指標(biāo)體系權(quán)重選擇：一個(gè)基于DEA視角的探討

秦 青

（河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471003）

0 引言

對(duì)決策單元的綜合評(píng)價(jià)是管理科學(xué)的常見問題，其中往往需要建立一個(gè)多層次指標(biāo)體系，確定各指標(biāo)權(quán)重，然后以線性加權(quán)或幾何加權(quán)方式將這些指標(biāo)合成一個(gè)綜合評(píng)價(jià)值，最后輸出評(píng)價(jià)結(jié)果。以上工作流程中，權(quán)重的選擇是個(gè)關(guān)鍵，評(píng)價(jià)對(duì)象和指標(biāo)體系一旦確定，綜合評(píng)價(jià)結(jié)果就直接依賴于權(quán)重，必須根據(jù)問題特點(diǎn)選擇合適的賦權(quán)方法。

所謂權(quán)重，是對(duì)指標(biāo)體系中各指標(biāo)相對(duì)重要性的主觀或客觀度量，由此引出兩類賦權(quán)方法，一類是“功能驅(qū)動(dòng)”的主觀賦權(quán)法，根據(jù)人們主觀上對(duì)各指標(biāo)的重視程度來確定權(quán)重，如德爾菲法、層次分析法（AHP）、模糊綜合評(píng)價(jià)法等；另一類是“差異驅(qū)動(dòng)”的客觀賦權(quán)法，根據(jù)各指標(biāo)提供的信息量大小來確定權(quán)重，由于信息量通常被理解為一個(gè)指標(biāo)的變異程度或方差，因此波動(dòng)程度較大的指標(biāo)一般會(huì)取得較大權(quán)重，如方差賦權(quán)法、主成分法、聚類分析法等。主觀和客觀兩類賦權(quán)方法各具特色，主觀賦權(quán)法能充分吸收相關(guān)領(lǐng)域?qū)＜业闹R(shí)和經(jīng)驗(yàn)、體現(xiàn)決策者偏好，但以人的主觀判斷作為賦權(quán)基礎(chǔ)不完全合理；客觀賦權(quán)法依賴指標(biāo)的實(shí)際數(shù)據(jù)確定權(quán)重、排除了人為因素干擾，但所得權(quán)重有時(shí)與指標(biāo)的實(shí)際重要性相悖，因此，實(shí)踐中不乏兩類方法結(jié)合使用的例子，如AHP與主成分法相結(jié)合[1]，AHP與聚類分析相結(jié)合[2]等。

然而，這些賦權(quán)方法的共性是“均一化”加權(quán)，權(quán)重系數(shù)一旦確定，就適用于所有決策單元，即所有單元使用同一組權(quán)重計(jì)算綜合評(píng)價(jià)值。這固然使計(jì)算變得簡單，但也在某種程度上降低了評(píng)價(jià)的最優(yōu)性和公正性。本文認(rèn)為，對(duì)某些綜合評(píng)價(jià)問題可借助DEA方法實(shí)現(xiàn)“非均一化”加權(quán)，能得到更為公正的評(píng)價(jià)結(jié)果。

1 DEA方法簡介

DEA（數(shù)據(jù)包絡(luò)分析）是測度決策單元（簡稱DMU）相對(duì)效率的運(yùn)籌學(xué)方法，最早由Charnes、Cooper、Rhode1978年提出[3]。

設(shè)有n個(gè)同類DMU，均使用r種投入生產(chǎn)s種產(chǎn)出。記DMUi的投入向量為 Xi=(xi1,xi2，…，xir)T，產(chǎn)出向量為 Yi=(yi1,yi2,…，yis)T，則DMUi的效率等于總產(chǎn)出與總投入之比其中ui=(ui1,ui2,…，uis)T是用于加總s項(xiàng)產(chǎn)出的權(quán)重向量，vi=(vi1,vi2,…，vir)T是用于加總 r項(xiàng)投入的權(quán)重向量，ui，vi待定。

如果所有DMU使用相同的生產(chǎn)函數(shù)且形式已知，則ui,vi理論上可以唯一確定并適用于所有單元，但事實(shí)上被評(píng)價(jià)的DMU即使是同類型或相似的，其外部環(huán)境、內(nèi)部結(jié)構(gòu)也不會(huì)完全相同，造成生產(chǎn)函數(shù)的差異。生產(chǎn)函數(shù)的差異意味著不同的DMU擁有不同的最優(yōu)要素組合方式或產(chǎn)品組合方式，此時(shí)再用同一組ui,vi來衡量它們顯然有失公允。不妨用一個(gè)簡單的例子說明：設(shè)甲、乙兩省生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，都以資本和勞動(dòng)為投入要素，但兩省在要素價(jià)格上有微小差別，甲省的勞動(dòng)力較乙省便宜但資本稍貴，此時(shí)甲省會(huì)用較便宜的勞動(dòng)替代資本，使甲省生產(chǎn)函數(shù)的勞動(dòng)密集程度略高于乙?。ㄈ缂资橹胁咳丝诖笫?，乙省為沿海發(fā)達(dá)省份）。顯然，計(jì)算甲省生產(chǎn)效率時(shí)兩個(gè)投入項(xiàng)權(quán)重應(yīng)為（甲省資本價(jià)格，甲省勞動(dòng)力價(jià)格），計(jì)算乙省效率時(shí)權(quán)重應(yīng)為（乙省資本價(jià)格，乙省勞動(dòng)力價(jià)格），兩組權(quán)重明顯不等。因此，對(duì)同類型決策單元進(jìn)行效率評(píng)價(jià)時(shí)，事實(shí)上并不存在一組ui,vi的固定取值，能使所有決策單元覺得公平。公平的權(quán)重應(yīng)為變權(quán)，即非均一化加權(quán)，由評(píng)價(jià)者針對(duì)每個(gè)決策單元特點(diǎn)選擇“最合適”的權(quán)。

DEA方法認(rèn)為，測度DMUi(1≤i≤n)效率時(shí)最合適的權(quán)就是使其效率最大化的權(quán)，即下述問題的最優(yōu)解：

模型第一個(gè)約束條件是一個(gè)自然的規(guī)范性要求，將所有決策單元效率限制在區(qū)間內(nèi)，方便比較。由于模型⑴是分式規(guī)劃，難以求解，可利用Charnes-Cooper變換轉(zhuǎn)化為等價(jià)的線性規(guī)劃：

從模型⑴、⑵可見，DEA方法為每個(gè)DMU選擇了最有利于它的權(quán)，如果改用其他權(quán)重，只會(huì)使效率評(píng)價(jià)值下降或不變。本文認(rèn)為，這一賦權(quán)原則體現(xiàn)了公平性和客觀性，公平性是因?yàn)槊總€(gè)DMU都能實(shí)現(xiàn)效率最大化，客觀性是因?yàn)樽顑?yōu)權(quán)重將由模型內(nèi)生地決定，避免了人為確定權(quán)重的主觀性和隨意性。由于DEA方法具有的良好性質(zhì)，下面試圖將其引入指標(biāo)體系的賦權(quán)問題，并構(gòu)建相應(yīng)的模型與算法。

2 基于DEA的賦權(quán)模型與算法

設(shè)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)時(shí)已建立一個(gè)遞階層次結(jié)構(gòu)的指標(biāo)體系，總的綜合指標(biāo)被分解為若干一級(jí)指標(biāo)，每個(gè)一級(jí)指標(biāo)又包含若干二級(jí)指標(biāo)。由于高層指標(biāo)是低一層指標(biāo)的綜合，低層指標(biāo)是高一層指標(biāo)的分解，因此計(jì)算DMU綜合評(píng)價(jià)值的流程是：先對(duì)二級(jí)指標(biāo)加權(quán)求和獲得相應(yīng)的一級(jí)指標(biāo)，再對(duì)一級(jí)指標(biāo)加權(quán)求和獲得最終評(píng)價(jià)值。

我們先考慮一級(jí)指標(biāo)的賦權(quán)。一級(jí)指標(biāo)是對(duì)整體進(jìn)行的第一層分解，按照指標(biāo)體系的構(gòu)建原則，這一步應(yīng)該而且能夠?qū)⒄w劃分為幾個(gè)主要部分，使各部分之間相對(duì)獨(dú)立。例如社會(huì)大系統(tǒng)可劃分為政治子系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)子系統(tǒng)和文化子系統(tǒng)，三個(gè)子系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)制大不相同，可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的，令每個(gè)子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)一個(gè)指標(biāo)，就得到第一層的三個(gè)一級(jí)指標(biāo)。由于三者都是整體不可或缺的部分，且均屬人為構(gòu)造的抽象指標(biāo)，并不屬于現(xiàn)行統(tǒng)計(jì)指標(biāo)體系、沒有現(xiàn)成數(shù)據(jù)可得，因此很難用客觀方法賦權(quán)，對(duì)其相對(duì)重要性的判斷應(yīng)主要取決于評(píng)價(jià)者的主觀認(rèn)知或個(gè)人偏好，可使用德爾菲法、層次分析法等主觀賦權(quán)法。

下面考慮一級(jí)指標(biāo)下屬二級(jí)指標(biāo)的賦權(quán)。首要問題是如何處理指標(biāo)之間的相關(guān)性，二級(jí)指標(biāo)是對(duì)一級(jí)指標(biāo)的分解，因?yàn)槎挤从痴w某方面特征，彼此之間往往有較強(qiáng)相關(guān)性，需使用主成分分析、因子分析等方法處理，比較繁瑣，DEA方法則能避開這個(gè)問題，在DEA的框架內(nèi)指標(biāo)有相關(guān)性是正常的，不影響分析結(jié)果；進(jìn)一步地，DEA雖能避開相關(guān)性問題，但DEA的特點(diǎn)是非均一化加權(quán)，用在此處是否合理？本文認(rèn)為，綜合評(píng)價(jià)的目的是區(qū)分優(yōu)劣，權(quán)重的選擇應(yīng)有助于此，常用的客觀賦權(quán)法給方差較大的指標(biāo)較大權(quán)重，相當(dāng)于選擇了一組最能區(qū)分各DMU的權(quán)重[4]，但事實(shí)上變權(quán)也能達(dá)到同樣效果，如果我們讓每個(gè)DMU選擇最有利于自己的權(quán)重，如果計(jì)算出的綜合評(píng)價(jià)值仍落后于他人，這個(gè)差距就是實(shí)實(shí)在在的，無法再歸因于賦權(quán)不當(dāng)。從這個(gè)意義上講，二級(jí)指標(biāo)的非均一化加權(quán)是合理的。下面我們將二級(jí)指標(biāo)的賦權(quán)問題放在DEA框架下討論。

設(shè)待評(píng)價(jià)集合包含n個(gè)同類DMU，一個(gè)DMU就是一個(gè)復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)，由m個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成，每個(gè)子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)指標(biāo)體系中一個(gè)一級(jí)指標(biāo)。 記一級(jí)指標(biāo)為A1,…，Am，其中Ai（1≤i≤m）下屬ki個(gè)二級(jí)指標(biāo)Bi1,Bi2…，Biki

對(duì)于子系統(tǒng) Ai，建立 DEA模型，評(píng)價(jià) DMUjo(1≤j0≤n)的相對(duì)效率：

模型產(chǎn)出項(xiàng)：Bi1,Bi2,…，Biki。

模型投入項(xiàng)：設(shè)為常數(shù)I≡1，即所有DMU的投入項(xiàng)均為1。

使DMUjo(1≤j0≤n)效率最大化的權(quán)重為下述模型的最優(yōu)解：

模型⑷的含義很直觀，對(duì)二級(jí)指標(biāo)Bi1,Bi2,…，Biki賦權(quán)時(shí)，最有利于DMUj0權(quán)就是使其加權(quán)和最大的權(quán)，這個(gè)加權(quán)和正是DMUj0在一級(jí)指標(biāo)Ai上的得分，由于模型中存在約束性條件，所有DMU的Ai得分都將在[0,1]區(qū)間內(nèi)取值。

以模型⑷為基礎(chǔ)，我們進(jìn)一步構(gòu)造出以下算法，解決整個(gè)指標(biāo)體系的賦權(quán)問題：

第一步，二級(jí)指標(biāo)的預(yù)處理。由于模型⑷將二級(jí)指標(biāo)視為生產(chǎn)系統(tǒng)的產(chǎn)出項(xiàng)，根據(jù)DEA思想，產(chǎn)出項(xiàng)應(yīng)該是正指標(biāo)、越大越好，如果是逆指標(biāo)，應(yīng)以取倒數(shù)方式做正向化處理

第二步（非均一化加權(quán)），對(duì) Ai(i=1，2，…，m)下屬的二級(jí)指標(biāo)賦權(quán)。求解形如⑷的線性規(guī)劃，分別求出每個(gè)DMU的最優(yōu)權(quán)重以及相應(yīng)的Ai得分（得分限于0～1之間）；

第三步（均一化加權(quán)），對(duì)一級(jí)指標(biāo)A1，…，Am賦權(quán)。使用主觀賦權(quán)法如層次分析法等，要求權(quán)重向量(λ1,λ2，…，λm)滿足歸一化條件 λi≥0(i=1，2，…，m)

第四步，對(duì)一級(jí)指標(biāo)加權(quán)求和，求出每個(gè)DMU的綜合評(píng)價(jià)值。因一級(jí)指標(biāo)得分在[0,1]之間，一級(jí)指標(biāo)權(quán)重又滿足歸一化條件，因此綜合評(píng)價(jià)值也在[0,1]之間。

3 應(yīng)用實(shí)例

我們借用文獻(xiàn)[5]中的指標(biāo)體系與實(shí)際數(shù)據(jù)，對(duì)上述算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。指標(biāo)體系見表1，共包含7個(gè)一級(jí)指標(biāo)和22個(gè)二級(jí)指標(biāo)；評(píng)價(jià)對(duì)象為2008年中部六省。

第一步，從問題的實(shí)際背景看，二級(jí)指標(biāo)中的B51、B52、B63、B72可確定為逆指標(biāo)，需對(duì)相應(yīng)的數(shù)據(jù)做倒數(shù)變換。

第二步，將數(shù)據(jù)代入模型⑷，對(duì)A1下屬的5個(gè)二級(jí)指標(biāo)B11,B12,B13,B14,B15賦權(quán)，分別求出每個(gè)DMU的最優(yōu)權(quán)重，計(jì)算相應(yīng)的得分。結(jié)果見表2。

表1 新型工業(yè)化水平評(píng)價(jià)指標(biāo)體系

表2 A1下屬的二級(jí)指標(biāo)賦權(quán)情況及A1得分

用同樣的方法處理 Ai(i=2，3，…，7)下屬的二級(jí)指標(biāo)，權(quán)重的計(jì)算結(jié)果從略，表3只列出6個(gè)DMU的Ai得分。

第三步，用層次分析法對(duì)一級(jí)指標(biāo)A1,A2,…，A7賦權(quán)，層次分析法的實(shí)現(xiàn)步驟參見文獻(xiàn)[5]，這里直接借用其計(jì)算結(jié)果，將權(quán)重向量定為（0.369，0.038，0.109，0.225，0.155，0.078，0.026）。

第四步，對(duì)一級(jí)指標(biāo)加權(quán)求和，求出6個(gè)DMU的綜合評(píng)價(jià)值，見表3。

通過比較綜合評(píng)價(jià)值可以得到6個(gè)DMU的排列順序。這個(gè)排序結(jié)果與文獻(xiàn)[5]基本相似，說明本文的算法具有合理性，能夠有效區(qū)分各個(gè)DMU。從計(jì)算的簡便性上看，本文算法要優(yōu)于文獻(xiàn)[5]。

表3 6個(gè)DMU的一級(jí)指標(biāo)得分

4 結(jié)束語

考慮到常用賦權(quán)方法的“均一化”加權(quán)可能降低評(píng)價(jià)的最優(yōu)性和公正性，本文建立了一個(gè)基于DEA的指標(biāo)體系賦權(quán)模型，將一個(gè)二層指標(biāo)體系的賦權(quán)問題分成兩部分解決，其中一級(jí)指標(biāo)用傳統(tǒng)的AHP方法賦權(quán)，二級(jí)指標(biāo)用DEA方法實(shí)現(xiàn)了“非均一化”加權(quán)。模型的合理性在文中得以說明，并通過一個(gè)應(yīng)用實(shí)例驗(yàn)證了算法的可行性。

為了論述方便，本文僅以二層結(jié)構(gòu)的指標(biāo)體系為例，涉及DEA之處也僅為單投入、多產(chǎn)出情形，但實(shí)際上模型可以推廣到多層結(jié)構(gòu)以及多投入多產(chǎn)出的情形，其計(jì)算簡便的特點(diǎn)將能得到更充分的發(fā)揮。

當(dāng)然，本文模型也有一定局限性。為了利用DEA框架討論賦權(quán)，首先要界定DEA模型的投入和產(chǎn)出項(xiàng)，將二級(jí)指標(biāo)視為產(chǎn)出項(xiàng)是自然的，投入項(xiàng)則需要一定假設(shè)，我們將之設(shè)為虛擬值1，主要是因?yàn)橛?jì)算方便，這樣一來完全不必考慮投入項(xiàng)的權(quán)重選擇，但這也意味著每個(gè)決策單元都是以一單位投入進(jìn)行生產(chǎn)，因此作為產(chǎn)出的二級(jí)指標(biāo)必須是平均指標(biāo)或相對(duì)指標(biāo)，如人均GDP、工業(yè)總資產(chǎn)貢獻(xiàn)率等，如果二級(jí)指標(biāo)是“第一產(chǎn)業(yè)增加值”之類的總量指標(biāo)，本文的賦權(quán)方法將不可用。然而，因?qū)嵺`中的大部分指標(biāo)體系是由平均指標(biāo)或相對(duì)指標(biāo)構(gòu)成的，如表1的新型工業(yè)化水平評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，故本文方法仍有廣闊的應(yīng)用空間。

[1]董雨，張?bào)阆?，王國華.方案比較中AHP方法的改進(jìn)[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2006,（2）.

[2]白先春，凌亢，郭存芝.城市可持續(xù)發(fā)展評(píng)價(jià)體系中指標(biāo)群組賦權(quán)方法研究[J].運(yùn)籌與管理,2009,（6）.

[3]Charnes A,Cooper W W,Rhodes E.Measuring the Efficiency of Decision Making Units[J].European Journal of Operational Research,1978，(2).

[4]盛昭瀚，朱喬，吳廣謀.DEA理論、方法與應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，1996.

[5]楊建仁，劉衛(wèi)東.基于灰色關(guān)聯(lián)分析和層次分析法的新型工業(yè)化水平綜合評(píng)價(jià)——以中部六省為例[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011,（2）.