吳懷弟,阮育清
(1.福州大學數(shù)學與計算機學院,福州 350108;2.福建農(nóng)林大學計算機與信息學院,福州 350002)
時滯系統(tǒng)是用于描述運動狀態(tài)與時間歷史有關的運動現(xiàn)象,時滯的存在給系統(tǒng)動力學性質(zhì)的研究帶來了很大的困難.對具有周期系數(shù)的Logistic時滯模型,國內(nèi)外學者進行了許多相關研究[1-5]。
本文考慮如下多時滯單種群Logistic模型
其中a(t)、bi(t)、r(t)是T-周期函數(shù);a(t)>0,bi(t)≥0,且
根據(jù)生態(tài)學含義,考慮系統(tǒng)(1)的如下初值問題:
其中:τ=max{τi};φ 是[-τ,0]上的連續(xù)函數(shù)。
當m=1時,F(xiàn)reedman[3]運用 Horn不動點定理證明了系統(tǒng)(1)在函數(shù)方程 r(t)-a(t)u(t)+b(t)u(t-τ(t))=0有周期解的條件下存在周期正解。最近,對于線性多時滯的情形,Li[5]借助重合度理論獲得了如下系統(tǒng)在條件下存在周期正解。
對于非線性的情形,文獻[1-2]研究了純時滯滯系統(tǒng)(4)的周期正解。
筆者借助重合度理論證得系統(tǒng)(4)在系統(tǒng)的系數(shù)都是連續(xù)正周期函數(shù)的條件下至少存在一個周期正解;注意到系統(tǒng)(4)和(1)是有本質(zhì)差別的。系統(tǒng)(1)由于有正反饋時滯項,這就使得文獻[1-2]的估計解的先驗界的分析手法無法應用到系統(tǒng)(1)。由于文獻[3]定理條件需要借助于解函數(shù)方程,但這并不容易做到。文獻[5]所給條件僅依賴于系統(tǒng)的系數(shù),非常簡潔。最近Lisena[4]在研讀文獻[3,5]時注意到這一事實,試圖獲得一組介于文獻[3]和文獻[5]之間的條件,這一條件既要推廣文獻[5]的主要結(jié)果,同時又要克服文獻[3]的定理條件不易驗證的困難。借助Schauder不動點定理Lisena獲得一組新的保證系統(tǒng)(1)當m=1時存在周期正解的充分性條件。如本文分析,無法將文獻[1-2]的分析手法應用于系統(tǒng)(1)的周期正解的存在性問題,那么一個比較有趣的問題就是能否運用文獻[4]的手法來探討系統(tǒng)(1)周期正解存在性的條件。
引理1 設k(t)>0,a(t)>0,bi(t)≥0,若如下的時滯函數(shù)方程
存在一個連續(xù)可微的T-周期正解,則系統(tǒng)(1)存在一個T-周期正解。
引理2 設a(t)、bi(t)、k(t)、r(t)是連續(xù)的T-周期函數(shù),且
若系統(tǒng)
的T-周期正解,u(t)是系統(tǒng)(1)的一個正解,且滿足
則
證明先證
故存在 t0>0,使得又,由微分方程比較原理有又因為其為周期函數(shù),所以式(8)成立。
由歸納法可得上述不等式在t∈[0,T]上成立。
故結(jié)論得證。
定理1 設和為引理2所定義的函數(shù),則方程(1)存在一個T-周期正解滿足
證明定義線性空間
定義連續(xù)映射
所以F(S)一致有界等度連續(xù),因此F(S)列緊,則由 Schauder第二不動點定理得存在,使得也即方程(1)有一個 T - 周期正解滿足
證明完畢。
下面給出本文主要定理的證明。
定理2 設a(t)>0,bi(t)≥0,m[r]>0,若存在一個正的連續(xù)可微的T-周期函數(shù)φ(t),滿足
則方程(1)有一個T-周期正解。
證明取
由式(9)和k(t)>r(t),應用定理1結(jié)論得證。
注1 文獻[3]的多時滯情形要求有周期正解,這是不容易判別的,而定理2只要求存在周期函數(shù)φ(t)滿足不等式,避免了函數(shù)方程的根的判別,且顯然該條件也更容易滿足。
注2 當取定理2中的φ(t)=1時,即為文獻[5]中定理2.3所表述的內(nèi)容,因此本文推廣了文獻[4-5]的相關工作。
[1]Chen F D,Shi J L.Periodicity in a logistic type system with several delays[J].Computers and Mathematics with Applications,2004,48:35 -44.
[2]Chen Y M.Periodic solutions of a delayed periodic logistic equation[J].Applied Mathematics Letters,2003,16:1047 -1051.
[3]Freedman H I,Wu J H.Periodic solutions of single-species models with periodic delay[J].SIAM Journal on Mathematical A-nalysis,1992,23:689 -701.
[4]Lisena B.Periodic solutions of logistic equations with time delay[J].Applied Mathematics Letters,2007,20:1070 -1074.
[5]Li Y K.Periodic solutions of periodic delay Lotka-Volterra equations and systems[J].Journal of Mathematical Analysis Applications,2001,255:260 -280.