基于TDA-ESPRIT的電力系統(tǒng)間諧波檢測(cè)

陳哲，袁越，傅質(zhì)馨，吳博文

（河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，江蘇南京210098）

隨著現(xiàn)代電力技術(shù)的發(fā)展，大功率電力電子器件得到了廣泛應(yīng)用，電力系統(tǒng)中的諧波與間諧波[1-3]污染也因此日益嚴(yán)重。對(duì)電力系統(tǒng)中的諧波與間諧波進(jìn)行檢測(cè)與分析[4-15]，不僅有利于電能質(zhì)量的評(píng)估，而且還關(guān)系到電力系統(tǒng)中的諧波與間諧波的治理。

傳統(tǒng)的諧波檢測(cè)方法以傅里葉變換為主，快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)及其改進(jìn)算法已得到廣泛的應(yīng)用[16-18]。但受采樣頻率與采樣時(shí)間窗的限制，F(xiàn)FT存在著柵欄效應(yīng)和頻譜泄露等問(wèn)題，嚴(yán)重影響電力系統(tǒng)中的間諧波的測(cè)量。信號(hào)參數(shù)估計(jì)的方法可以對(duì)電力系統(tǒng)中的諧波分量與間諧波分量的參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)，因而受到了廣泛關(guān)注[19-23]，但信號(hào)參數(shù)估計(jì)的方法計(jì)算效率低，因而其使用受到了限制。

目前空間譜估計(jì)的算法主要有多重信號(hào)分類(Multi-Signal Classification,MUSIC)算法[19]和基于旋

傳統(tǒng)的ESPRIT算法在進(jìn)行頻率估計(jì)時(shí)要計(jì)算其自相關(guān)矩陣，并進(jìn)行特征分解。在陣列信號(hào)陣元數(shù)較多的情況下，此方法的計(jì)算量會(huì)變得很大。為提高計(jì)算效率，一般改進(jìn)的算法是采用其他的方式來(lái)避免特征分解。文獻(xiàn)[24]提出了一種利用迭代計(jì)算來(lái)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的方法；文獻(xiàn)[25]則利用基于維納濾波器的降維技術(shù)來(lái)避免特征分解。在被處理的信號(hào)中的正弦分量增加時(shí)，這些方法的計(jì)算量會(huì)大幅增加。如果能在使用ESPRIT算法進(jìn)行頻率估計(jì)前，利用其他較簡(jiǎn)單的方法減少原信號(hào)中正弦波分量的數(shù)量，無(wú)疑可以在很大程度上提高計(jì)算效率。

本文基于ESPRIT算法，先利用時(shí)域平均技術(shù)(Time-Domain Averaging,TDA)[26]將原信號(hào)中的基波與諧波分量分離出來(lái)，再對(duì)原信號(hào)中的間諧波分量進(jìn)行估計(jì)。由于在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的信號(hào)中，正弦分量的數(shù)目減少了，因而所需的運(yùn)算量也相應(yīng)減少。最后，本文以復(fù)合信號(hào)與變頻調(diào)速系統(tǒng)的分析為例，對(duì)本算法進(jìn)行了驗(yàn)證，其結(jié)果表明，利用此方法進(jìn)行間諧波估計(jì)，在提高計(jì)算效率的同時(shí)，也保證了計(jì)算精度。

1 ESPRIT算法

ESPRIT算法是根據(jù)穩(wěn)定信號(hào)經(jīng)過(guò)時(shí)移后其正弦成分的頻率與幅值不變的原理，來(lái)估計(jì)信號(hào)中正弦成分的頻率，并以此為基礎(chǔ)，進(jìn)一步對(duì)信號(hào)的幅值與初始相角進(jìn)行估計(jì)的一種算法。

1.1 ESPRIT的原理

假設(shè)信號(hào)x表示成復(fù)指數(shù)形式為：

式中，Δt為采樣間隔；N為采樣點(diǎn)數(shù)。將其寫為矢量的形式為：

其中，

其中，

可以看出只要能估計(jì)出對(duì)角矩陣Φ，就能得到原信號(hào)中所有正弦分量的頻率。

1.2 求解ESPRIT的方法

一般的方法是根據(jù)信號(hào)的自相關(guān)矩陣來(lái)估計(jì)的。令：

其自相關(guān)矩陣可表示為：

式中，∧∈CM×M為對(duì)角陣，其秩為K軒；U∈C2N×M。設(shè)U＝

式中，UK軒∈C2N×M為信號(hào)子空間；UW∈C2N×（M-K軒）為噪聲滿秩對(duì)角矩陣。故存在非奇異矩陣Q，使得：

由于Q為非奇異矩陣，ψ=Q-1ΦQ，可知ψ與Φ有相同的特征值，求出ψ的特征值，即可得到原信號(hào)中全部正弦分量的頻率。采用最小二乘法求ψ時(shí)結(jié)果如下：

實(shí)際計(jì)算時(shí)，如果令Δl=Δd=Δt，則進(jìn)行分析所需的采樣點(diǎn)數(shù)為N+M，也就是說(shuō)采樣點(diǎn)數(shù)只需要大于信號(hào)中正弦分量數(shù)的4倍，就可以利用ESPRIT進(jìn)行信號(hào)的參數(shù)估計(jì)，這比采用FFT所需的采樣點(diǎn)數(shù)少很多。

2 時(shí)域平均技術(shù)

在基波頻率確定，且采樣為同步采樣的前提下，可以使用時(shí)域平均技術(shù)[26]。使用TDA處理的采樣信號(hào)必須滿足以下條件。

1）基波頻率已知或可以很精確地估計(jì)出來(lái)；

2）滿足對(duì)基波進(jìn)行同步采樣的條件，且信號(hào)頻

率不發(fā)生波動(dòng)。

2.1 TDA的原理和算法

將信號(hào)x表示為：

式中，x（0t）為原信號(hào)；w（t）為噪聲。設(shè)采樣間隔為Δt，采樣點(diǎn)數(shù)為N，則：

將采樣信號(hào)平均分成M段長(zhǎng)度為T0=J·Δt的信號(hào)（J為T0內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)，且滿足N=M·J），并按式（21）作平均計(jì)算，得到長(zhǎng)度為J的序列a（iΔt）：

然后將序列a（iΔt）按擴(kuò)展到整個(gè)采樣空間，即

則新的序列aM（nΔt）即為TDA的結(jié)果，其中n=0,1,…，N-1。

對(duì)式（21）和式（22）作Z變換可得：

則TDA的傳遞函數(shù)可表示為：

令z=ej2πfΔt，可得其頻率響應(yīng)。其相頻響應(yīng)為Φ（Mf）=0，幅頻響應(yīng)滿足：

當(dāng)M=10，f0=50 Hz時(shí)，其幅值響應(yīng)曲線如圖1所示。可以看出，時(shí)域平均技術(shù)相當(dāng)于一個(gè)只允許基波和諧波通過(guò)的濾波器。經(jīng)過(guò)TDA后的信號(hào)中的間諧波成分很少，只要對(duì)aM（nΔt）作DFT，就可以得到較精確的原信號(hào)中的基波和諧波的成分。

圖1 TDA的傳遞函數(shù)幅頻響應(yīng)曲線

2.2 差值濾波的原理

以時(shí)域平均技術(shù)為基礎(chǔ)，文獻(xiàn)[26]中提出了一種差值濾波（Difference Filter,DF）的方法，就是將原信號(hào)x（nΔt）與aM（nΔt）做差，所得結(jié)果作為DF的濾波結(jié)果。DF的傳遞函數(shù)為：

令z=ej2πfΔt，可得其頻率響應(yīng)。其相頻響應(yīng)為Φ（Mf）=0，幅頻響應(yīng)滿足：

當(dāng)M=10，f0=50 Hz時(shí)，其幅值響應(yīng)曲線如圖2所示?？梢钥闯?在滿足基波頻率確定，且采樣為同步采樣的前提下，經(jīng)過(guò)DF的信號(hào)中將只剩下間諧波分量。這種算法計(jì)算簡(jiǎn)單，精度也較高，但它要求的條件也較苛刻。

圖2 DF濾波器的傳遞函數(shù)幅頻響應(yīng)曲線

3 結(jié)合時(shí)域平均技術(shù)的ESPRIT算法

直接采用ESPRIT算法進(jìn)行信號(hào)參數(shù)估計(jì)時(shí)，其運(yùn)算量會(huì)隨著信號(hào)中的正弦分量數(shù)的增加而大幅增加。采用TDA技術(shù)可以很有效地將原信號(hào)中的基波分量與諧波分量分離，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，精確度高，可以減少原信號(hào)中的正弦分量數(shù)。對(duì)剩下的間諧波分量采用ESPRIT技術(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，可以得到準(zhǔn)確的信號(hào)中間諧波頻率，在計(jì)算精度上比傳統(tǒng)的FFT算法要高。具體做法如下。

1）在基波頻率確定，且采樣滿足同步采樣的前提下，先利用DF濾波器將原信號(hào)中頻率確定的基波與諧波分量濾除，得到只含有間諧波分量的信號(hào)。

2）采用ESPRIT技術(shù)對(duì)信號(hào)中的間諧波分量的頻率進(jìn)行估計(jì)。由于DF濾波器的相頻響應(yīng)，因而利用DF處理信號(hào)將不會(huì)使原信號(hào)中的間諧波分量相角發(fā)生偏離，也不會(huì)影響到利用ESPRIT技術(shù)估計(jì)出的間諧波頻率的精度。但由式（27）可知，經(jīng)過(guò)DF濾波器后的間諧波分量的幅值會(huì)出現(xiàn)一定程度上的衰減。

3）為對(duì)間諧波分量的幅值與相角進(jìn)行精確估計(jì)，采用的方案是利用由ESPRIT技術(shù)估計(jì)到的間諧波頻率，直接對(duì)原采樣信號(hào)中的間諧波分量的幅值和相角進(jìn)行估計(jì)。

結(jié)合了TDA的ESPRIT算法的原理圖見(jiàn)圖3。利用結(jié)合了TDA的ESPRIT算法對(duì)原信號(hào)中間諧波的頻率進(jìn)行估計(jì)時(shí)，由于被處理的信號(hào)中的正弦分量數(shù)減少了，因而其在計(jì)算速度上將會(huì)較直接使用ESPRIT算法的快。但受TDA使用條件的限制，本文所述方法只適用于基波頻率確定，且同步采樣的場(chǎng)合。

圖3 結(jié)合了TDA的ESPRIT算法原理圖

4 仿真分析

4.1 復(fù)合信號(hào)分析

本節(jié)采用文獻(xiàn)[23]的算例1，設(shè)某信號(hào)中含有2次、3次、4次、5次和7次諧波，并含有2個(gè)頻率分別為82 Hz與182 Hz的間諧波分量，其幅值依次為0.5、3.0、1.0、4.0、2.5、3.0和5.0；信號(hào)中的基波分量已濾去，并加入20 dB的白噪聲信號(hào)；信號(hào)的采樣頻率為2400 Hz；采樣點(diǎn)數(shù)為480。對(duì)信號(hào)進(jìn)行FFT，其波形圖和FFT結(jié)果見(jiàn)圖4；圖4表示82 Hz的間諧波與182 Hz的間諧波發(fā)生了頻譜泄露。

圖4 原信號(hào)的波形和其FFT結(jié)果

采用本文所述的方法，對(duì)原信號(hào)進(jìn)行DF處理，處理后的波形和其FFT結(jié)果見(jiàn)圖5。從圖5可以看出，在經(jīng)過(guò)DF處理后的信號(hào)中只剩下間諧波信號(hào)。對(duì)經(jīng)過(guò)DF處理后的信號(hào)利用ESPRIT進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，所得結(jié)果見(jiàn)表1。表1中數(shù)據(jù)顯示，采用結(jié)合了TDA的ESPRIT方法的幅值估計(jì)結(jié)果和直接采用ESPRIT方法的估計(jì)結(jié)果相差不大，相對(duì)誤差絕對(duì)值都不到1%，其誤差值可以認(rèn)為是由噪聲信號(hào)引起的。表1同時(shí)列出了采用補(bǔ)零法的FFT的分析結(jié)果。FFT受采樣窗寬度的限制，其分辨率有限；采用補(bǔ)零法可以提高分辨率，但依然無(wú)法完全阻止頻譜泄露的問(wèn)題。仿真算例表明，采用本文所述的方法估計(jì)信號(hào)的幅值和相角時(shí)，其結(jié)果的精度比利用FFT得到的結(jié)果要好。在計(jì)算效率方面，結(jié)合了TDA的ESPRIT方法在進(jìn)行頻率估計(jì)時(shí)，信號(hào)中只有2個(gè)正弦分量，比原信號(hào)中7個(gè)正弦分量少了5個(gè)，因而其計(jì)算效率較直接使用ESPRIT方法要高。

表1 間諧波檢測(cè)結(jié)果比較

圖5 經(jīng)過(guò)DF處理的信號(hào)波形和其FFT結(jié)果

4.2 變頻調(diào)速系統(tǒng)中的間諧波分析

本節(jié)采用文獻(xiàn)[27]所述的調(diào)速系統(tǒng)進(jìn)行仿真，系統(tǒng)圖見(jiàn)圖6。電源頻率為60Hz，電機(jī)轉(zhuǎn)速設(shè)為1440 r/min，其余參數(shù)參考文獻(xiàn)[27]。對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，可得其電源輸出電流Is的波形如圖7所示。取采樣頻率為12000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為2400個(gè)，分別采用ESPRIT法和本文所述方法對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行分析，結(jié)果見(jiàn)表2。

圖6 交流調(diào)速系統(tǒng)圖

圖7 電源電流波形圖

表2 交流調(diào)速系統(tǒng)中的間諧波檢測(cè)結(jié)果比較

文獻(xiàn)[12]對(duì)ASD系統(tǒng)進(jìn)行了分析，其間諧波頻率可由式（28）得到：

式中，fh是間諧波的頻率；f1是逆變器輸出頻率；fs是電源頻率；μ的典型值為2；k＝1，5，7，…。可知該系統(tǒng)的主要間諧波頻率為36 Hz和156 Hz，與利用ESPRIT方法估計(jì)的結(jié)果接近。比較仿真結(jié)果可以看出，結(jié)合了TDA的ESPRIT方法保留了ESPRIT方法的超分辨率等優(yōu)點(diǎn)，2種方法所得到的結(jié)果在精度上十分接近。同時(shí)，由于進(jìn)行特征分解前去掉了大量的諧波分量，所以結(jié)合了TDA的ESPRIT方法的計(jì)算效率較直接采用ESPRIT方法要高。

5 結(jié)論

利用空間譜估計(jì)的算法檢測(cè)間諧波擁有分辨率高的優(yōu)點(diǎn)，可以有效避免柵欄效應(yīng)和頻譜泄露等問(wèn)題，但當(dāng)所分析的信號(hào)中正弦分量增加時(shí)，其計(jì)算速度會(huì)大幅增加。如果在利用ESPRIT算法前，先將原信號(hào)中的部分諧波分量分離，可以有效減小ESPRIT算法的運(yùn)算量。采樣TDA的方法可以有效將原信號(hào)中的基波分量與諧波分量提取出來(lái)，減小待分析信號(hào)中正弦波含量，從而提高計(jì)算效率。仿真結(jié)果表明，此方法的計(jì)算精度較高。但受TDA使用條件的限制，本文提供的方法只適合應(yīng)用于信號(hào)頻率穩(wěn)定，且采樣信號(hào)為基波的同步采樣的場(chǎng)合。

[1] 海濤，邵紅碩，王鈞.基于db小波變換和降噪的電力系統(tǒng)間諧波分析[J].陜西電力，2010,26(11):28-31.

[2] 萬(wàn)康鴻,別瑞那.三次諧波電流閉鎖式變壓器過(guò)激磁保護(hù)分析[J].電網(wǎng)與清潔能源,2010,26(3):25-30.

[3] 崔懷宇，賈曉輝，尚爾發(fā).變頻器常用3種經(jīng)濟(jì)型濾波方法對(duì)比[J].陜西電力，2010,26(9):59-62.

[4] 黃峰，楊洪耕.基于快速傅里葉變換的諧波和間諧波檢測(cè)修正算法[J].電網(wǎng)與清潔能源,2010,26(6):28-32.

[5] 梁博淵.基于離散小波多分辨率分析的電網(wǎng)諧波檢測(cè)法[J].陜西電力，2010,26(8):53-56.

[6] 劉旭東，葉鵬.基于PC104的電力諧波檢測(cè)裝置研制[J].電網(wǎng)與清潔能源,2010,26(6):44-48.

[7] 張鵬，李嘯驄，黃綠橙，等.避免電力諧波導(dǎo)致電子式電能表計(jì)量誤差的研究與設(shè)計(jì)[J].陜西電力，2010,26(6):1-4.

[8] 林建欽，杜永宏.電力系統(tǒng)諧波危害及防止對(duì)策[J].電網(wǎng)與清潔能源,2009,25(2):28-31.

[9] 王乃永，官瀾，李靜，等.地鐵牽引供電系統(tǒng)對(duì)公網(wǎng)諧波影響仿真研究[J].陜西電力，2010,26(4):30-33.

[10] 李世博.電力系統(tǒng)諧波有效檢測(cè)與抑制[J].電網(wǎng)與清潔能源,2009,25(7):39-42.

[11] 羅杰.有源電力濾波器在空冷機(jī)組諧波治理中的應(yīng)用[J].陜西電力，2009,25(12):38-41.

[12] 魏振洋，周新妮，周新升.基于蒙特卡羅法的神朔電鐵諧波電流影響研究[J].陜西電力，2009,25(12):18-21.

[13] 陳文臣，劉帆，陳顥，等.電力變壓器鐵心剩磁檢測(cè)方法研究[J].陜西電力，2009,25(10):58-61.

[14] 魏振洋.非線性負(fù)荷對(duì)榆林電網(wǎng)的影響及治理[J].陜西電力，2008,24(8):74-77.

[15] 張燕濤，黃倫，高紅杰，等.電網(wǎng)諧波的危害、監(jiān)測(cè)和治理[J].陜西電力，2007,23(9):45-48.

[16] 黃峰,楊洪耕.基于快速傅里葉變換的諧波和間諧波檢測(cè)修正算法[J].電網(wǎng)與清潔能源,2010,26(6):28-32.

[17] 馬杰,張建成.光伏并網(wǎng)系統(tǒng)的諧波檢測(cè)與分析[J].電網(wǎng)與清潔能源，2010,26(11):112-115.

[18] 國(guó)網(wǎng)武漢高壓研究院.GB/T 17626.7-2008電磁兼容試驗(yàn)和測(cè)量技術(shù)供電系統(tǒng)及其所連設(shè)備諧波、間諧波的測(cè)量和測(cè)量?jī)x器導(dǎo)則[S].北京：中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局,中國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會(huì)，2008.

[19] SCHMIDT R.Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation[J].IEEE Tran sactionson Antennas and Propagation,1986,34(3):276-280.

[20] ROYAND R,KAILATH T.ESPRIT—Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques[J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech and Signal Processing,1989,37(7):984-995.

[21] RAO B D,HARI K V S.Performance Analysis of Root-MUSIC[J].IEEE Tran sactionson Acoustics,Speech and Signal Processing,1989,37(12):1939-1949.

[22] LOBOST,LEONOWICZZ,REZMERJ,etal.High-Resolution Spectrum-Estimation Methods for Signal Analysis in Power Systems[J].IEEE Transactionson Instrumentation and Measurement,2006,55(1):219-225.

[23] GU I Y H,BOLLEN M H J.Estimating Inter harmonics by Using Sliding-Window ESPRIT[J].IEEE Transactions on Power Delivery,2008,23(1):13-23.

[24] GONEN E,MENDEL J M.An Iterative Virtual-ESPRIT Algorithm (IVESPA)[C]//Proceedings,8th IEEE Signal Processing Workshop on Statistical Signal and Array Processing,Corfu,Greece,1996:86-89.

[25] 黃磊,吳順君,張林讓.沒(méi)有協(xié)方差矩陣估計(jì)及其特征值分解的ESPRIT方法[J].自然科學(xué)進(jìn)展,2005,15(7):863-868.

[26] LIU Zhong-dong,HIMMEL J,BONFIG K W.Improved Processing of Harmonics and Inter harmonics by Time-Domain Averaging[J].IEEE Transactions on Power Delivery,2005,20(4):2370-2380.

[27] MOHAMMED B R,THOMAS H O,WILLIAM J M.Evaluation of Current Inter harmonics from AC Drives[J].IEEE Transactions on Power Delivery,2000,15(3):1094-1098.