基于新的相關(guān)性組合預(yù)測(cè)模型構(gòu)建

袁宏俊，胡凌云

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) a.統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院；b.管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

由于每種預(yù)測(cè)方法利用的數(shù)據(jù)源不盡相同，不同的數(shù)據(jù)源都是從不同的角度提供各方面有用的信息，因此每種預(yù)測(cè)方法之間并不是相互排斥的，而是相互聯(lián)系、相互補(bǔ)充的。在預(yù)測(cè)的過程中，如果想當(dāng)然地認(rèn)為某個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)誤差較大，就把該種預(yù)測(cè)方法棄之不用，這可能造成部分有用的信息丟失，因此，Bates.J.M.和Granger.C.W.J.于l969年首次系統(tǒng)提出組合預(yù)測(cè)方法。由于組合預(yù)測(cè)方法能有效地提高預(yù)測(cè)精度，一直是國(guó)內(nèi)外預(yù)測(cè)界研究的熱點(diǎn)課題之一，并取得了大量的研究成果[1～8]。文獻(xiàn)[4]針對(duì)無非負(fù)約束的以誤差平方和達(dá)到最小的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型，提出了劣性組合預(yù)測(cè)、非劣性組合預(yù)測(cè)、優(yōu)性組合預(yù)測(cè)的概念，并利用組合預(yù)測(cè)絕對(duì)誤差信息矩陣的性質(zhì)判斷簡(jiǎn)單平均方法是非劣性組合預(yù)測(cè)、優(yōu)性組合預(yù)測(cè)的條件。文獻(xiàn)[5]給出了研究組合預(yù)測(cè)方法的另一新途徑，即提出了四種基于相關(guān)性指標(biāo)的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型的研究，與傳統(tǒng)的組合預(yù)測(cè)方法有較大的差別。本文擬在現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，提出一種新的相關(guān)性的組合預(yù)測(cè)方法，定義算術(shù)平均最小貼近度建立最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型；在給出優(yōu)性組合預(yù)測(cè)、預(yù)測(cè)方法優(yōu)超等概念基礎(chǔ)上，從理論上研究?jī)?yōu)性組合預(yù)測(cè)存在的充分條件、冗余預(yù)測(cè)方法的存在性及判定方法定理；最后通過實(shí)例表明該方法的可行性、有效性。

1 幾個(gè)基本概念

設(shè)某社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)序列的實(shí)際值為{xt，t=1，2，…，N}，設(shè)有m種可行的單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)。xit為第i種預(yù)測(cè)方法在第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)值 （或稱擬合值）；i=1，2，…，m；t=1，2，…，為傳統(tǒng)的實(shí)際觀測(cè)值xt的組合預(yù)測(cè)值。設(shè)L=(l1,l1，…，lm)T為m種單項(xiàng)預(yù)測(cè)在組合預(yù)測(cè)中的加權(quán)系數(shù)向量，它滿足由于各預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)一般不滿足歸一化，故按決策屬性指標(biāo)無量綱化方法進(jìn)行處理：

其中 maxt=max{xt,x1t,x2t，…，xmt},mint=min{xt,x1t,x2t，…，xmt}。

顯然有 yt，yit∈[0，1]，同時(shí)

定義 2[9]設(shè) A，B，C∈R（X），且映射 ?！肦（X）×R（X）→[0，1]滿足下列條件：

①Γ（A，B）=Γ（B，A）；

②Γ（A，A）=1，Γ（X，?）=0；

③若?x∈X，A（x）≤B(x)≤C(x)或 A(x)≥B(x)≥C(x)，有 Γ(A,C)≤Γ(A,B)

則稱Γ為R(X)上的貼近度函數(shù)，稱Γ(A,B)為 A與 B的貼近度，其中R(X)為實(shí)函數(shù)。

特別地，設(shè) X={x1，x2，…，xn}為序列，A,B∈R(X)為實(shí)數(shù)序列，不妨定義如下的算術(shù)平均最小貼近度Γ（∧表示取小運(yùn)算）：

定義3

稱Γi(yt,yit)為第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)值與指標(biāo)實(shí)際值的算術(shù)平均最小貼近度，稱Γ(yt,y^t)為組合預(yù)測(cè)值與指標(biāo)實(shí)際值的算術(shù)平均最小貼近度。

組合預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值的算術(shù)平均最小貼近度Γ為各種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的加權(quán)系數(shù)l1,l2,…，lm的函數(shù)，記為Γ(l1,l2,…，lm)。當(dāng)從算術(shù)平均最小貼近度角度考察組合預(yù)測(cè)問題時(shí)，Γ(l1,l2，…，lm)越大表示組合預(yù)測(cè)方法越有效。當(dāng)組合預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際觀測(cè)值序列完全相同時(shí)，算術(shù)平均最小貼近度達(dá)到了最大值1。然而預(yù)測(cè)誤差不可避免，因此，基于新的相關(guān)性的算術(shù)平均最小貼近度的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型為：

記 Γmin=min{Γi,i=1,2,…，m}，Γmax=max{Γi,i=1，2，…，m}

定義 4 若 Γ(l1,l2,…，lm)＜Γmin，則稱權(quán)系數(shù) l1,l2,…，lm確定的組合預(yù)測(cè)模型為劣性組合預(yù)測(cè)；若Γmin≤Γ(l1,l2，…，lm)≤Γmax，則稱之為非劣性組合預(yù)測(cè)；若 Γ(l1,l2,…，lm)＞Γmax，則稱之為優(yōu)性組合預(yù)測(cè)。

定義5若第i種、第k種單項(xiàng)預(yù)測(cè)法的無量綱化指標(biāo)誤差及預(yù)測(cè)值無量綱化數(shù)據(jù)滿足：

則稱基于算術(shù)平均最小貼近度下第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法優(yōu)超第k種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法，若對(duì)任意時(shí)刻均有嚴(yán)格的不等號(hào)成立，則稱第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法嚴(yán)格優(yōu)超第k種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法。

定義6若某種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在組合預(yù)測(cè)模型最優(yōu)權(quán)系數(shù)中為零，則稱該單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法為冗余預(yù)測(cè)方法。在一個(gè)組合預(yù)測(cè)模型中，設(shè)有m種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法參與組合預(yù)測(cè)，若最優(yōu)解中出現(xiàn)冗余方法的個(gè)數(shù)為m'，則稱比例系數(shù)k=m'/m為組合預(yù)測(cè)模型的冗余度。

顯然0≤k≤(m-1)/m，冗余度越小表示組合預(yù)測(cè)模型選擇的單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法越有效。

2 非劣性組合預(yù)測(cè)和優(yōu)性組合預(yù)測(cè)的存在性定理

定理1基于算術(shù)平均最小貼近度組合預(yù)測(cè)模型（4）的任一滿足約束條件的解對(duì)應(yīng)的組合預(yù)測(cè)至少是非劣性組合預(yù)測(cè)。

證明：設(shè) L=(l1,l2，…，lm)T為組合預(yù)測(cè)模型（4）的任一滿足約束條件的解，則有：

根據(jù)定義4知定理1成立。

推論 在基于算術(shù)平均貼近度組合預(yù)測(cè)模型（4）中，簡(jiǎn)單平均組合預(yù)測(cè)的方法一定是非劣性的。

定理 2 假設(shè) Γ1=max{Γi,i=1，2，…，m}，eit=yt-y1t≥0,bt∈(-e1t,e1t)，若(N+1)×m的線性方程組AL=B存在非負(fù)解,則組合預(yù)測(cè)模型(4)一定存在優(yōu)性組合預(yù)測(cè)。其中A=(E,R)T,E=(eit)m×N為無量綱化指標(biāo)誤差信息矩陣,R=(1,1,…，1)T為m維列向量,B=(b1,b2，…，BN，1)T為 N+1 維列向量,L=（l1,l2,…，lm）T為加權(quán)系數(shù)向量。

證明:設(shè)線性方程組AL=B存在非負(fù)解L=(l1,l2，…，lm)T,即AL=B,利用矩陣乘法將其寫成分量形式為:

由于 bt∈(-e1t,e1t),從而

所以：…，m}

根據(jù)定義4知定理2成立。

推論 假設(shè) Γ1=max{Γi,i=1，2，…,m}，若組合預(yù)測(cè)模型的無量綱化指標(biāo)誤差信息矩陣E=(eit)m×N中任一列m個(gè)元素e1t,e2t，…，emt的算術(shù)平均數(shù)1，2，…，N），則簡(jiǎn)單平均組合預(yù)測(cè)方法是優(yōu)性組合預(yù)測(cè)方法。

定理3假設(shè)基于算術(shù)平均最小貼近度的組合預(yù)測(cè)模型（4）的冗余度 k＜（m-1）/m，則其最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的組合預(yù)測(cè)一定為優(yōu)性組合預(yù)測(cè)方法。

組合預(yù)測(cè)模型（4）目標(biāo)函數(shù)是求最大值，則有

因?yàn)榻M合預(yù)測(cè)模型（4）的冗余度 k＜（m-1）/m，所以最優(yōu)解中至少有兩個(gè)非 0 分量，從而(1,0,…，0)T，(0，1，…，0)T，…，（0，0，…，1）T這m個(gè)m維單位列向量分別是組合預(yù)測(cè)模型（4）的可行解而不是最優(yōu)解，由（7）、（10）式知

3 冗余預(yù)測(cè)方法的存在性及其判定

定理4組合預(yù)測(cè)模型(4)的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值是的單調(diào)不減函數(shù),即

定理4表明在實(shí)際過程中組合預(yù)測(cè)模型（4）再增加一個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法時(shí)，對(duì)應(yīng)的最大的算術(shù)平均最小貼近度可能不變，在一定條件下組合預(yù)測(cè)模型（4）可能存在冗余預(yù)測(cè)方法。

定理5若組合預(yù)測(cè)模型的無量綱化指標(biāo)誤差信息矩陣E=(eit)m×N中任一列m個(gè)元素e1t,e2t,…，emt的符號(hào)完全相同，且第j種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法嚴(yán)格優(yōu)超第k種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法，則組合預(yù)測(cè)模型（4）的冗余度至少為1/m，即至少存在第種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法為冗余預(yù)測(cè)方法。

證明：假設(shè)第種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法不是冗余預(yù)測(cè)方法，則在組合預(yù)測(cè)模型（4）的最優(yōu)解中，第 k種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法對(duì)應(yīng)的最優(yōu)權(quán)系數(shù)

因?yàn)镋=(eit)m×N中任一列m個(gè)元素e1t,e2t,…，emt的符號(hào)完全相同，所以從而最優(yōu)解L*對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為

因?yàn)榈趈種預(yù)測(cè)方法嚴(yán)格優(yōu)超第k種預(yù)測(cè)方法，即|ejt|＜|ekt|且 yjt＞ykt，所以上式為：

4 實(shí)證

為了反映本文提出的新的相關(guān)性組合預(yù)測(cè)模型的有效性，應(yīng)用基于向量夾角余弦的相關(guān)性指標(biāo)的組合預(yù)測(cè)模型[6]中的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，基礎(chǔ)數(shù)據(jù)見表1

表1 指標(biāo)實(shí)際值和各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)

利用LINGO軟件計(jì)算得組合預(yù)測(cè)模型 (4)最優(yōu)權(quán)系數(shù)為：l1=0.6506，l2=0.3494，l3=0。

表2 指標(biāo)實(shí)際值和基于算術(shù)平均最小貼近度的組合預(yù)測(cè)值

按照組合預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)的原則，采用下列誤差指標(biāo)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)體系。

表3 各種方法預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)體系

從表3可以看出，基于算術(shù)平均最小貼近度的組合預(yù)測(cè)模型的各誤差指標(biāo)均低于三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)值，表明提出的組合預(yù)測(cè)方法能夠有效提高預(yù)測(cè)精度。同時(shí)，基于算術(shù)平均最小貼近度的組合預(yù)測(cè)模型的各誤差指標(biāo)與文獻(xiàn)[6]中各誤差指標(biāo)結(jié)果相當(dāng)，多數(shù)誤差指標(biāo)優(yōu)于文獻(xiàn)[6]，因而基于算術(shù)平均最小貼近度的新的相關(guān)性組合預(yù)測(cè)模型是一種有效的組合預(yù)測(cè)方法。

另外三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際觀測(cè)值序列的算術(shù)平均最小貼近度分別為Γ1=0.7565、Γ2=0.6556和Γ3=0.2558，組合預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際觀測(cè)值序列的算術(shù)平均最小貼近度為 Γ=0.7626，滿足 Γ＞max(Γ1,Γ2,Γ3)，故由定義 4 知實(shí)例基于算術(shù)平均最小貼近度的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型為優(yōu)性組合預(yù)測(cè)。

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