在隨機(jī)波動過程中對跳躍項(xiàng)的檢驗(yàn)

寇惠敏，孟昭為

(山東理工大學(xué)理學(xué)院，山東 淄博 255049)

由于金融資產(chǎn)(特別是股票和外匯)的交易價格一般具有“時間連續(xù)性”，因此，金融資產(chǎn)的收益率應(yīng)該是平穩(wěn)的。但是，隨著日內(nèi)高頻交易數(shù)據(jù)的可用性，許多學(xué)者發(fā)現(xiàn)，金融資產(chǎn)的收益率在日內(nèi)近似連續(xù)的時間內(nèi)有可能出現(xiàn)大幅波動，這種現(xiàn)象稱為“跳躍”。跳躍在金融資產(chǎn)收益波動率的估計(jì)和預(yù)報中具有非常重要的意義。在金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中對帶有跳躍項(xiàng)的隨機(jī)波動率模型的研究是一個重要的課題，模型中過高的峰度等一般都是由收益和波動中的跳躍引起的，而用簡單的SV模型無法解釋。在Eraker的文章中曾講過研究帶有跳躍的SV模型的重要性和實(shí)用性。

本文在收益和波動中的跳躍項(xiàng)帶同期性和相關(guān)性的隨機(jī)波動率模型的基礎(chǔ)上，用LM乘子檢驗(yàn)，驗(yàn)證了在波動中跳躍的存在性，利用的是狄拉克·δ函數(shù)的思想推導(dǎo)出方差無限小的跳躍項(xiàng)密度函數(shù)，這個方法是kobayashi和Shi提出的，用它去處理在原假設(shè)下退化的密度函數(shù)。

1 基本SV模型

基本形式:

其中:ut～ N(0，1);νt～N(0，1);|β|＜1;ut與 νt相互獨(dú)立。可以求出 yt與 θt的條件密度函數(shù)

狀態(tài)變量的初始值θ0通常假設(shè)為服從，或者假設(shè)為一個固定值。前一個假設(shè)中狀態(tài)變量是穩(wěn)定的，后一種情況，θ0的密度的均值和方差均退化成零，可以看成是狄拉克·δ函數(shù)。在這2種情況下，都用h0(θ0)表示θ0的密度函數(shù)。

基本 SV 模型的密度函數(shù)可以通過 θ0，θ1，…，θT和 y1，…，yT的聯(lián)合密度函數(shù)表示出的 θ0，θ1，…，θT獲得，可以表示為

此后，為書寫上的方便，積分區(qū)間(－∞，+∞)可省略，用dθ代表n個參數(shù)的積分符號dθ0dθ1…dθT。

2 在收益方程中帶有跳躍項(xiàng)的SV模型

假設(shè)在收益方程中跳躍發(fā)生的概率為p，跳躍的大小服從獨(dú)立的正態(tài)分布，其中均值為0，方差為λ。跳躍變量et的分布是一個正態(tài)分布和一個0向量合成的，權(quán)重分別為p和1－p，其中0向量表示所有的點(diǎn)在0處都等于0的退化分布?？梢詫懗?

其中，0＜p＜1，跳躍的發(fā)生和ut，νt是獨(dú)立的，這個模型叫做SVJ模型，由 Eraker等提出。用測量和變換方程表示成非線性狀態(tài)空間模型的形式

它們的條件密度函數(shù)可以寫成

那么，在收益方程中，帶有跳躍項(xiàng)的y1，…，yT的密度函數(shù)可表示為

3 在波動和收益方程中跳躍項(xiàng)的相關(guān)性和同期性檢驗(yàn)

在假設(shè)跳躍在收益和波動方程中同時發(fā)生的情況下，推導(dǎo)出一種新的拉格朗日乘子檢驗(yàn)法，并用該方法去檢驗(yàn)在波動方程中的跳躍項(xiàng)。原假設(shè)為在收益方程中含有跳躍項(xiàng)的SV模型，被擇假設(shè)為在收益和波動方程中含有相關(guān)的跳躍項(xiàng)的SV模型，后者記為SVCJ模型。

在波動和收益方程中，含有同期性和相關(guān)性的隨機(jī)波動率模型可以表示為

假設(shè)在波動和收益方程中跳躍ηt，et同時發(fā)生的概率為p，跳躍發(fā)生的條件是這些跳躍滿足二元正態(tài)分布，且ηt＞0。在波動方程中跳躍項(xiàng)的邊緣分布是一個半正態(tài)分布，即正態(tài)分布的正向部分。按照傳統(tǒng)的假設(shè)，波動方程中的跳躍項(xiàng)不能為負(fù)，但本文做了一些改動，因?yàn)橛玫降哪Ｐ椭惺窃惹闆r的擴(kuò)展，所以波動方程中的跳躍項(xiàng)可以是負(fù)的。

波動和收益方程中跳躍有條件發(fā)生時的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

其中:

ρ表示:2個跳躍項(xiàng)的相關(guān)性系數(shù)，當(dāng)ρ＜0時，波動方程中的跳躍伴隨著收益方程中的一個負(fù)的跳躍;當(dāng)ρ＞0時，伴隨著收益方程中一個正的跳躍。在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量推導(dǎo)過程中，假設(shè)ρ≠0，因?yàn)槿籀?0，那么關(guān)于k的得分函數(shù)是恒等于0，就不能求出其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。收益方程和波動方程中震動的相關(guān)性也就是所謂的“杠桿效應(yīng)”，在研究中是一個非常重要的問題。跳躍在t時刻發(fā)生時，θt和yt的條件聯(lián)合密度函數(shù)表示為

另一方面，在t時刻跳躍沒有發(fā)生時，θt和yt的條件聯(lián)合密度函數(shù)可以表示為

在收益和波動過程中含有相關(guān)跳躍項(xiàng)的y1，y2，…，yT的密度函數(shù)可以表示為

θt和yt的無條件聯(lián)合密度函數(shù)表示為

測量和轉(zhuǎn)移方程的密度函數(shù) g(yt|θt)，h(θt|θt－1)可以分別由式(1)、(2)給出。

本文求SVJ模型在原假設(shè)下的LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，即為在式(6)中的模型對備擇假設(shè)含有未知參數(shù)α，β，σ2，λ，k，p，ρ的SVCJ模型。在原假設(shè) k=0下，相當(dāng)于 ηt≡0 。則，在原假設(shè)下，式(5)中的相關(guān)系數(shù) ρ是不可辨認(rèn)和不能估計(jì)的;但是，可以證明它對本文的LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是沒有影響的，因?yàn)樵贚M檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中ρ可以忽略，所以檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布對ρ來說是獨(dú)立的。下面計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)。

第一，式(7)中已經(jīng)給出了SVCJ模型的似然函數(shù)的形式，可以得到

而跳躍項(xiàng)關(guān)于k的條件聯(lián)合密度函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是

則

此后，除非另有說明，所有的參數(shù)都是在k=0或ηt=0的條件下估計(jì)?？梢缘玫?/p>

那么，在k=0時，y1，…，yt似然函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)可以寫成

其中de1，…，deT，縮寫成de，它們的聯(lián)合密度函數(shù)定義為

和

式(8)的第1項(xiàng)與方程成正比，定義為SVJ模型的σ2的最大似然估計(jì)并讓它等于零，則

式(8)的第3項(xiàng)也為零，因?yàn)樗c方程成正比例，定義為SVJ模型中參數(shù)λ的最大似然估計(jì)。因此，通過判斷式(9)是否離零足夠遠(yuǎn)，來檢驗(yàn)假設(shè)k=0。

在收益方程中，跳躍項(xiàng)的條件密度函數(shù)定義為

簡寫成

其中

從而用式(10)在式(9)中表示出et，最后得到

上面用到在θt，yt給定的條件下，et的條件期望值是mtw1t/w1t+w2t，通過在y1，…，yT數(shù)值給定的條件下θ0，θ1，…，θT的條件密度函數(shù)可以計(jì)算出這個積分值，密度函數(shù)為式(4)給出的狀態(tài)空間中SVJ模型代表的θ0，θ1，…，θT的平滑密度，這在Hamilton中已經(jīng)給出了證明。

在這個問題上，構(gòu)造了一個單邊的LM檢驗(yàn):k=0對k＞0。起初，LM單邊檢驗(yàn)被定義為

其中S11是關(guān)于參數(shù)k，α，β，σ，λ，p的Fisher信息陣的逆的第(1，1)的元素。估計(jì)Fisher信息陣S也就是得分函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差用的是BHHH方法，通過公式

得到。其中，條件對數(shù)似然函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)可以通過

求得。

例如，類似可以定義，sαt≡Sαt－ Sα，t－1，其中 Sαt是在樣本量為 t下的關(guān)于的 α 得分函數(shù)在 k=0 時的估計(jì)。應(yīng)該注意的是，sαt，sβt，sσ2t，sλt，spt與 ρ都是獨(dú)立的，因?yàn)樗鼈兪?SVJ 模型的條件對數(shù)似然函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。假設(shè)Sk0=0，從式(11)和(14)也可以得到，

BHHH方法適合本文的問題(BHHH方法在估計(jì)Fisher信息時僅要求求一階導(dǎo)數(shù))，因?yàn)樵赟VJ模型的估計(jì)中關(guān)于k的對數(shù)似然函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是不可求的，下面證明可以構(gòu)造一個獨(dú)立于ρ且僅僅在寫法上與LM式(12)檢驗(yàn)不同的新的檢驗(yàn)方法。這兒，不能計(jì)算出LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)樵诹慵僭O(shè)下，ρ是無法辨認(rèn)的，因此得分函數(shù)式(11)和skt也是不可辨認(rèn)的。現(xiàn)在構(gòu)造一個新的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，用

下面證明 LM=sign(ρ)LM*，其中，因?yàn)椋覐氖?14)得 skt=

首先，從式(13)、(15)可以得到

通常，假設(shè)ρ的符號為負(fù)，因?yàn)橐粋€負(fù)的跳躍往往引起在波動上一個正的跳躍，那么拒絕域位就會于LM*分布的負(fù)的區(qū)域。這個單邊檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量被認(rèn)為是漸進(jìn)服從N(0，1)分布。但是，極限分布仍然是未知的，因此，通常用蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)進(jìn)行檢查。

4 蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)和實(shí)證分析

計(jì)算實(shí)際樣本大小(n≥1 000)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量需要很長的時間，由于時間關(guān)系，本文僅進(jìn)行一次小型的蒙特卡羅計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)。樣本量的大小為300，在原假設(shè)下，迭代的次數(shù)為400，在備擇假設(shè)下次數(shù)為100。狀態(tài)變量 θ0的初始值定為0，在原假設(shè)和備擇假設(shè)下，設(shè)定參數(shù)(α，β，σ，p，λ)=(0.0，0.9，0.4，0.05，25.0)，統(tǒng)計(jì)量LM*的正態(tài)性可以通過J－B統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)。

表1 在SVCJ過程中，LM*統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)和備擇假設(shè)下的分布和檢驗(yàn)?zāi)芰?/p>

在原假設(shè)下，J－B統(tǒng)計(jì)量分布近似于χ2(2)。當(dāng)顯著性水平為0.05時，正態(tài)性假設(shè)被拒絕。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，LM*檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有很強(qiáng)的檢驗(yàn)?zāi)芰?，在備擇假設(shè)下，隨著ρ和k程度的增加，LM*檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布就會往負(fù)方向上偏移。

5 結(jié)束語

本文借助狄拉克·δ函數(shù)的思想，提出了在收益和波動中的跳躍項(xiàng)帶有同期性和相關(guān)性的隨機(jī)波動率過程的基礎(chǔ)上，檢驗(yàn)在波動方程中跳躍項(xiàng)存在性的拉格朗日乘子檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，但它是只針對帶有跳躍項(xiàng)的SV模型進(jìn)行檢驗(yàn)，對于其他的SV模型能否使用，是今后的研究目標(biāo)。

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