超過0.01, 其它均為 RLzm高于 RLz。

    需要指出的是,文獻 [2]給出了當形狀參數(shù)毫無所知時,求基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計的方法:

    由式(8)可給出基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計,見表6。

    表6 形狀參數(shù)毫無所知時的基本可靠度的1-α單側(cè)置信下限估計

    表6中,當t0為4、2×4時,由于其小于t*=10.3929, t0為 10×4時大于 t(n)=38, 根據(jù)式(8)直接解得RL*的值,此時m不定。

    再對比表 6和表 1, 表 6中 t0為 3×4、 4×4、5×4時, m 分別為 0.1227、 0.4017、 0.6869; 而表1中則根據(jù)式(7)中的相應規(guī)則,確定為1。t0為9×4時表6中的 m為14.0543,而表1中根據(jù)規(guī)則確定為10。對比表6與表3中的RL可以看到, 除 t0為 6×4、 7×4、 8×4時其值相等外(m 相等), 其余均為RL*<RL。

    4 結(jié)束語

    通過以上分析可以看到,當對形狀參數(shù)毫無所知時,所得到的基本可靠度置信下限是最為保守的;隨著對形狀參數(shù)認識的增加,基本可靠度的置信下限就會增大。因此,堅持統(tǒng)計評估與工程評估相結(jié)合的原則,通過相似產(chǎn)品的信息和工程經(jīng)驗對形狀參數(shù)作出一個較為精確的估計是十分必要的。

    [1]趙宇,楊軍,馬小兵.可靠性數(shù)據(jù)分析教程 [M].北京:北京航空航天大學出版社,2009.

    [2]陳家鼎.生存分析與可靠性 [M].北京:北京大學出版社, 2005.

    [3]劉宏林,劉華,張可麗,等.失效個數(shù)極小情況下某繼電產(chǎn)品的可靠性評定 [J].武漢化工學院學報,2001, 23(1): 70-71.

    [4]陸祖建,張仕念,劉雪峰,等.關(guān)于威布爾分布的若干問題 [J].質(zhì)量與可靠性,2007,(6):7-12.

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