非線(xiàn)性系統(tǒng)的全局有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定*

李保平，姜禮敏

（1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)院，合肥230039;2.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南新鄉(xiāng) 453000）

1 系統(tǒng)的描述

考慮如下不確定非線(xiàn)性系統(tǒng)的全局有限時(shí)間穩(wěn)定性問(wèn)題:

其中 φi，i=1，2，是C0函數(shù)，且 φi（0）=0，0 ＜r＜1 是奇整數(shù)率.

在非線(xiàn)性控制領(lǐng)域，全局輸出反饋穩(wěn)定是最基本最具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題之一，很多學(xué)者致力于輸出反饋問(wèn)題并取得了成果.在文獻(xiàn)［1］中，由于線(xiàn)性化的不可觀測(cè)性，不能使用傳統(tǒng)的Luenberger觀測(cè)器.后來(lái)基于加冪積分儀技術(shù)的使用，文獻(xiàn)［2］［3］設(shè)計(jì)了一個(gè)全局光滑狀態(tài)反饋控制律.為了解決不可觀測(cè)線(xiàn)性化問(wèn)題，文獻(xiàn)［4］［5］用一個(gè)新的觀測(cè)器來(lái)估計(jì)不可測(cè)狀態(tài).

非線(xiàn)性系統(tǒng)有限時(shí)間輸出反饋穩(wěn)定意義重大，它使得收斂的速度更快，而且對(duì)不確定的系統(tǒng)具有很好的魯棒性［1］;與狀態(tài)反饋［6］相比，有限時(shí)間輸出反饋穩(wěn)定的研究成果相對(duì)較少;在文獻(xiàn)［7］中，平面系統(tǒng)引入了一維連續(xù)觀測(cè)器.有不少文獻(xiàn)研究了狀態(tài)指數(shù)為p的系統(tǒng)，下面來(lái)考慮系統(tǒng)（1）的有限時(shí)間輸出反饋問(wèn)題.

2 問(wèn)題的提出與引理

此處的目的是找出動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，形如:

使得閉環(huán)系統(tǒng)（1）和（2）是全局穩(wěn)定的，同時(shí)所有軌跡將在有限時(shí)間內(nèi)趨于原點(diǎn)（x，z）=（0，0）.

下面的類(lèi)李亞普諾夫定理普遍應(yīng)用于非線(xiàn)性系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定.

定理1對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)˙x（t）=f（x（t）），若存在C1正定函數(shù)V:Rn→R，實(shí)數(shù)k＞0和α∈（0，1）滿(mǎn)足˙V+kVα是半負(fù)定的，那么原點(diǎn)是一個(gè)全局有限時(shí)間穩(wěn)定的平衡點(diǎn).下面引入3個(gè)引理，這些引理是得出系統(tǒng)（1）有限時(shí)間輸出穩(wěn)定的基礎(chǔ).

引理2 設(shè)0 ＜r＜1 是奇整數(shù)率，有|ar－br|≤21－r|a－b|r，?a∈R，b∈R成立.

引理4 設(shè)實(shí)數(shù)0＜r＜1是奇整數(shù)率，對(duì)任意的 0＜τ＜1和t，有tr+（1－t）r+τ2t1+r≥（2r－1）τ1－r.

3 全局有限時(shí)間輸出反饋穩(wěn)定

為了使系統(tǒng)（1）穩(wěn)定，對(duì)不確定部分給出適當(dāng)假設(shè)限定.

假設(shè)1 0＜r＜1滿(mǎn)足對(duì)所有的x1，x2∈R，有:

其中 θ1（x1）≥0，θ2（x1）≥0是光滑函數(shù).

假設(shè)2 μ（x1），ν（x1）是兩個(gè)光滑函數(shù)，滿(mǎn)足0 ＜μ（x1）＜d（t，x1，x2，u）＜ ν（x1）.

在上面的假設(shè)基礎(chǔ)上，提出主要結(jié)論:

定理2 在假設(shè)1下，有一輸出反饋控制器，形如下:

證明 為了證明這個(gè)結(jié)論，首先設(shè)計(jì)了一個(gè)有限時(shí)間狀態(tài)反饋控制器，然后由于系統(tǒng)的不可控、不可觀測(cè)性構(gòu)造了一維觀測(cè)器，最后通過(guò)選擇觀測(cè)器中的待定量來(lái)保證閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定.

（A）狀態(tài)反饋器設(shè)計(jì).

（B）非線(xiàn)性觀測(cè)器的設(shè)計(jì).

建立一維補(bǔ)償器如下:

當(dāng)e=0時(shí)，式（11）顯然成立.將式（6）（12）和引理3用于式（11）得到:

bi（x1），i=1，2，3 是光滑函數(shù)，c1是非負(fù)常數(shù).

（C）L（x1）的確定.

因?yàn)闋顟B(tài)x2是不可測(cè)的，狀態(tài)反饋控制器（7）是不能直接實(shí)現(xiàn)的.為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定，用z+L（x1）代替式（7）中的x2，這樣就有:

在新的控制器下，式（8）變?yōu)?

4 小結(jié)

考慮了一類(lèi)非線(xiàn)性系統(tǒng)的全局有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題，由于該系統(tǒng)的不可控、不可觀測(cè)性，使得穩(wěn)定問(wèn)題變得復(fù)雜.通過(guò)狀態(tài)反饋與精確的一維補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的有限時(shí)間輸出穩(wěn)定.

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