隨機(jī)參數(shù)時(shí)變齒輪副的動(dòng)力響應(yīng)分析

魏永祥，陳建軍，拓耀飛

(1. 西安電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安，710071；2. 榆林學(xué)院 物理與電氣工程系，陜西 榆林，719000)

齒輪系統(tǒng)應(yīng)用于多種機(jī)械動(dòng)力裝備中傳遞運(yùn)動(dòng)或動(dòng)力。在各種機(jī)械特別是精密機(jī)械中，都要求降低齒輪傳動(dòng)引起的振動(dòng)和噪聲。由于材料屬性、加工精度和負(fù)載狀況等因素，齒輪系統(tǒng)在工作過程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)振動(dòng)加劇或突變，導(dǎo)致磨損、疲勞破壞和大噪聲，從而使機(jī)器工作的可靠性和性能降低，甚至使系統(tǒng)遭到破壞。因此，有必要研究齒輪嚙合的動(dòng)態(tài)位移及其各參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)位移的影響等問題。當(dāng)考慮齒輪時(shí)變嚙合剛度時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型將是一個(gè)具有周期性時(shí)變系數(shù)的非線性系統(tǒng)[1]。對(duì)于時(shí)變剛度的齒輪系統(tǒng)，很多學(xué)者在確定性齒輪系統(tǒng)的響應(yīng)及穩(wěn)定域方面做了大量的工作。張永忠等[2-4]研究了齒輪在嚙合過程中有關(guān)齒輪剛度、齒根應(yīng)力的計(jì)算方法和具有時(shí)變嚙合剛度的齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題。唐增寶等[6-8]分別用不同的方法求解了齒輪系統(tǒng)的時(shí)變非線性微分方程，獲得了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，分析了不同因素對(duì)齒輪振動(dòng)響應(yīng)的影響。然而，這些文獻(xiàn)都是以確定性的齒輪系統(tǒng)為研究內(nèi)容。近年來，人們開始關(guān)注齒輪的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)問題，如：Wang等[9-11]考慮了隨機(jī)(模糊)誤差激勵(lì)或在隨機(jī)外激勵(lì)下，時(shí)變剛度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，然而，并未考慮齒輪系統(tǒng)中物理和幾何參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)其動(dòng)力響應(yīng)的影響。在實(shí)際中，由于材料屬性的隨機(jī)性和在加工、安裝過程中的多種隨機(jī)因素的影響，都會(huì)造成齒輪系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的隨機(jī)性。Chen等[12-14]應(yīng)用隨機(jī)因子法處理了具有隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)問題。在此，本文作者以隨機(jī)參數(shù)時(shí)變剛度齒輪副為分析模型，在考慮彈性模量、質(zhì)量密度、齒寬和模數(shù)等系統(tǒng)參數(shù)同時(shí)具有隨機(jī)性且作用荷載幅值也具有隨機(jī)性的情況下，利用Duhamel積分[15]，分析隨機(jī)參數(shù)時(shí)變剛度齒輪副在隨機(jī)力激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)的數(shù)字特征。

1 確定性齒輪動(dòng)力分析模型

對(duì)直齒圓柱齒輪副，當(dāng)支撐軸承和傳動(dòng)軸的剛度比輪齒嚙合剛度大許多時(shí)(即可認(rèn)為是剛性的)，單級(jí)齒輪副傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)簡化模型如圖1所示。其中：PQ為齒輪理論嚙合線；Ri，Ii，θi和Ti(i=1, 2)分別為嚙合齒輪的基圓半徑、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、扭轉(zhuǎn)角和所承受的轉(zhuǎn)矩。該模型的動(dòng)力學(xué)方程為[5]：

式中：iθ，(i=1, 2)分別為主動(dòng)齒輪和被動(dòng)齒輪的扭轉(zhuǎn)角、角速度和角加速度；Ii(i=1, 2)為主、被動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ri(i=1, 2)為主動(dòng)齒輪和被動(dòng)齒輪的基圓半徑；ki和ci(i=1, 2)分別為主動(dòng)齒輪和被動(dòng)輪齒的撓曲剛度和阻尼；ei(i=1, 2)為主動(dòng)齒輪和被動(dòng)輪齒的綜合誤差；Ti(i=1, 2)為作用在主動(dòng)齒輪和被動(dòng)齒輪上的力矩；km(t)和cm分別為齒輪副的嚙合剛度和嚙合阻尼。其中單齒嚙合時(shí)的剛度 k(t)采用魏氏撓度公式和兩圓柱接觸變形的赫茲公式[2]進(jìn)行計(jì)算，即：

式中：kc為輪齒在嚙合點(diǎn)的接觸剛度。

圖1 單級(jí)齒輪副物理模型Fig.1 Physical model of one-stage gear

由于k1，k2和kc在不同嚙合點(diǎn)處的取值不同，且單齒或多齒交替嚙入嚙出會(huì)導(dǎo)致剛度突變，因此，嚙合剛度km(t)為時(shí)變剛度。將單齒嚙入到嚙出作為1個(gè)研究周期，并把這1個(gè)周期n等分后逐步計(jì)算不同嚙合點(diǎn)的剛度，最后根據(jù)重合度判斷不同嚙合點(diǎn)處是單齒或是多齒嚙合來計(jì)算總的時(shí)變嚙合剛度。

對(duì)嚙合阻尼cm由下式計(jì)算[5]：

其中：ξc為輪齒嚙合的振型阻尼比。

記嚙合線上兩齒輪的相對(duì)位移為x，即有：

其中：me為等效質(zhì)量；P為等效載荷。

由于齒輪嚙合時(shí)齒間間隙很小，故將齒輪副等效為2個(gè)等厚薄圓柱，且其質(zhì)量密度相同，它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：

其中基圓半徑由下式得：

式中：z1和z2分別為主動(dòng)齒輪和被動(dòng)齒輪的齒數(shù)；α為壓力角。

2 隨機(jī)參數(shù)時(shí)變剛度齒輪副在隨機(jī)力激勵(lì)下的響應(yīng)分析

利用 Duhamel積分可求得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(8)的形式解為：

其中：τ為時(shí)間積分變量；h(t)為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，即有

現(xiàn)考慮系統(tǒng)參數(shù)具有隨機(jī)性的情況。設(shè)齒輪副的材料相同，其物理參數(shù)(彈性模量E和質(zhì)量密度ρ)和幾何參數(shù)(齒寬b，模數(shù)mo= s /π，s為相鄰兩輪齒同側(cè)齒廓間的齒距)同時(shí)為隨機(jī)變量。模數(shù)雖已標(biāo)準(zhǔn)化，但由于制造、裝配等因素都會(huì)導(dǎo)致齒距s仍有隨機(jī)性，從而使模數(shù)也有隨機(jī)性。則由以上推導(dǎo)公式可知，齒輪嚙合系統(tǒng)的等效嚙合剛度 km(t)和等效質(zhì)量 me亦為隨機(jī)變量。顯然，這將導(dǎo)致系統(tǒng)固有頻率ωn的隨機(jī)性，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)的隨機(jī)性。下面導(dǎo)出系統(tǒng)位移響應(yīng)的數(shù)字特征計(jì)算表達(dá)式。

利用求解隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)字特征的矩法，從式(12)出發(fā)，可求得系統(tǒng)位移響應(yīng)的均值和方差分別為：

式中：μ和σ分別為隨機(jī)變量的均值和均方差。

以下導(dǎo)出求式(14)和(15)中所需的計(jì)算表達(dá)式。

首先將式(10)和(11)代入式(9)，經(jīng)整理并利用隨機(jī)因子法[12]得：

利用求解隨機(jī)變量函數(shù)的代數(shù)綜合法，由式(16)可推得隨機(jī)變量me的均值μme和方差分別為：

由動(dòng)力學(xué)中的瑞利商公式，系統(tǒng)的固有頻率nω可寫成隨機(jī)因子的形式如下：

同樣，由式(19)可推得系統(tǒng)固有頻率ωn的均值μωn和均方差σωn分別為：

其中：ρ,EC為E和ρ的相關(guān)系數(shù)。

將以上導(dǎo)出的計(jì)算式(16)～(21)代入式(14)和(15)，即可獲得隨機(jī)時(shí)變齒輪副動(dòng)力響應(yīng)的數(shù)字特征。

3 算例

依據(jù)上述導(dǎo)出的計(jì)算公式和Duhamel數(shù)值積分方法，編制了計(jì)算隨機(jī)參數(shù)時(shí)變剛度齒輪副的動(dòng)力響應(yīng)分析程序。取標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪副，材料為鋼。齒數(shù)z1=45，z2=100，壓力角α=20°，齒輪的額定轉(zhuǎn)速為 2 000 r/min，阻尼系數(shù) ξ=0.003，泊松比 μ=0.2，變位系數(shù) χ=0?？紤]材料的彈性模量E、密度ρ、齒寬度b、模數(shù)mo和荷載P均為隨機(jī)變量，它們的均值分別為：μE=2.08×1011Pa，μρ=7.86 t/m3，μb=16 mm，μmo=4 mm，μP=795.78 N。為比較各隨機(jī)參數(shù)取值的分散性對(duì)系統(tǒng)的影響，它們的變異系數(shù)均取為0.1。

圖2所示為單齒嚙合4倍個(gè)嚙合周期T(單齒從嚙入到嚙出的時(shí)間)內(nèi)嚙合剛度的變化曲線。經(jīng)計(jì)算得齒輪嚙合的重合度為1.794 2，即在1個(gè)嚙合周期T內(nèi)，0.794 2T的時(shí)間處于雙齒嚙合區(qū)，0.205 8T的時(shí)間為單齒嚙合區(qū)。在不同嚙合點(diǎn)處剛度不同，且單齒與雙齒交替嚙入和嚙出時(shí)導(dǎo)致剛度突變。

圖2 齒輪時(shí)變剛度Fig.2 Time-varying stiffness of gear

圖3 所示為根據(jù)計(jì)算結(jié)果按“3σ”準(zhǔn)則繪出的隨機(jī)時(shí)變齒輪副的動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)(此處的位移是指兩齒輪輪齒嚙合處的相對(duì)變形量)的均值μ和上下界μ±3σ的波動(dòng)曲線。圖中的橫坐標(biāo)是以輪齒嚙合周期(單齒從嚙入到嚙出的時(shí)間)T的倍數(shù)。從圖 3可看出：在0.794 2T單雙齒交替嚙合時(shí)由于剛度突變引起的位移沖擊響應(yīng)；位移的均方差也隨時(shí)間變化，且在單齒嚙入時(shí)動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)的分散性變大。剛度突變對(duì)動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)的均方差與對(duì)均值的影響趨勢相一致。

圖3 隨機(jī)動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)Fig.3 Stochastic dynamic displacement response

圖4 所示為考慮隨機(jī)時(shí)變齒輪副系統(tǒng)參數(shù)全部為隨機(jī)變量時(shí)的動(dòng)態(tài)位移均值與參數(shù)為確定性時(shí)動(dòng)態(tài)位移的對(duì)比。從圖4可以看出系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)動(dòng)態(tài)位移的均值也有影響。

圖4 隨機(jī)和確定模型的動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)Fig.4 Random and determine model of dynamic displacement response

為考察各個(gè)隨機(jī)參數(shù)的分散性對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，表1列出了不同隨機(jī)參數(shù)組合時(shí)系統(tǒng)的最大位移響應(yīng)的均值和均方差。結(jié)果表明：當(dāng)參數(shù)全為隨機(jī)變量時(shí)位移響應(yīng)均值的分散性最大，與確定模型相差也最大。其中：彈性模量E和密度ρ的隨機(jī)性對(duì)位移響應(yīng)的均值影響相反，但對(duì)方差的影響卻基本相一致；齒寬b的隨機(jī)性對(duì)位移響應(yīng)的影響很?。缓奢dP的隨機(jī)性對(duì)位移響應(yīng)的均值基本沒有影響，卻對(duì)方差的影響起主導(dǎo)作用；模數(shù)mo的隨機(jī)性對(duì)位移響應(yīng)方差的影響也很大，其影響僅次于荷載P的影響；模數(shù)mo的隨機(jī)性主要反映了齒輪的分度圓半徑的隨機(jī)性對(duì)位移響應(yīng)的影響。

表1 不同隨機(jī)組合時(shí)系統(tǒng)的最大位移位移響應(yīng)的均值和均方差Table1 Mean and variance of effect of different random combinations of maximum displacement response of system

4 結(jié)論

(1) 當(dāng)考慮齒輪副的物理和幾何參數(shù)具有隨機(jī)性時(shí)將導(dǎo)致系統(tǒng)的剛度、質(zhì)量和固有頻率也有隨機(jī)性，使動(dòng)力方程成為隨機(jī)微分方程，常規(guī)的動(dòng)力分析方法將無法求解，只能用概率的分析方法。當(dāng)隨機(jī)性模型中各隨機(jī)變量的變異系數(shù)均為0就變?yōu)榇_定性模型，后者僅是前者的特例。

(2) 齒輪副參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)系統(tǒng)位移響應(yīng)的均值有一定的影響，荷載的隨機(jī)性對(duì)系統(tǒng)位移響應(yīng)的均值沒有影響，卻對(duì)系統(tǒng)位移響應(yīng)的均方差的影響很大。齒輪的幾何參數(shù)(特別是模數(shù)mo)的隨機(jī)性對(duì)系統(tǒng)位移響應(yīng)的影響不可忽略；因此，齒輪副的加工精度對(duì)齒輪副的動(dòng)力響應(yīng)的隨機(jī)性具有重要作用。由于單齒雙齒甚至多齒交替嚙入嚙出時(shí)將導(dǎo)致嚙合剛度突變，在剛度突變時(shí)，系統(tǒng)的位移響應(yīng)有沖擊現(xiàn)象發(fā)生，系統(tǒng)響應(yīng)的均方差也會(huì)出現(xiàn)突變。

(3) 本文計(jì)算所得的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的數(shù)字特征可為開展隨機(jī)參數(shù)齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力可靠性分析、預(yù)測和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了必要的數(shù)據(jù)信息。

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