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    四元數(shù)體上兩類特殊矩陣的同時(shí)對(duì)角化

    2011-06-02 09:32:08陳香萍傅鴻源
    關(guān)鍵詞:對(duì)角共軛角化

    陳香萍,傅鴻源

    (重慶大學(xué)城市科技學(xué)院,重慶 402167)

    1 符號(hào)約定

    1843年,北愛爾蘭數(shù)學(xué)家Hamilton首次提出了四元數(shù)的概念[1],但當(dāng)時(shí)并未引起廣泛的注意。近年來,四元數(shù)體上代數(shù)問題的研究是一個(gè)非常活躍的領(lǐng)域。一方面由于人們對(duì)四元數(shù)乘積的非交換性有著濃厚的興趣,同時(shí)還因?yàn)樗脑獢?shù)在眾多的應(yīng)用科學(xué)中有著重要的作用,如四元數(shù)在量子力學(xué)、剛體力學(xué)方面的應(yīng)用,四元數(shù)矩陣在計(jì)算機(jī)圖形圖像處理和識(shí)別方面的應(yīng)用,四元數(shù)在空間姿態(tài)定位方面的應(yīng)用等[1],也促使人們對(duì)四元數(shù)代數(shù)問題的研究。四元數(shù)矩陣的研究是四元數(shù)代數(shù)理論中的一個(gè)重要方面,例如文獻(xiàn)[4]討論了四元數(shù)矩陣的Moore-Penrose逆的計(jì)算簡化。近年來,四元數(shù)矩陣的特征值不等式、奇異值不等式、合同、正定性以及自共軛四元數(shù)矩陣行列式等方面都有廣泛的研究[4-13],但對(duì)四元數(shù)體上矩陣同時(shí)對(duì)角化進(jìn)行研究的文獻(xiàn)較少。

    四元數(shù)矩陣的對(duì)角化是四元數(shù)矩陣?yán)碚摰闹匾獌?nèi)容,它在四元數(shù)力學(xué)等一些四元數(shù)應(yīng)用學(xué)科的理論研究和數(shù)值計(jì)算中起到重要作用。本文主要研究四元數(shù)體上矩陣的同時(shí)對(duì)角化問題,主要借助于實(shí)數(shù)域復(fù)數(shù)域上的矩陣同時(shí)對(duì)角化的一些結(jié)論及方法,在筆者對(duì)同時(shí)對(duì)角化問題的前期研究成果[3]的基礎(chǔ)上對(duì)四元數(shù)本身的特性加以改進(jìn),獲得了四元數(shù)體上兩類特殊矩陣同時(shí)對(duì)角化的條件。該研究對(duì)于深化四元數(shù)矩陣的學(xué)習(xí)及問題的解決有積極意義。

    本文中:R表示實(shí)數(shù)域;C表示復(fù)數(shù)域;H表示R上的四元數(shù)體;A=( aij)n×n表示 H 上的矩陣;R和H上 n階矩陣的全體分別記為 Rn×n和 Hn×n;表示A的共軛轉(zhuǎn)置;a=a0+a1i+a2j+a3k表示實(shí)四元數(shù)(a0,a1,a2,a3為實(shí)數(shù));α 和 In分別表示H上任意n維四元數(shù)列向量和n階單位矩陣;E表示R上n階單位矩陣;a*表示a的共軛四元數(shù);α*表示α的共軛轉(zhuǎn)置向量。

    2 定義和引理

    定義1 設(shè)A,B∈Hn×n,若存在一個(gè)可逆矩陣P∈Hn×n,使得 B=P-1AP,則稱 A 與 B 相似,記為A~B。

    定義2 設(shè)A,B∈Hn×n,若存在一個(gè)可逆矩陣P∈Hn×n,使得 B=P*AP,則稱 A 與 B 合同,記為A?B。

    定義3 如果存在一個(gè)可逆矩陣 P∈Hn×n,使得

    其中 λ1,λ2,…,λn∈R且為 A 的特征值,那么稱矩陣A為中心封閉陣。

    定義4 如果矩陣 A∈Hn×n與一個(gè)對(duì)角矩陣相似,那么就說A為可角化矩陣。有時(shí)也可采用術(shù)語稱A是可對(duì)角的。

    定義5[1]設(shè)

    其中:αj= (a1j,a2j,…,anj)T,j=1,2,…,m;βi=(ai1,ai2,…,aim),i=1,2,…,n,則稱列向量組{α1,α2,…,αm}的極大右(左)線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)為 A 的列右(左)秩,稱行向量組 {β1,β2,…,βn}的極大左(右)線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)為A的行左(右)秩。在A的子方陣中,重行列式不為零的子方陣的階數(shù)r稱為矩陣 A的秩,記為 rankA=r;如果n=m=r,則稱A為滿秩矩陣;又滿秩矩陣必為方陣。

    引理1[1]設(shè) A∈Hn×n,則 A 滿秩的充要條件為A可逆。

    引理2[1]設(shè) A∈Hn×n,則:A 的列右秩 =A 的列左秩=rankA;A的行右秩=A的行左秩=rankA。

    引理3[2]設(shè) A∈Hm×n,則 A 的行左秩、列右秩均等于rankA。

    引理4 如果A∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣,P∈Hn×n為任意可逆矩陣,則B=P-1AP亦可對(duì)角化。

    證明因?yàn)锳∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣,則存在一個(gè)可逆矩陣 P1∈Hn×n,使得 P-11AP1=∧。又因?yàn)?B=P-1AP 得 A=PBP-1,則

    其中:∧ 代表對(duì)角矩陣;P2=P-1P1,因此得證 B與一個(gè)對(duì)角矩陣∧相似,即 B=P-1AP亦可對(duì)角化。

    3 主要結(jié)果及證明

    定理1 設(shè) A∈Hn×n,B ∈ Hm×m,令 C=是A,B的直和,那么 C可對(duì)角化,當(dāng)且僅當(dāng)A,B都可對(duì)角化。

    證明如果存在非奇異矩陣P1∈Hn×n和非奇異矩陣 P2∈Hm×m,使得AP1和BP2都為對(duì)角矩陣,那么容易驗(yàn)證,P-1CP是對(duì)角矩陣,只要P取直和

    如果用

    表示 P= [p1,p2,…,pn+m],那么,對(duì)于 i=1,2,…,n+m,推出 Aξi= ξiλi和 Bηi=ηiλi。

    如果在集合 { ξ1,ξ2,…,ξn+m} 中,無關(guān)向量少于n個(gè),則矩陣

    的列右秩將小于n,由引理2及引理3知其行左秩也小于n。

    同理,如果集合 { η1,η2,…,ηn+m} 中,無關(guān)向量少于m個(gè),則矩陣

    的列右秩將小于m,由引理2及引理3知其行左秩也小于m。

    在其中一種(或兩種)情形下,矩陣

    的行左秩小于n+m,因?yàn)镻是可逆矩陣,由引理1知,這是不可能的。因此,在集合{ξ1,ξ2,…,ξn+m}中,恰有n個(gè)無關(guān)的向量,又因?yàn)檫@每一個(gè)向量都是A的特征向量,所以矩陣A一定可以對(duì)角化。同理矩陣B也可對(duì)角化。定理1得證。

    定理2 設(shè) A∈Hn×n為中心封閉陣,B∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣,如果AB=BA,則 A,B可同時(shí)對(duì)角化。

    證明設(shè)AB=BA,由于A∈Hn×n為中心封閉陣,則存在一個(gè)可逆矩陣 P1∈Hn×n,使得

    其中,λ1,λ2,…,λn∈R且為 A 的特征值,且為方便,可不妨設(shè)

    其中 λ1,λ2,…,λs∈R 為互不相同的數(shù)(s≤n)。于是由AB=BA知P-11AP1與P-11BP1可以交換,為方便記 C=P-11AP1,D=P-11BP1,則 CD=DC,所以有

    其中D=[ dij],而 λ1,λ2,…,λs∈R為 A 的特征值。因?yàn)?λ1,λ2,…,λs∈R,則有 ( λi- λj)dij=0。由此可知,只要 λi≠λj,就有 dij=0。因此,接上面已經(jīng)給定的 λi(i=1,2,…,s)項(xiàng)的順序,D=是分塊對(duì)角矩陣:

    其中,對(duì)于A的每個(gè)不同的特征值,有一個(gè)子塊Di,每個(gè)子塊Di是一個(gè)方陣,其階數(shù)等于與它相應(yīng)的A的特征值的重?cái)?shù)。因?yàn)锽∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣,由引理4知D為可對(duì)角化矩陣,又由定理1知,每個(gè)子塊Di可對(duì)角化。設(shè)Ti是使T-1iDiTi為對(duì)角矩陣的非奇異矩陣。因?yàn)镃有分塊形式

    其中每個(gè)純量矩陣λiIni與Di同階,由此得到T-1CT和T-1DT都是對(duì)角矩陣,其中

    即A,B可同時(shí)對(duì)角化,證畢。

    注:這個(gè)命題與實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)域上的命題不同,在實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)域中對(duì)于任意兩個(gè)可對(duì)角化矩陣來說,可交換是它們可同時(shí)對(duì)角化的充要條件。但是在這里逆命題是不一定成立,即如果A,B可同時(shí)對(duì)角化,不一定有A,B可交換。在這里給出一個(gè)算例。

    推論1 如果A∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣,λI∈Rn×n為實(shí)數(shù)域中的純量矩陣,則A與λI可同時(shí)對(duì)角化。

    [1]李文亮.四元數(shù)矩陣[M].長沙:國防科技大學(xué)出版社,2002.

    [2]莊瓦金.體上矩陣?yán)碚搶?dǎo)引[M].北京:科學(xué)出版社,2006:124-135.

    [3]伍俊良,陳香萍,鄒黎敏.2個(gè)四元數(shù)正規(guī)矩陣的同時(shí)對(duì)角化問題[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,31(3):222-226.

    [4]王國棟,鄭千里.實(shí)四元數(shù)環(huán)上矩陣的Moore-Penrose逆的計(jì)算簡化(英文)[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001,23(5):321 -323.

    [5]王慶貴.四元數(shù)變換及其在空間機(jī)構(gòu)位移分析中的應(yīng)用[J].力學(xué)學(xué)報(bào),1983,19(1)::5 -61.

    [6]張光樞.剛體有限轉(zhuǎn)動(dòng)合成的可交換性[J].力學(xué)學(xué)報(bào),1982,18(4):363 -368.

    [7]姜同松,陳麗.四元數(shù)體上矩陣的廣義對(duì)角化[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1999,20(11):1203-1210.

    [8]LI Yao-tang,WU Wen-jing.Symmetric and skew-ant symmetric solutions to systems of real quaternion matrix equations[J].Comput.Math.Appl,2008,55:1142-1147.

    [9]HUANG Li-ping.On two questions about quaternion matrices[J].Linear Algebra Appl,.2000,318:79 - 86.

    [10]屠伯塤.四元數(shù)體上矩陣的弱直積與弱圈積[J].復(fù)旦大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1991(3):331-339.

    [11]WU Jun-liang,ZOU Li-min,CHEN Xian-ping,et al.The estimation of eigenvalues of sum,difference,and tensor product of matrices over quaternion division algebra[J].Linear.Algebra.Appl,2008,428:3023 -3033.

    [12]姜同松,魏木生.四元數(shù)矩陣的實(shí)表示與四元數(shù)矩陣方程[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2006(4):578-584.

    [13]ZHANG Fu-zhen.Quaternions and matrices of quaternions[J].Linear Algebra Appl,1997,251:21 -57.

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