三維新型非分裂場完全匹配層吸收邊界條件

楊利霞 梁 慶 于萍萍 王 剛

(1.江蘇大學(xué) 通信工程系，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.東南大學(xué) 毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210096)

1. 引 言

近年來，隨著計(jì)算機(jī)性能的不斷提高和數(shù)值理論的不斷發(fā)展，計(jì)算電磁學(xué)取得了很大的發(fā)展，目前已經(jīng)形成了多種電磁學(xué)計(jì)算方法，例如矩量法(MoM)[1]、有限元法(FEM)[2]、時(shí)域有限差分法(FDTD)[3-4]等等。并且，隨著電磁波應(yīng)用的廣泛和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，各種方法的研究也更加深入。在FDTD計(jì)算中，為了在數(shù)值上模擬一個(gè)開放式系統(tǒng)，必須用吸收邊界條件來截?cái)嘤?jì)算區(qū)域。經(jīng)過多年的研究與發(fā)展，吸收邊界的方法也在不斷改進(jìn)，從1969年的Taylor首次提出用吸收邊界來吸收外向行波，當(dāng)時(shí)采用的吸收邊界為簡單插值方法，到1981年Mur提出了在計(jì)算區(qū)域截?cái)噙吔缣幍囊浑A和二階吸收邊界條件，我們把這種方法稱為Mur邊界[5]，這是一種比較有效的吸收邊界，1994年由Berenger提出將麥克斯韋方程擴(kuò)展為場分裂形式的完全匹配層(PML)[6-7]，并由Sacks和Gedney等人又提出了各向異性介質(zhì)的PML，即UPML[8-10]。隨著研究的深入更多的方法被學(xué)者們提出，如卷積完全匹配層吸收邊界(CPML)[11],駐行波吸收邊界條件

(STWBC)[12]等。

2003年由Cummer提出了近似完全匹配層(Nearly Perfectly Matched Layer，NPML)[13]吸收邊界，后來在2004年經(jīng)Hu和Cummer證實(shí)NPML是一種完全匹配層吸收邊界[14]，但是他們只給出了簡單的二維算例分析，本文在此基礎(chǔ)上仿真分析了三維情況下的NPML吸收邊界。這種方法在PML吸收邊界的基礎(chǔ)上通過拉伸坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)變換來實(shí)現(xiàn)[15]，在截?cái)喑Ｒ?guī)線性電磁介質(zhì)材料時(shí)與PML具有相同的偏微分方程，該方法避免了PML的場分裂形式，編程復(fù)雜度有了較大程度的降低，因而在計(jì)算處理過程中具有非常明顯的優(yōu)勢，尤其是編程較為簡單，因而更容易實(shí)現(xiàn)。

2. 理論分析及公式推導(dǎo)

2.1 Maxwell支配方程

麥克斯韋旋度方程為

(1)

(2)

在直角坐標(biāo)系中麥克斯韋旋度方程寫為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

2.2 NPML吸收邊界FDTD離散式的推導(dǎo)

在直角坐標(biāo)系FDTD計(jì)算中，NPML吸收邊界可以分為棱邊區(qū)、面區(qū)和角頂區(qū)三種情況。首先以x,y方向交叉的棱邊為例分析。根據(jù)文獻(xiàn)[13]依據(jù)如下坐標(biāo)變換規(guī)則

(9)

分別用?x′和?y′代替?x和?y，依據(jù)式(9)的處理方式，在時(shí)域，棱邊區(qū)的電磁場的Maxwell支配方程可以寫為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

以式(10)為例，令Sx=1+σx/ jωε0，Sy=1+σy/ jωε0，則有

故該式可化為

(16)

通過文獻(xiàn)[14]，可知

因此，上式又可以寫為

(17)

(18)

式(10)可化為

(19)

同理式(11)～(15)可化為

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

下面以式(19)為例進(jìn)行中心差分離散，有

(25)

同理，對式(20)～(24)離散可得到

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

式中：

m代表觀察點(diǎn)(x,y,z)處的一組整數(shù)或半整數(shù)。而引入變量的離散方式也可以按照中心差分方式進(jìn)行離散如下

(31)

(32)

綜上，可以得到三維情況下NPML吸收邊界的FDTD迭代計(jì)算的推進(jìn)過程如下

NPML其他區(qū)域的FDTD公式可參照以上形式進(jìn)行推導(dǎo)，角頂區(qū)的坐標(biāo)變換規(guī)則是將?x，?y，?z同時(shí)進(jìn)行變換?x′，?y′，?z′，棱邊區(qū)則變換其中兩個(gè)方向，而面區(qū)則只變換一個(gè)方向，根據(jù)此種變換方式可以將NPML吸收邊界的遞推公式分別推導(dǎo)出，這里就不再贅述。

2.3 編程思想

通過以上分析，可以看出，在編程實(shí)現(xiàn)NPML吸收邊界的時(shí)候，可以用其角頂區(qū)的遞推公式作為一般公式，通過對σM(M=x,y,z)的討論來區(qū)分不同的區(qū)域，從而避免了對吸收邊界內(nèi)不同方向、不同棱邊以及角點(diǎn)不同公式的區(qū)分，降低了程序上的復(fù)雜度，方便編程實(shí)現(xiàn)，如圖1所示三維NPML吸收邊界參數(shù)分布。而對于整體的FDTD計(jì)算區(qū)域來講，同樣可根據(jù)NPML的特點(diǎn)，在模擬計(jì)算區(qū)域和吸收邊界內(nèi)利用NPML角點(diǎn)處的方程而統(tǒng)一進(jìn)行編程，在模擬計(jì)算區(qū)，即σM(M=x,y,z)為0時(shí)，設(shè)置F=F′(F′代表E′和H′,F代表E和H)，這樣即使吸收邊界內(nèi)的方程與模擬計(jì)算區(qū)域內(nèi)的迭代式不同，也可以將兩者的計(jì)算用統(tǒng)一的公式實(shí)現(xiàn)編程。從而回避了NPML區(qū)與模擬區(qū)域邊界數(shù)據(jù)處理問題，可以簡化編程，不易出錯(cuò)。

圖1 三維NPML吸收邊界參數(shù)分布

3. 算例驗(yàn)證及分析

3.1 與傳統(tǒng)吸收邊界的對比

考慮三維空間中的電偶極子輻射。設(shè)垂直電偶極子位于計(jì)算區(qū)域中心Ez(0, 0, 1/2)處，F(xiàn)DTD計(jì)算區(qū)域?yàn)?4×24×24個(gè)元胞，四周被吸收層包圍。元胞尺寸為5 cm×5 cm×5 cm，即δ=5 cm。按照δ=2cΔt，時(shí)間間隔為Δt=83.333 ps?？疾炀嚯x輻射源10δ處觀察點(diǎn)Q點(diǎn)的電場Ez(10, 10, 1/2)。吸收層內(nèi)側(cè)距離觀察點(diǎn)Q兩個(gè)元胞。計(jì)算中輻射源采用高斯脈沖

(33)

計(jì)算結(jié)果如圖2所示。圖中給出了NPML、UPML、 傳統(tǒng)PML結(jié)果與瞬態(tài)偶極子的解析解進(jìn)行對比，由圖可見曲線符合很好，驗(yàn)證了NPML算法具有良好的吸收效果。

圖2 Q點(diǎn)處電偶極子的輻射場

3.2 計(jì)算金屬球的RCS

金屬球半徑為1 m，δ=0.05 m, Δt=δ/2c，目標(biāo)區(qū)域?yàn)?0×40×40δ3，入射波采用高斯脈沖波。圖3為球的后向遠(yuǎn)區(qū)散射電場隨時(shí)間的變化， 金屬球的單站RCS隨頻率的變化，如圖4所示。作為比較，圖中還給出了Mie級數(shù)解，以及UPML方法得帶的RCS圖。在0～350 MHz范圍內(nèi)三者符合得很好。

3.3 計(jì)算金屬平板的RCS

計(jì)算模型為方形平板,邊長為29 cm,厚度為1 cm。FDTD網(wǎng)格δ=1 cm,Δt=δ/2c,入射波為高斯脈沖,入射波沿z方向，電場E分量沿+x方向。圖5給出其后向遠(yuǎn)區(qū)散射電場隨時(shí)間的變化，圖6為將計(jì)算結(jié)果經(jīng)傅立葉變換后得到的單站RCS隨頻率的變化。為了對照，圖中還給出了矩量法的結(jié)果,以及UPML方法的結(jié)果，可見三者符合得很好。

圖3 時(shí)域響應(yīng)

圖4 頻域響應(yīng)

圖5 時(shí)域響應(yīng)

圖6 頻域響應(yīng)

4. 結(jié)果分析

通過以上兩個(gè)三維算例，可以看出NPML吸收邊界能夠很好地達(dá)到吸收要求，程序編制實(shí)現(xiàn)比較簡單。通過采用NPML吸收邊界，UPML吸收邊界及相關(guān)解析數(shù)值解比較，可以看出在低頻部分，采用NPML，UPML的兩個(gè)算例都能與解析解很好地吻合，但在高頻部分，NPML方法得到的結(jié)果與MOM方法的結(jié)果吻合得比UPML方法的結(jié)果好。該方法在截?cái)鄰?fù)雜的色散介質(zhì)中具有較大的優(yōu)勢，是我們下一步的研究方向。

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