一種優(yōu)化GM（1，1）模型及其應用

何 霞，劉衛(wèi)鋒

（鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)理系，鄭州 450015）

1 概述

灰色GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)理論的核心內容和方法之一［1，2］，目前該方法在經(jīng)濟、管理、社會和工程技術等多個領域得到了廣泛的應用.由于灰色GM（1，1）模型本身也存在著一系列問題，因此許多學者提出了改進方法，其中，文獻［3-5］通過優(yōu)化背景值改進了模型，文獻［6-9］通過選取和修正初值來優(yōu)化模型，文獻［10］通過遺傳算法優(yōu)化了GM（1，1）模型.但是，傳統(tǒng)灰色GM（1，1）模型及以上優(yōu)化GM（1，1）模型都使用最小二乘準則求解參數(shù)，而文獻［11］研究發(fā)現(xiàn)使用最小二乘準則求解參數(shù)會出現(xiàn)嚴重的方程病態(tài)，從而使得模型的計算結果以及依據(jù)計算結果做出的結論的正確性和可信度大打折扣.為此，文獻［12，13］利用最小一乘準則改進了求解參數(shù)的算法，從而克服了使用最小二乘準則求解參數(shù)會出現(xiàn)嚴重的方程病態(tài)的情況，提高模型的穩(wěn)健性和預測精度.

在綜合分析已有研究文獻的基礎上，采用文獻［14］中的全最小一乘準則求解GM（1，1）模型參數(shù)，既克服了傳統(tǒng)GM（1，1）模型的病態(tài)問題，也使得參數(shù)求解更加符合人們的直覺［14］，同時，在此將x（1）（n）作為初始條件，從而建立了背景值優(yōu)化、全最小一乘準則參數(shù)求解和初值優(yōu)化三者相結合的穩(wěn)健性較好的GM（1，1）模型.此外，給出了全最小一乘準則參數(shù)求解的相應LINGO程序對初始值.最后，計算實例驗證了文中優(yōu)化灰色GM（1，1）模型的可行性與有效性.

2 灰色GM（1，1）模型建模機理

（1）GM（1，1）模型x（0）（k）+az（1）（k）=b的最小二乘估計參數(shù)列滿足=［a，b］T=（BTB）－1BTY，其中

3 優(yōu)化灰色GM（1，1）模型

為求解上述問題，在此使用LINGO軟件，其程序如下:

現(xiàn)將上述背景值優(yōu)化、全最小一乘準則參數(shù)估計和初始值優(yōu)化結合在一起，就得到了優(yōu)化灰色GM（1，1）模型.

4 應用實例

現(xiàn)使用文獻［10］中昌吉市1982—1997年間的NOx年平均濃度監(jiān)測值作為計算實例，如表1所示.通過建立文中優(yōu)化GM（1，1）模型，然后與文獻［10］中通過遺傳算法建立的GM（1，1）模型，文獻［12］中基于折扣最小一乘參數(shù)估計的灰色GM（1，1）模型，傳統(tǒng)灰色GM（1，1）模型的計算結果進行比較.

由定理2，利用LINGO程序可以求出在全最小一乘準則下的參數(shù)=（－0.073 203 32，0.020 800 46），于是得到

現(xiàn)將所求的結果列入表1進行對比.

表1 模型的精度比較

從表1計算結果可以得知，在模擬和預測精度上，文中優(yōu)化GM（1，1）模型均比文獻［10］中遺傳算法優(yōu)化GM（1，1）模型和傳統(tǒng)GM（1，1）模型均有較大改進，因此說明了該模型具有一定可行性和有效性.同時，表1顯示，文中優(yōu)化GM（1，1）模型在模擬精度上較文獻［12］中改進灰色GM（1，1）模型有所改進，但是預測精度不如文獻［12］中改進模型，而文獻［12］中模型計算過于復雜，不如文中優(yōu)化GM（1，1）模型易于計算.因此，文中優(yōu)化GM（1，1）模型無論在精度上還是在計算上，都具有一定的優(yōu)勢.

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