• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    四元數(shù)體上兩類特殊矩陣的同時(shí)對(duì)角化

    2011-06-02 09:32:08陳香萍傅鴻源
    關(guān)鍵詞:對(duì)角共軛角化

    陳香萍,傅鴻源

    (重慶大學(xué)城市科技學(xué)院,重慶 402167)

    1 符號(hào)約定

    1843年,北愛爾蘭數(shù)學(xué)家Hamilton首次提出了四元數(shù)的概念[1],但當(dāng)時(shí)并未引起廣泛的注意。近年來,四元數(shù)體上代數(shù)問題的研究是一個(gè)非常活躍的領(lǐng)域。一方面由于人們對(duì)四元數(shù)乘積的非交換性有著濃厚的興趣,同時(shí)還因?yàn)樗脑獢?shù)在眾多的應(yīng)用科學(xué)中有著重要的作用,如四元數(shù)在量子力學(xué)、剛體力學(xué)方面的應(yīng)用,四元數(shù)矩陣在計(jì)算機(jī)圖形圖像處理和識(shí)別方面的應(yīng)用,四元數(shù)在空間姿態(tài)定位方面的應(yīng)用等[1],也促使人們對(duì)四元數(shù)代數(shù)問題的研究。四元數(shù)矩陣的研究是四元數(shù)代數(shù)理論中的一個(gè)重要方面,例如文獻(xiàn)[4]討論了四元數(shù)矩陣的Moore-Penrose逆的計(jì)算簡化。近年來,四元數(shù)矩陣的特征值不等式、奇異值不等式、合同、正定性以及自共軛四元數(shù)矩陣行列式等方面都有廣泛的研究[4-13],但對(duì)四元數(shù)體上矩陣同時(shí)對(duì)角化進(jìn)行研究的文獻(xiàn)較少。

    四元數(shù)矩陣的對(duì)角化是四元數(shù)矩陣?yán)碚摰闹匾獌?nèi)容,它在四元數(shù)力學(xué)等一些四元數(shù)應(yīng)用學(xué)科的理論研究和數(shù)值計(jì)算中起到重要作用。本文主要研究四元數(shù)體上矩陣的同時(shí)對(duì)角化問題,主要借助于實(shí)數(shù)域復(fù)數(shù)域上的矩陣同時(shí)對(duì)角化的一些結(jié)論及方法,在筆者對(duì)同時(shí)對(duì)角化問題的前期研究成果[3]的基礎(chǔ)上對(duì)四元數(shù)本身的特性加以改進(jìn),獲得了四元數(shù)體上兩類特殊矩陣同時(shí)對(duì)角化的條件。該研究對(duì)于深化四元數(shù)矩陣的學(xué)習(xí)及問題的解決有積極意義。

    本文中:R表示實(shí)數(shù)域;C表示復(fù)數(shù)域;H表示R上的四元數(shù)體;A=( aij)n×n表示 H 上的矩陣;R和H上 n階矩陣的全體分別記為 Rn×n和 Hn×n;表示A的共軛轉(zhuǎn)置;a=a0+a1i+a2j+a3k表示實(shí)四元數(shù)(a0,a1,a2,a3為實(shí)數(shù));α 和 In分別表示H上任意n維四元數(shù)列向量和n階單位矩陣;E表示R上n階單位矩陣;a*表示a的共軛四元數(shù);α*表示α的共軛轉(zhuǎn)置向量。

    2 定義和引理

    定義1 設(shè)A,B∈Hn×n,若存在一個(gè)可逆矩陣P∈Hn×n,使得 B=P-1AP,則稱 A 與 B 相似,記為A~B。

    定義2 設(shè)A,B∈Hn×n,若存在一個(gè)可逆矩陣P∈Hn×n,使得 B=P*AP,則稱 A 與 B 合同,記為A?B。

    定義3 如果存在一個(gè)可逆矩陣 P∈Hn×n,使得

    其中 λ1,λ2,…,λn∈R且為 A 的特征值,那么稱矩陣A為中心封閉陣。

    定義4 如果矩陣 A∈Hn×n與一個(gè)對(duì)角矩陣相似,那么就說A為可角化矩陣。有時(shí)也可采用術(shù)語稱A是可對(duì)角的。

    定義5[1]設(shè)

    其中:αj= (a1j,a2j,…,anj)T,j=1,2,…,m;βi=(ai1,ai2,…,aim),i=1,2,…,n,則稱列向量組{α1,α2,…,αm}的極大右(左)線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)為 A 的列右(左)秩,稱行向量組 {β1,β2,…,βn}的極大左(右)線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)為A的行左(右)秩。在A的子方陣中,重行列式不為零的子方陣的階數(shù)r稱為矩陣 A的秩,記為 rankA=r;如果n=m=r,則稱A為滿秩矩陣;又滿秩矩陣必為方陣。

    引理1[1]設(shè) A∈Hn×n,則 A 滿秩的充要條件為A可逆。

    引理2[1]設(shè) A∈Hn×n,則:A 的列右秩 =A 的列左秩=rankA;A的行右秩=A的行左秩=rankA。

    引理3[2]設(shè) A∈Hm×n,則 A 的行左秩、列右秩均等于rankA。

    引理4 如果A∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣,P∈Hn×n為任意可逆矩陣,則B=P-1AP亦可對(duì)角化。

    證明因?yàn)锳∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣,則存在一個(gè)可逆矩陣 P1∈Hn×n,使得 P-11AP1=∧。又因?yàn)?B=P-1AP 得 A=PBP-1,則

    其中:∧ 代表對(duì)角矩陣;P2=P-1P1,因此得證 B與一個(gè)對(duì)角矩陣∧相似,即 B=P-1AP亦可對(duì)角化。

    3 主要結(jié)果及證明

    定理1 設(shè) A∈Hn×n,B ∈ Hm×m,令 C=是A,B的直和,那么 C可對(duì)角化,當(dāng)且僅當(dāng)A,B都可對(duì)角化。

    證明如果存在非奇異矩陣P1∈Hn×n和非奇異矩陣 P2∈Hm×m,使得AP1和BP2都為對(duì)角矩陣,那么容易驗(yàn)證,P-1CP是對(duì)角矩陣,只要P取直和

    如果用

    表示 P= [p1,p2,…,pn+m],那么,對(duì)于 i=1,2,…,n+m,推出 Aξi= ξiλi和 Bηi=ηiλi。

    如果在集合 { ξ1,ξ2,…,ξn+m} 中,無關(guān)向量少于n個(gè),則矩陣

    的列右秩將小于n,由引理2及引理3知其行左秩也小于n。

    同理,如果集合 { η1,η2,…,ηn+m} 中,無關(guān)向量少于m個(gè),則矩陣

    的列右秩將小于m,由引理2及引理3知其行左秩也小于m。

    在其中一種(或兩種)情形下,矩陣

    的行左秩小于n+m,因?yàn)镻是可逆矩陣,由引理1知,這是不可能的。因此,在集合{ξ1,ξ2,…,ξn+m}中,恰有n個(gè)無關(guān)的向量,又因?yàn)檫@每一個(gè)向量都是A的特征向量,所以矩陣A一定可以對(duì)角化。同理矩陣B也可對(duì)角化。定理1得證。

    定理2 設(shè) A∈Hn×n為中心封閉陣,B∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣,如果AB=BA,則 A,B可同時(shí)對(duì)角化。

    證明設(shè)AB=BA,由于A∈Hn×n為中心封閉陣,則存在一個(gè)可逆矩陣 P1∈Hn×n,使得

    其中,λ1,λ2,…,λn∈R且為 A 的特征值,且為方便,可不妨設(shè)

    其中 λ1,λ2,…,λs∈R 為互不相同的數(shù)(s≤n)。于是由AB=BA知P-11AP1與P-11BP1可以交換,為方便記 C=P-11AP1,D=P-11BP1,則 CD=DC,所以有

    其中D=[ dij],而 λ1,λ2,…,λs∈R為 A 的特征值。因?yàn)?λ1,λ2,…,λs∈R,則有 ( λi- λj)dij=0。由此可知,只要 λi≠λj,就有 dij=0。因此,接上面已經(jīng)給定的 λi(i=1,2,…,s)項(xiàng)的順序,D=是分塊對(duì)角矩陣:

    其中,對(duì)于A的每個(gè)不同的特征值,有一個(gè)子塊Di,每個(gè)子塊Di是一個(gè)方陣,其階數(shù)等于與它相應(yīng)的A的特征值的重?cái)?shù)。因?yàn)锽∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣,由引理4知D為可對(duì)角化矩陣,又由定理1知,每個(gè)子塊Di可對(duì)角化。設(shè)Ti是使T-1iDiTi為對(duì)角矩陣的非奇異矩陣。因?yàn)镃有分塊形式

    其中每個(gè)純量矩陣λiIni與Di同階,由此得到T-1CT和T-1DT都是對(duì)角矩陣,其中

    即A,B可同時(shí)對(duì)角化,證畢。

    注:這個(gè)命題與實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)域上的命題不同,在實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)域中對(duì)于任意兩個(gè)可對(duì)角化矩陣來說,可交換是它們可同時(shí)對(duì)角化的充要條件。但是在這里逆命題是不一定成立,即如果A,B可同時(shí)對(duì)角化,不一定有A,B可交換。在這里給出一個(gè)算例。

    推論1 如果A∈Hn×n為可對(duì)角化矩陣,λI∈Rn×n為實(shí)數(shù)域中的純量矩陣,則A與λI可同時(shí)對(duì)角化。

    [1]李文亮.四元數(shù)矩陣[M].長沙:國防科技大學(xué)出版社,2002.

    [2]莊瓦金.體上矩陣?yán)碚搶?dǎo)引[M].北京:科學(xué)出版社,2006:124-135.

    [3]伍俊良,陳香萍,鄒黎敏.2個(gè)四元數(shù)正規(guī)矩陣的同時(shí)對(duì)角化問題[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,31(3):222-226.

    [4]王國棟,鄭千里.實(shí)四元數(shù)環(huán)上矩陣的Moore-Penrose逆的計(jì)算簡化(英文)[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001,23(5):321 -323.

    [5]王慶貴.四元數(shù)變換及其在空間機(jī)構(gòu)位移分析中的應(yīng)用[J].力學(xué)學(xué)報(bào),1983,19(1)::5 -61.

    [6]張光樞.剛體有限轉(zhuǎn)動(dòng)合成的可交換性[J].力學(xué)學(xué)報(bào),1982,18(4):363 -368.

    [7]姜同松,陳麗.四元數(shù)體上矩陣的廣義對(duì)角化[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1999,20(11):1203-1210.

    [8]LI Yao-tang,WU Wen-jing.Symmetric and skew-ant symmetric solutions to systems of real quaternion matrix equations[J].Comput.Math.Appl,2008,55:1142-1147.

    [9]HUANG Li-ping.On two questions about quaternion matrices[J].Linear Algebra Appl,.2000,318:79 - 86.

    [10]屠伯塤.四元數(shù)體上矩陣的弱直積與弱圈積[J].復(fù)旦大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1991(3):331-339.

    [11]WU Jun-liang,ZOU Li-min,CHEN Xian-ping,et al.The estimation of eigenvalues of sum,difference,and tensor product of matrices over quaternion division algebra[J].Linear.Algebra.Appl,2008,428:3023 -3033.

    [12]姜同松,魏木生.四元數(shù)矩陣的實(shí)表示與四元數(shù)矩陣方程[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2006(4):578-584.

    [13]ZHANG Fu-zhen.Quaternions and matrices of quaternions[J].Linear Algebra Appl,1997,251:21 -57.

    猜你喜歡
    對(duì)角共軛角化
    一個(gè)帶重啟步的改進(jìn)PRP型譜共軛梯度法
    一個(gè)改進(jìn)的WYL型三項(xiàng)共軛梯度法
    巧用共軛妙解題
    一種自適應(yīng)Dai-Liao共軛梯度法
    擬對(duì)角擴(kuò)張Cuntz半群的某些性質(zhì)
    實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化探究
    東方教育(2017年14期)2017-09-25 02:07:38
    巨大角化棘皮瘤誤診為鱗狀細(xì)胞癌1例
    實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似對(duì)角化的探討
    日光性角化病的診治進(jìn)展
    非奇異塊α1對(duì)角占優(yōu)矩陣新的實(shí)用簡捷判據(jù)
    国产亚洲精品久久久com| 成人午夜精彩视频在线观看| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 国产男女超爽视频在线观看| 在线观看国产h片| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 精品午夜福利在线看| 日本wwww免费看| 免费人妻精品一区二区三区视频| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 久久女婷五月综合色啪小说| av天堂中文字幕网| 七月丁香在线播放| 91久久精品国产一区二区成人| 久久99热6这里只有精品| h视频一区二区三区| 日本免费在线观看一区| 久久久久久久久大av| 久久韩国三级中文字幕| 晚上一个人看的免费电影| 日韩成人伦理影院| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 色吧在线观看| 男人和女人高潮做爰伦理| 亚洲不卡免费看| 国产成人freesex在线| 国产精品福利在线免费观看| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 欧美日韩亚洲高清精品| 亚洲中文av在线| 亚洲熟女精品中文字幕| 亚洲成人手机| 观看免费一级毛片| 人妻夜夜爽99麻豆av| 丰满人妻一区二区三区视频av| 美女内射精品一级片tv| 少妇精品久久久久久久| 天堂中文最新版在线下载| 亚洲av.av天堂| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 久久久久久久亚洲中文字幕| 国产永久视频网站| 亚洲国产精品一区三区| 国产精品久久久久久久久免| 成人免费观看视频高清| 观看av在线不卡| 91在线精品国自产拍蜜月| 国产中年淑女户外野战色| 精品一品国产午夜福利视频| 男人舔奶头视频| 色哟哟·www| 国产淫片久久久久久久久| 国产成人精品一,二区| 精品国产露脸久久av麻豆| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 国产精品久久久久久av不卡| 日本91视频免费播放| 欧美日韩综合久久久久久| 草草在线视频免费看| 国产免费视频播放在线视频| 观看免费一级毛片| 亚洲精品aⅴ在线观看| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 在线免费观看不下载黄p国产| 欧美成人精品欧美一级黄| 国产又色又爽无遮挡免| 日本色播在线视频| 美女福利国产在线| 高清毛片免费看| av有码第一页| 少妇丰满av| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 成年av动漫网址| 成人亚洲精品一区在线观看| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 亚洲欧美清纯卡通| 一级爰片在线观看| 亚洲av国产av综合av卡| 日本爱情动作片www.在线观看| 国产精品久久久久久精品古装| 蜜桃在线观看..| 亚洲av国产av综合av卡| 亚洲色图综合在线观看| 如何舔出高潮| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 亚洲国产精品专区欧美| 麻豆成人午夜福利视频| 日韩成人伦理影院| 少妇人妻久久综合中文| 亚洲国产色片| 亚洲,欧美,日韩| 深夜a级毛片| 久久国产亚洲av麻豆专区| 中文字幕免费在线视频6| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 美女内射精品一级片tv| 日韩一区二区视频免费看| 亚洲一区二区三区欧美精品| 久久影院123| 久久精品国产亚洲网站| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频 | freevideosex欧美| 日日爽夜夜爽网站| 丁香六月天网| 边亲边吃奶的免费视频| 久久精品久久精品一区二区三区| 少妇精品久久久久久久| 一区二区三区精品91| 国产日韩一区二区三区精品不卡 | 中文在线观看免费www的网站| 中文字幕人妻丝袜制服| 丰满人妻一区二区三区视频av| 久久久久网色| 精品一区二区三卡| 黄片无遮挡物在线观看| 国产免费视频播放在线视频| 国产日韩欧美在线精品| 亚洲真实伦在线观看| 成人漫画全彩无遮挡| 曰老女人黄片| 内地一区二区视频在线| 午夜福利影视在线免费观看| 性色avwww在线观看| 国产日韩一区二区三区精品不卡 | 交换朋友夫妻互换小说| 色吧在线观看| 午夜免费鲁丝| 五月天丁香电影| 免费黄网站久久成人精品| 男女无遮挡免费网站观看| 女人久久www免费人成看片| 永久网站在线| 搡女人真爽免费视频火全软件| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久 | 国内揄拍国产精品人妻在线| 99热网站在线观看| 91在线精品国自产拍蜜月| 下体分泌物呈黄色| 亚洲欧美一区二区三区国产| 久久久久久久久久久丰满| a级片在线免费高清观看视频| 黄色日韩在线| 2022亚洲国产成人精品| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91 | av网站免费在线观看视频| 精品久久久久久久久av| 高清毛片免费看| 寂寞人妻少妇视频99o| 国产亚洲最大av| 嘟嘟电影网在线观看| 欧美最新免费一区二区三区| 国产男女内射视频| 成年av动漫网址| 寂寞人妻少妇视频99o| 久久午夜综合久久蜜桃| 日本91视频免费播放| 一级,二级,三级黄色视频| 免费大片18禁| 黄色欧美视频在线观看| 最新中文字幕久久久久| 国产精品99久久99久久久不卡 | 97在线人人人人妻| 99久久精品国产国产毛片| 免费在线观看成人毛片| 久久久精品免费免费高清| 国产成人精品无人区| 我的女老师完整版在线观看| 精品少妇内射三级| 女的被弄到高潮叫床怎么办| 久久久久国产网址| 欧美日韩在线观看h| 偷拍熟女少妇极品色| 国产日韩欧美视频二区| 免费人成在线观看视频色| 成年美女黄网站色视频大全免费 | 777米奇影视久久| 有码 亚洲区| 欧美国产精品一级二级三级 | 丝袜喷水一区| 国产亚洲最大av| 最近手机中文字幕大全| 韩国av在线不卡| 赤兔流量卡办理| 日本免费在线观看一区| 26uuu在线亚洲综合色| 国产综合精华液| 一级av片app| 人妻 亚洲 视频| 黑丝袜美女国产一区| 少妇人妻久久综合中文| 另类精品久久| 天天操日日干夜夜撸| 久久综合国产亚洲精品| 高清毛片免费看| 久久久久久久久久成人| 中文字幕精品免费在线观看视频 | 中国三级夫妇交换| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 国产精品国产三级国产专区5o| 亚洲av二区三区四区| 五月玫瑰六月丁香| 久久久久久人妻| 男女免费视频国产| 中国三级夫妇交换| 亚洲精品日本国产第一区| 免费少妇av软件| 日韩av在线免费看完整版不卡| 激情五月婷婷亚洲| 妹子高潮喷水视频| 亚洲经典国产精华液单| xxx大片免费视频| 插阴视频在线观看视频| 男女无遮挡免费网站观看| 男女啪啪激烈高潮av片| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 中文天堂在线官网| 欧美国产精品一级二级三级 | 久久亚洲国产成人精品v| 中文天堂在线官网| 日韩三级伦理在线观看| 久久国内精品自在自线图片| 晚上一个人看的免费电影| 国产男女超爽视频在线观看| av免费在线看不卡| 久久国内精品自在自线图片| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 少妇的逼好多水| 亚洲av不卡在线观看| 欧美xxⅹ黑人| 日本爱情动作片www.在线观看| 婷婷色av中文字幕| 熟女av电影| 国产免费一级a男人的天堂| 国产精品成人在线| 高清av免费在线| 嫩草影院入口| 如何舔出高潮| 少妇被粗大的猛进出69影院 | 久久久久久久久大av| 亚洲,一卡二卡三卡| 一级黄片播放器| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 欧美+日韩+精品| 久久久午夜欧美精品| 大片电影免费在线观看免费| 久久97久久精品| 三上悠亚av全集在线观看 | 免费大片18禁| 熟妇人妻不卡中文字幕| 大陆偷拍与自拍| 国产精品免费大片| 99热这里只有是精品在线观看| 最后的刺客免费高清国语| 亚洲综合色惰| 国产免费视频播放在线视频| 97精品久久久久久久久久精品| av视频免费观看在线观看| 免费观看av网站的网址| 观看av在线不卡| 免费久久久久久久精品成人欧美视频 | 亚洲av中文av极速乱| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久 | 青青草视频在线视频观看| 狂野欧美激情性bbbbbb| 久久狼人影院| 交换朋友夫妻互换小说| a级毛片免费高清观看在线播放| 欧美 日韩 精品 国产| 交换朋友夫妻互换小说| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 国产精品99久久久久久久久| 亚洲精品色激情综合| 51国产日韩欧美| 色94色欧美一区二区| 欧美国产精品一级二级三级 | 午夜av观看不卡| 色婷婷久久久亚洲欧美| 久久国产精品大桥未久av | 黄色配什么色好看| 免费大片18禁| 青春草视频在线免费观看| 久久精品国产自在天天线| 最近的中文字幕免费完整| 国产精品99久久久久久久久| 一区二区av电影网| 国产在线视频一区二区| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 女人精品久久久久毛片| 欧美日韩av久久| 国产又色又爽无遮挡免| 69精品国产乱码久久久| 热re99久久国产66热| 国产精品久久久久久精品古装| 国产精品不卡视频一区二区| 国产精品国产三级专区第一集| 久久影院123| 伦理电影免费视频| 欧美丝袜亚洲另类| 蜜桃在线观看..| 日本午夜av视频| 嫩草影院入口| 高清在线视频一区二区三区| 黄色日韩在线| 亚洲av.av天堂| 色婷婷久久久亚洲欧美| 熟女av电影| 日韩伦理黄色片| 高清欧美精品videossex| 人人妻人人看人人澡| 少妇被粗大猛烈的视频| 一级av片app| 国产亚洲5aaaaa淫片| a 毛片基地| 国产精品久久久久久久电影| 国产成人精品久久久久久| 美女内射精品一级片tv| 亚洲av二区三区四区| 国产av国产精品国产| 亚洲精品一二三| 777米奇影视久久| 乱码一卡2卡4卡精品| av福利片在线| 欧美日韩亚洲高清精品| 久久精品国产自在天天线| 亚洲成人一二三区av| 蜜臀久久99精品久久宅男| 国产淫片久久久久久久久| 人体艺术视频欧美日本| 亚洲精品国产av成人精品| 欧美激情国产日韩精品一区| 国产日韩一区二区三区精品不卡 | 99热这里只有是精品50| 亚洲精品色激情综合| 免费看光身美女| 各种免费的搞黄视频| 人妻系列 视频| 色94色欧美一区二区| 国国产精品蜜臀av免费| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 22中文网久久字幕| 18禁在线无遮挡免费观看视频| 国产淫语在线视频| 日本午夜av视频| 麻豆成人午夜福利视频| 性高湖久久久久久久久免费观看| 久久久久视频综合| 精品人妻熟女av久视频| 亚洲在久久综合| xxx大片免费视频| 国产日韩欧美亚洲二区| 久久久久久久久大av| av线在线观看网站| 极品人妻少妇av视频| 欧美成人午夜免费资源| 一区二区av电影网| 新久久久久国产一级毛片| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 免费观看a级毛片全部| 色5月婷婷丁香| 成人毛片a级毛片在线播放| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 少妇精品久久久久久久| 国产精品成人在线| 亚洲欧美清纯卡通| 麻豆成人av视频| 色吧在线观看| 婷婷色av中文字幕| 国产精品一区二区性色av| 91在线精品国自产拍蜜月| 精品视频人人做人人爽| 国产 一区精品| 五月天丁香电影| 女性生殖器流出的白浆| 黑人猛操日本美女一级片| 国产深夜福利视频在线观看| 91久久精品电影网| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 18+在线观看网站| 爱豆传媒免费全集在线观看| 婷婷色av中文字幕| 哪个播放器可以免费观看大片| 国产乱来视频区| 国产精品偷伦视频观看了| 丰满饥渴人妻一区二区三| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 成人二区视频| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 最新中文字幕久久久久| videos熟女内射| 我的女老师完整版在线观看| 亚洲三级黄色毛片| 久久ye,这里只有精品| 国产成人午夜福利电影在线观看| 午夜免费鲁丝| 黄色日韩在线| 日本欧美国产在线视频| a级毛片在线看网站| 97精品久久久久久久久久精品| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 妹子高潮喷水视频| 人人妻人人澡人人看| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 草草在线视频免费看| 精品人妻一区二区三区麻豆| 久久久久久久久大av| 极品教师在线视频| 欧美变态另类bdsm刘玥| 中文资源天堂在线| 一级,二级,三级黄色视频| 国产亚洲最大av| 亚洲av成人精品一区久久| 国产一区二区在线观看av| 自线自在国产av| 成人黄色视频免费在线看| 成人二区视频| 欧美日韩在线观看h| 青春草国产在线视频| 我的老师免费观看完整版| 在线观看三级黄色| 国产精品久久久久久久久免| 国产精品一区二区性色av| av卡一久久| 99re6热这里在线精品视频| 成人特级av手机在线观看| 91成人精品电影| 精华霜和精华液先用哪个| 少妇人妻精品综合一区二区| 人体艺术视频欧美日本| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 欧美变态另类bdsm刘玥| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 免费高清在线观看视频在线观看| 国产片特级美女逼逼视频| 久久女婷五月综合色啪小说| 青青草视频在线视频观看| 久久这里有精品视频免费| 久久久久久久久大av| 久久久久久久大尺度免费视频| 91aial.com中文字幕在线观看| 香蕉精品网在线| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 91成人精品电影| 国产成人精品婷婷| 国产伦在线观看视频一区| 黄色怎么调成土黄色| 国产在线免费精品| 2021少妇久久久久久久久久久| 日本黄大片高清| 99热全是精品| 欧美bdsm另类| 99热这里只有是精品50| 男女国产视频网站| 大香蕉久久网| 高清欧美精品videossex| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 最近2019中文字幕mv第一页| 哪个播放器可以免费观看大片| 老熟女久久久| 色哟哟·www| 免费av不卡在线播放| 一本久久精品| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 久久久久久久大尺度免费视频| 七月丁香在线播放| 国产午夜精品一二区理论片| 久久 成人 亚洲| 免费观看av网站的网址| 国产精品国产三级国产专区5o| 少妇丰满av| 国产色爽女视频免费观看| 精品熟女少妇av免费看| 一级a做视频免费观看| 久久久精品免费免费高清| 亚洲欧洲日产国产| 国产在线男女| a级毛片免费高清观看在线播放| 日韩在线高清观看一区二区三区| a级毛片免费高清观看在线播放| 高清在线视频一区二区三区| 国产伦精品一区二区三区视频9| 纯流量卡能插随身wifi吗| 观看av在线不卡| 国产精品久久久久久久久免| 日本午夜av视频| 亚洲精品国产av蜜桃| 精品国产一区二区久久| 成年av动漫网址| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 伊人久久国产一区二区| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区| 97精品久久久久久久久久精品| 美女大奶头黄色视频| a 毛片基地| 交换朋友夫妻互换小说| videossex国产| 欧美人与善性xxx| 9色porny在线观看| 伊人久久精品亚洲午夜| 日日摸夜夜添夜夜爱| 欧美+日韩+精品| 一级毛片久久久久久久久女| 久久av网站| 午夜久久久在线观看| 久久久a久久爽久久v久久| 亚洲伊人久久精品综合| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 又大又黄又爽视频免费| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 狠狠精品人妻久久久久久综合| av免费观看日本| 特大巨黑吊av在线直播| 精品久久久久久久久亚洲| 嘟嘟电影网在线观看| 69精品国产乱码久久久| 欧美日韩亚洲高清精品| 国产一区二区在线观看日韩| 久久久久久久国产电影| 亚洲欧洲国产日韩| 国产在线一区二区三区精| 日本wwww免费看| 乱码一卡2卡4卡精品| 爱豆传媒免费全集在线观看| 免费少妇av软件| 色哟哟·www| 中文资源天堂在线| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 伦精品一区二区三区| 青青草视频在线视频观看| 亚洲欧美日韩东京热| 一级二级三级毛片免费看| 国产又色又爽无遮挡免| 欧美另类一区| 中文资源天堂在线| 免费观看无遮挡的男女| 夫妻性生交免费视频一级片| 国模一区二区三区四区视频| 国产熟女欧美一区二区| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 国产免费一级a男人的天堂| 国模一区二区三区四区视频| 成人免费观看视频高清| 精品少妇内射三级| 亚洲成人av在线免费| 最后的刺客免费高清国语| 亚洲第一区二区三区不卡| 国内精品宾馆在线| 久久99一区二区三区| av女优亚洲男人天堂| 国产永久视频网站| 妹子高潮喷水视频| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 下体分泌物呈黄色| 搡女人真爽免费视频火全软件| 少妇的逼水好多| 嫩草影院入口| av在线观看视频网站免费| 一个人免费看片子| 日本爱情动作片www.在线观看| 午夜福利网站1000一区二区三区| 99热这里只有精品一区| 国产视频首页在线观看| 国产精品久久久久久久电影| 91精品国产九色| 午夜久久久在线观看| 亚洲av二区三区四区| 日韩一区二区三区影片| 亚洲精品色激情综合| 免费大片黄手机在线观看| 国产成人aa在线观看| 亚洲综合色惰| 亚洲,欧美,日韩| 国产片特级美女逼逼视频| 人人妻人人澡人人看| 欧美高清成人免费视频www| 午夜老司机福利剧场| 久久99精品国语久久久| 精品久久久噜噜| 国产成人免费无遮挡视频| 国产黄色免费在线视频| 少妇精品久久久久久久| 国精品久久久久久国模美| 亚洲精品亚洲一区二区| tube8黄色片| 最近中文字幕高清免费大全6| 久久久久久久久久久久大奶| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃 | 亚洲美女黄色视频免费看| 亚洲第一av免费看| 91精品国产国语对白视频| 蜜臀久久99精品久久宅男| 午夜影院在线不卡| 卡戴珊不雅视频在线播放| 蜜臀久久99精品久久宅男| 黄色欧美视频在线观看| 99久久综合免费| 亚洲美女黄色视频免费看| 国产欧美日韩精品一区二区| 丰满少妇做爰视频| 日本午夜av视频| 国产午夜精品一二区理论片| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 又大又黄又爽视频免费| 国产伦理片在线播放av一区| 国产精品嫩草影院av在线观看| 草草在线视频免费看| 夜夜爽夜夜爽视频| 91久久精品国产一区二区三区| 国产精品久久久久久久久免| 久久久久久久久久人人人人人人| 亚洲国产最新在线播放|