互耦效應(yīng)對(duì)四元方陣天線陣列信道容量的影響

李岳衡 趙 靜

(1. 河海大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院,江蘇 南京 210098; 2. 東南大學(xué)移動(dòng)通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇 南京 210096)

1. 引 言

多輸入多輸出(MIMO)技術(shù)具有極高的頻譜利用率，能在不增加帶寬的情況下成倍地提高通信系統(tǒng)的容量，且信道可靠性亦大為增強(qiáng)，是新一代無(wú)線通信系統(tǒng)采用的核心技術(shù)之一。Foschini等人通過(guò)系統(tǒng)的論述和仿真，推導(dǎo)出了MIMO系統(tǒng)的信道容量公式[1-2]，指出在陣列互不相關(guān)的情況下，信道容量隨收發(fā)端天線陣元最小個(gè)數(shù)增加而線性增大?；谀壳皬V泛研究的線性排列的天線陣列結(jié)構(gòu)在來(lái)波平均到達(dá)角較大時(shí)信道容量會(huì)急劇下降的事實(shí)[3]，文獻(xiàn)[4][5]則論證了在不同的散射環(huán)境下一種結(jié)構(gòu)呈均勻分布的圓陣具有更好的分集性能，但是隨著移動(dòng)終端的日益小型化，天線陣列間間距隨之減小，此時(shí)天線陣列間本身的互耦效應(yīng)已不可忽略，并進(jìn)而對(duì)陣列的接收性能等產(chǎn)生一定的影響[6-9]。受以上研究成果的啟發(fā)，提出并分析一種具空間對(duì)稱結(jié)構(gòu)的四元方陣在不同平均入射角環(huán)境下、尤其考慮陣元間存在互耦效應(yīng)時(shí)的MIMO信道容量，且與傳統(tǒng)四元線性陣作容量性能方面的比較。之所以考慮四元方陣，一方面是為了利用空間對(duì)稱陣列的特性以消除來(lái)波角過(guò)大導(dǎo)致的信道容量波動(dòng)(在下面的研究中將會(huì)看到此方面的明顯優(yōu)勢(shì))，另一方面也是充分利用Foschini等人的研究成果以在獲得較大信道容量的同時(shí)降低系統(tǒng)復(fù)雜度，從而開拓MIMO系統(tǒng)信道容量?jī)?yōu)化領(lǐng)域最優(yōu)陣列分布的相關(guān)研究。

2. 互耦效應(yīng)的數(shù)學(xué)描述

如圖1所示，兩個(gè)相互平行的半波偶極子間距為d，兩陣元A1、A2長(zhǎng)度為2l；定義饋電點(diǎn)間的連接線為X軸，陣元A2的徑向?yàn)閅軸，點(diǎn)P與坐標(biāo)零點(diǎn)相距為y。

陣元A1在A2上P點(diǎn)存在兩個(gè)相互垂直的電場(chǎng)分量E1和E2，且可以表示為[10]

(1)

圖1 平行偶極子陣元構(gòu)造圖及電場(chǎng)分布

如圖1所示，在點(diǎn)P處沿Y軸方向的電場(chǎng)分布 E=E2

(2)

偶極子A2上的電流分布為

I2=Imsin[k(l-|y|)]

(3)

由互耦阻抗的定義[10]可得

z12=z21

(4)

sin[k(l-|y|)]dy

sin[k(l-|y|)]dy

(5)

文獻(xiàn)[11]對(duì)式(5)進(jìn)一步簡(jiǎn)化得平行偶極子互耦阻抗

z12=R+jX

(6)

偶極子的自阻抗為

z11=z22

=30×[0.577+ln(8πl(wèi)/λ)-ci(8πl(wèi)/λ)+

j·si(8πl(wèi)/λ)]

(7)

四元陣列天線的互耦效應(yīng)可以等效為如圖2所示的耦合網(wǎng)絡(luò)。由式(7)可知z11=z22=z33=z44；這里再假設(shè)zL1=zL2=zL3=zL4，由文獻(xiàn)[12]得耦合網(wǎng)絡(luò)傳輸系數(shù)矩陣

Cr=(zL1+z11)(ZL+Z)-1

(8)

式中：

圖2 陣列天線等效耦合網(wǎng)絡(luò)

3. 空域相關(guān)性與MIMO信道容量

如圖3右側(cè)所示的俯視圖，陣元A1、A2、A3和A4構(gòu)成一正方形陣，各陣元與坐標(biāo)零點(diǎn)的連接線長(zhǎng)度都為R，且各連接線與z軸夾角分別為φ1、φ2、φ3和φ4(圖中僅標(biāo)出了φ2)。正方形陣邊長(zhǎng)為d，平面入射波的平均到達(dá)角為θ0，且來(lái)波角譜的概率密度為p(θ)。為方便后文比較，圖3左側(cè)亦同時(shí)繪出四元線性陣的陣元分布模型及入射波示意圖。

圖3 陣元分布模型及多徑入射波示意圖

3.1 不計(jì)互耦接收信號(hào)分析

根據(jù)圖3中正方形陣列分布，以坐標(biāo)零點(diǎn)為相位考察點(diǎn)可得不計(jì)互耦條件下四元均勻方陣的接收信號(hào)向量為

fnc(θ) =(fnc1(θ)…fnc4(θ))T

(9)

式中，h1(θ)，…，h4(θ)為陣元A1、A2、A3和A4不計(jì)互耦時(shí)在俯仰面內(nèi)的方向圖，這里假設(shè)天線單元是全向的，即h1(θ)=h2(θ)=h3(θ)=h4(θ)=1。ξ是方位角，由于只考慮俯仰面內(nèi)的平面波，所以ξ=90°,因此，陣元An的接收信號(hào)分量可表示為

(10)

定義任意兩陣元m、n接收信號(hào)之間的相關(guān)系數(shù)為[13]

(11)

由式(10)可得不計(jì)及互耦效應(yīng)時(shí)，陣元An的平均接收功率為

(12)

將式(10)和(12)代入式(11)可得不計(jì)互耦時(shí)，任意兩陣元m與n接收信號(hào)間的相關(guān)系數(shù)為

(13)

(14)

3.2 計(jì)及互耦接收信號(hào)分析

由式(8)和式(9)可得計(jì)及互耦后四元方陣接收信號(hào)向量為

fc(θ)=Cr·fnc(θ)

(15)

由公式(6)可知，天線陣元之間的互阻抗只與其間距d有關(guān)，考慮到正方形天線陣的空間對(duì)稱性，可定義耦合系數(shù)矩陣為

(16)

故由式(15)得陣元A1在計(jì)及互耦后接收信號(hào)標(biāo)量為

(17)

(18)

由式(17)得計(jì)及互耦后陣元A1的平均接收功率為

=|a|2+2|b|2+|c|2+2Re[ab*ρnc(1,2)+

ac*ρnc(1,3)+ab*ρnc(1,4)+bc*ρnc(2,3)+

|b|2ρnc(2,4)+cb*ρnc(3,4)]

(19)

同理可得：

|b|2ρnc(1,3)+bc*ρnc(1,4)+ab*ρnc(2,3)+

ac*ρnc(2,4)+bc*ρnc(3,4)]

(20)

ca*ρnc(1,3)+cb*ρnc(1,4)+ba*ρnc(2,3)+

|b|2ρnc(2,4)+ab*ρnc(3,4)]

(21)

|b|2ρnc(1,3)+ba*ρnc(1,4)+cb*ρnc(2,3)+

ca*ρnc(2,4)+ba*ρnc(3,4)]

(22)

此時(shí)接收信號(hào)的相關(guān)系數(shù)為

(23)

3.3 信道容量分析

根據(jù)文獻(xiàn)[14]中提及的克羅內(nèi)克(Kronecker)模型可得MIMO系統(tǒng)信道傳輸系數(shù)矩陣為

(24)

式中，ρT和ρR分別為發(fā)射和接收端陣列相關(guān)系數(shù)矩陣。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，只考慮接收端陣列相關(guān)的情形，故假設(shè)發(fā)射陣列是互不相關(guān)的，即ρT是一單位矩陣，HW是高斯隨機(jī)矩陣，其元素服從N(0,1)的獨(dú)立同高斯分布。因此，由式(24)可得當(dāng)不計(jì)和計(jì)及互耦效應(yīng)時(shí)，MIMO系統(tǒng)信道傳輸系數(shù)矩陣為

(25)

最終，MIMO系統(tǒng)信道容量計(jì)算公式如下[1]

(26)

式中：I表示單位矩陣；γ表示各接收陣元的平均信噪比；Nt表示發(fā)射陣列數(shù)。由公式(26)可見(jiàn)，計(jì)及互耦效應(yīng)下的MIMO信道容量C不僅與廣義信道矩陣H有關(guān)，陣元上的平均接收功率對(duì)其亦有很大影響，因此，應(yīng)綜合考慮這兩個(gè)因素。

4. 數(shù)值計(jì)算

根據(jù)式(19)至式(22)可以計(jì)算出計(jì)及互耦效應(yīng)時(shí)任意兩陣元間在不同來(lái)波角譜下的平均接收功率差異，圖4給出了來(lái)波角譜為均勻分布[13]

(27)

時(shí)陣元A1、A2間平均接收功率差異。由圖4可知，當(dāng)平均到達(dá)角θ0=30°和60°時(shí)，平均接收功率差異隨間距d的增加將圍繞平衡點(diǎn)上下波動(dòng)，且波動(dòng)幅度越來(lái)越小。這是由于隨著d的增大，互耦所造成的方向圖的畸變?cè)絹?lái)越小，平均接收功率越趨向于平衡的緣故；當(dāng)θ0=90°時(shí)，由式(13)、(14)得

2ρnc(3,4){Re[cb*]-Re[bc*]}

=0

(28)

此時(shí)平均接收功率差異為零，因此，陣元A1、A2的平均接收功率平衡。

進(jìn)一步比較四元方陣與四元線性陣的信道容量性能。如圖3所示，B1、B2、B3和B4構(gòu)成一四元線性陣，陣元間距也為d，來(lái)波分布與四元方陣一樣，對(duì)于四元線性陣的性能分析本文不再贅述，其細(xì)節(jié)可參閱文獻(xiàn)[3]。圖5給出了這兩種陣列結(jié)構(gòu)在來(lái)波角譜為均勻分布下的信道容量比較。由仿真結(jié)果可知，當(dāng)平均到達(dá)角較小(如θ0=30°)時(shí)，四元線性陣明顯優(yōu)于四元方陣；不過(guò)隨著平均到達(dá)角的增大，線性陣信道容量下降很快。而四元方陣由于其特有的空域?qū)ΨQ性，信道容量波動(dòng)并不明顯，具有很好的穩(wěn)定性(參見(jiàn)圖5)。當(dāng)平均到達(dá)角θ0增大到60°時(shí)，兩種陣列結(jié)構(gòu)信道容量基本相當(dāng)，再增大平均到達(dá)角θ0時(shí)，四元方陣將明顯優(yōu)于四元線性陣。

圖4 陣元A1和A2平均接收功率差異

圖5 兩種陣列在來(lái)波均勻分布下的容量比較

5. 結(jié) 論

首先依據(jù)天線電磁學(xué)的基本理論及耦合網(wǎng)絡(luò)等效模型，結(jié)合四元方陣空域?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)，引入天線等效方向圖的概念，分析了互耦效應(yīng)對(duì)陣元方向圖的影響，由此論證四元方陣陣元間的互補(bǔ)性，同時(shí)亦推導(dǎo)出互耦影響下陣列空域相關(guān)系數(shù)和平均接收功率的數(shù)學(xué)表達(dá)式，據(jù)此系統(tǒng)地分析了互耦效應(yīng)對(duì)四元方陣MIMO系統(tǒng)信道容量的影響，并與目前普遍研究的線性陣列作信道容量方面的優(yōu)劣比較。理論分析及仿真結(jié)果皆顯示：存在互耦效應(yīng)影響下，四元方陣較四元線性陣列結(jié)構(gòu)具有更加穩(wěn)定的系統(tǒng)信道容量?？紤]到移動(dòng)用戶的實(shí)際多角度散射環(huán)境，采用具空域?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)的四元方陣天線陣列，顯然在實(shí)際通信環(huán)境下更具信道容量方面的魯棒性。

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