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    重力對(duì)具有表面層的半空間中Rayleigh波的影響

    2011-06-02 08:29:00夏唐代
    振動(dòng)與沖擊 2011年3期
    關(guān)鍵詞:表面層泊松比波速

    壽 旋,夏唐代

    (1.浙江大學(xué) 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州 310027)2.浙江大學(xué) 巖土工程研究所,杭州 310027)

    Rayleigh波是由非均勻的平面P波和平面SV波干涉疊加而成的一種面波,由Rayleigh在1887年首先發(fā)現(xiàn),Rayleigh波在地震學(xué),地球物理學(xué)和巖土工程等領(lǐng)域有著重要的價(jià)值,并且取得了廣泛的研究成果[1-4],特別是在勘察領(lǐng)域,由于表面波探測(cè)法具有效率高、無破損和費(fèi)用低等優(yōu)點(diǎn)且避免了室內(nèi)試驗(yàn)由于取樣導(dǎo)致的試樣應(yīng)力釋放和擾動(dòng)等缺點(diǎn),因而在工程物探和地球物探等方面得到了廣泛的應(yīng)用,但是在這些研究和應(yīng)用中一般忽略了重力的影響,然而在實(shí)際應(yīng)用表面波法進(jìn)行原位測(cè)試時(shí)重力的影響是不可避免的,因此研究重力對(duì)Rayleigh波的影響具有很大的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

    Bromwich[5]最先研究了重力對(duì)Rayleigh波的影響,在研究中Bromwich把重力作為一種體力,并假設(shè)介質(zhì)為不可壓縮。LOVE[6]研究了重力對(duì)表面波的影響,也把重力作為一種體力,并且通過簡化分析指出了當(dāng)波長足夠大時(shí)重力對(duì)Rayleigh波速存在較為明顯的影響。Biot[7]利用應(yīng)力增量理論研究了重力對(duì) Rayleigh波的影響,De 和 Sengupta[8,9],Datta[10]利用 Biot的基本方程和假設(shè)也進(jìn)行了相應(yīng)的研究。Dey和Sengupta[11]得到了橫觀各向同性介質(zhì)在重力影響下Rayleigh波的波速方程,這些研究中介質(zhì)都是單層且均勻的。關(guān)于重力對(duì)具有表面層的半空間中Rayleigh波的影響則至今未見研究報(bào)道,由于地殼一般為非均質(zhì)的,因此研究重力對(duì)分層介質(zhì)中Rayleigh波的影響具有重要意義,也更加符合實(shí)際情況。

    本文從Biot的基本方程出發(fā)得出了重力影響下具有表面層的半空間介質(zhì)中Rayleigh波的彌散方程,然后通過數(shù)值計(jì)算的方法分析了泊松比和層的厚度對(duì)考慮了重力作用的Rayleigh波的影響。

    1 基本方程

    考慮M、M'兩種均勻各向同性彈性固體介質(zhì),其中M'為半無限空間,而M為位于M'上方厚度為H的層狀介質(zhì),兩者在交界面處位移和應(yīng)力連續(xù)。具體模型如圖1所示。

    圖1 坐標(biāo)系及幾何尺寸示意圖Fig.1 Coordinate system and schematics

    本文只考慮沿x1方向傳播的Rayleigh波,為平面波,因此非零位移分量為 u1和 u2,且 u1,u3僅由x1,x3以及時(shí)間t決定。平面應(yīng)變問題的運(yùn)動(dòng)微分方程為[7]:

    式中g(shù)為重力加速度,ρ為介質(zhì)的密度。

    引入勢(shì)函數(shù)φ和ψ,它們與位移分量u1,u2之間的關(guān)系為:

    把式(2),式(3)代入式(1)得:

    式中:

    2 方程的求解

    2.1 表面層中的勢(shì)函數(shù)解

    由于φ,ψ為表面波的勢(shì)函數(shù),因此方程(4)的解可以表示為如下形式:

    把式(5)代入式(4)可得:

    上式系數(shù)間有如下關(guān)系:

    ±η1,±η2為如下方程的根:

    2.2 半空間中的勢(shì)函數(shù)解

    這里約定帶上標(biāo)“'”的量為M'中的量,由于M'介質(zhì)為半空間,因此φ',ψ'在x3→∞時(shí)必須趨向于無窮小,與表面層中的解類似φ',ψ'可分別寫成如下形式:

    式中:η'1,η'2為如下方程的正實(shí)數(shù)根:

    2.3 邊界條件及彌散方程

    (1)x3=-H處為自由表面,因此:

    s13=s33=0,x3= -H 時(shí)。

    (2)x3=0處兩側(cè)應(yīng)力與位移連續(xù),因此

    u1=u'1,u2=u'2,x3=0 時(shí)。

    s13=s'13,s33=s'33,x3=0 時(shí)。

    由邊界條件結(jié)合式(6)、式(9)可得:

    式中:

    要使式(11)中 A1,B1,C1,D1,B'1,D'1有非零解下式必須成立

    式(13)即為在重力影響下具有表面層的半空間中Rayleigh波的彌散方程,顯然Rayleigh波的波速除了受到介質(zhì)本身物理參數(shù)和幾何參數(shù)的影響外還受到了重力的影響。

    特別的,當(dāng)忽略重力的影響,即g→0,則可以得到:

    與此同時(shí),α1→0,α2→∞,α'1→0,α'2→∞

    因此:

    由式(14),式(15)可知式(13)將轉(zhuǎn)化為與Ewing等人得到的方程[1]完全等價(jià)的形式。

    3 數(shù)值計(jì)算

    由于式(13)所對(duì)應(yīng)的方程是一個(gè)超越方程,因此一般情況下不能得到Rayleigh波波速關(guān)于頻率的解析表達(dá)式,但是在給定了適當(dāng)?shù)奈锢韰?shù)以及幾何參數(shù)之后,利用數(shù)值方法可以得到Rayleigh波在重力影響下的彌散曲線,以及各參數(shù)的影響。本文數(shù)值計(jì)算時(shí)采用了MATLAB軟件。

    3.1 泊松比的影響

    設(shè)介質(zhì)M及M'的物理、幾何參數(shù)如下式所示:

    式中μ,μ'分別為介質(zhì)M及M'的泊松比。

    圖2 μ=μ'=0.2時(shí)的彌散曲線對(duì)比圖Fig.2 Comparison chart of dispersion curves for μ = μ '=0.2

    圖3 μ=μ'=0.33時(shí)的彌散曲線Fig.3 Comparison chart of dispersion curves for μ = μ '=0.33

    圖4 μ=μ'=0.46時(shí)的彌散曲線Fig.4 Comparison chart of dispersion curves for μ = μ '=0.46

    圖2為泊松比等于0.2時(shí),考慮重力影響與忽略重力影響情況下的Rayleigh波彌散曲線的對(duì)比圖,由圖中可知當(dāng)泊松比為0.2時(shí)重力使Rayleigh波的波速在同波長條件下比忽略重力時(shí)小,變化趨勢(shì)為在波長較小時(shí)這種影響也較小,隨著波長的增大重力的影響也逐漸增大。圖3為泊松比等于0.33時(shí)考慮重力影響與忽略重力影響情況下的Rayleigh波彌散曲線的對(duì)比圖,由圖中可以看出此時(shí)重力對(duì)Rayleigh波彌散曲線影響很小。圖4為泊松比等于0.46時(shí),考慮重力影響與忽略重力影響情況下的Rayleigh波彌散曲線的對(duì)比圖,由圖可知當(dāng)泊松比為0.46時(shí)在重力影響下同波長的Rayleigh波波速比忽略重力時(shí)大,與泊松比為0.2時(shí)類似,其影響也隨波長的增大而增大。由計(jì)算可得當(dāng)泊松比為0.2,波長為6000 m時(shí),考慮了重力影響的Rayleigh波波速比忽略重力影響時(shí)減小了2.4%,而當(dāng)泊松比為0.46,波長為6000 m時(shí),考慮了重力影響的Rayleigh波波速比忽略重力影響時(shí)增加了1.7%,因此在地球物探,地震工程等大尺度領(lǐng)域忽略重力對(duì)Rayleigh波波速的影響將產(chǎn)生較大誤差,而對(duì)于工程物探等方面由于一般探測(cè)深度較小重力的影響可以忽略。綜上所述泊松比對(duì)重力作用下Rayleigh波彌散曲線有重要影響,即泊松比不同時(shí)重力對(duì)Rayleigh波波速的影響結(jié)果也不同。

    3.2 表面層厚度的影響

    設(shè)介質(zhì)M及M'的物理、幾何參數(shù)如下式所示:

    圖5,圖6分別為表面層厚度H為50 m和100 m時(shí)的Rayleigh波彌散曲線的對(duì)比圖,結(jié)合圖2可知,H由10 m增大到50 m及100 m時(shí)在重力影響下的Rayleigh波彌散曲線發(fā)生了明顯變化,且在同波長的條件下重力對(duì)彌散曲線的影響也隨H的增大而變得更加明顯。圖7為無量綱化后H為10 m,50 m和100 m時(shí)的Rayleigh波彌散曲線的對(duì)比圖,由圖中可以看出忽略重力的情況下這三條彌散曲線完全重合,而在考慮重力的影響后彌散曲線并不重合,并且在波長層厚比相同的情況下,層厚較大者波速較小,即受重力影響較大,這主要是由于相同波長層厚比時(shí)層厚大的所對(duì)應(yīng)的波長也大??梢?,表面層的厚度對(duì)重力影響下的Rayleigh波彌散曲線有明顯影響,并且變化規(guī)律與不考慮重力時(shí)有明顯不同。

    圖5 H=50 m時(shí)的彌散曲線Fig.5 Comparison chart of dispersion curves for H=50 m

    圖6 H=100 m時(shí)的彌散曲線Fig.6 Comparison chart of dispersion curves forH=100 m

    圖7 H=10 m,50 m,100 m 時(shí)Fig.7 Comp的ari無son量 c綱ha化rt 彌of 散no曲ndi線mensionalized dispersion curves for H=10 m,50 m,100 m respectively

    4 結(jié)論

    本文研究了重力影響下具有表面層的半空間中的Rayleigh波的影響,得到了在此情況下的Rayleigh波彌散方程,并且通過數(shù)值方法得到了不同情況下的彌散曲線,通過分析得到了如下結(jié)論:

    (1)當(dāng)忽略重力影響時(shí)文中所得出的Rayleigh波彌散方程將與經(jīng)典情況下的方程一致;

    (2)泊松比對(duì)重力作用下Rayleigh波彌散曲線有重要影響,泊松比較小時(shí)重力使Rayleigh波的波速減小,泊松比較大時(shí)重力使Rayleigh波的波速增大;

    (3)重力對(duì)Rayleigh波波速的影響隨波長的增大而增大,地球物探,地震工程等大尺度領(lǐng)域忽略重力對(duì)Rayleigh波波速的影響將產(chǎn)生較大誤差,而對(duì)于工程物探等方面重力的影響可以忽略;

    (4)無量綱化后不同表面層厚度所對(duì)應(yīng)的彌散曲線互不重合,這與不考慮重力時(shí)有明顯不同。

    以上研究內(nèi)容初步揭示了重力對(duì)Rayleigh波彌散曲線的影響規(guī)律,對(duì)面波法的應(yīng)用具有重要的理論和參考價(jià)值。

    [1]Ewing M,Jardetzky W,Press F.Elastic Waves in LayeredMedia[M].McGraw-Hill,New York,1957.

    [2]夏唐代,張忠苗,吳世明.Rayleigh面波法原理的數(shù)值模擬[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版),1996,30(3):277 -284.

    [3]夏唐代,顏可珍.飽和土層中瑞利波的傳播特性[J].水力學(xué)報(bào),2004,11:81-84.

    [4]周新民,夏唐代.半空間準(zhǔn)飽和土中瑞利波的傳播特性研究[J].巖土工程學(xué)報(bào),2007,29(5):750-754.

    [5]Bromwhich T J I’A.On the influence of gravity on elastic waves,and,in particular,on the vibrations of an elastic globe[J].Proc.Lond.Math.Soc,1898,30:98 -120.

    [6]Love A E.Some Problems of Geodynamics[M].Dover,New York,1957.

    [7]Biot M A.Mechanics of Incremental Deformation[M].Wiley,New York,1965.

    [8]De S N,Sengupta P R.Influence of gravity on wave propagation in an elastic layer[J].J.Acoust.Soc.Am,1974,55:5 -13.

    [9]De S N.Surface waves in the influence of gravity[J].Gerlands Beitr,Geophysik,1976,85:4 - 15.

    [10]Datta B K.Some observation on interaction of Rayleigh waves in an elastic solid medium with the gravity field[J].Rev.Roumaine Sci.Tech.Ser.Mec.Appl,1986,31:369 -374.

    [11]Dey S K,Sengupta P R.Effect of anisotropy on surface wave under the influence of gravity[J].Acta Geophys.Polonica XXIV,1978,4 -16.

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