二次長方體有限元的一個(gè)外推

韓明華, 張杰華

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二次長方體有限元的一個(gè)外推

韓明華, 張杰華

(凱里學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院, 貴州 凱里, 556000)

對(duì)于三維Poisson邊值問題, 利用離散Green函數(shù)與Green函數(shù), 結(jié)合三維二次積分恒等式的結(jié)論及證明技巧, 給出了均勻長方體剖分下二次長方體有限元的一個(gè)外推結(jié)果, 提高了有限元解的精度階.

長方體; 二次元; 外推

有限元解的外推法由于能在不增加太多運(yùn)算量的情況下提高收斂速度, 達(dá)到事半功倍的效果而引起了人們的極大興趣. Richardson外推應(yīng)用于橢圓偏微方程邊值問題有限元法始于1978年, 并于1983年在理論研究方面取得突破性進(jìn)展. 自那以后有限元外推得到迅速發(fā)展, 成為一個(gè)富于競爭的國際性研究課題. 到目前為止, 已有大量的文獻(xiàn)和專著研究有限元外推, 這方面研究成果十分豐富. 但是, 這些文獻(xiàn)幾乎都是研究二維線性與二維高次有限元的外推[1-17]. 近年來, 隨著三維有限元的超收斂結(jié)果的大量涌現(xiàn)[18-29], 也開始逐漸出現(xiàn)三維線性有限元的外推成果[30-32], 但對(duì)于三維二次、高次有限元的外推研究, 至今未見相關(guān)文獻(xiàn). 本文旨在研究長方體域上Poisson方程解的二次有限元逼近的外推, 應(yīng)用多維離散Green函數(shù)與Green函數(shù)理論,結(jié)合文獻(xiàn)[4, 13, 16, 31, 32]的相關(guān)研究方法及技巧, 獲得了一個(gè)更高精度的超收斂結(jié)果. 本文的研究, 可作為往后進(jìn)一步研究長方體高次有限元的外推、四面體二次及高次有限元等的外推的一個(gè)啟蒙.

文中所用符號(hào)均與常用方式相同, 使用時(shí)不一一說明.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下邊值問題:

引入如下的張量積二次長方體有限元空間[13]:

顯然有如下正交關(guān)系:

則運(yùn)用文獻(xiàn)[4]中引理2.2、文獻(xiàn)[13]中引理5.8、文獻(xiàn)[16]中命題4.4.1、文獻(xiàn)[31]中引理3.3、文獻(xiàn)[32]中引理3.2的證明技巧, 以及結(jié)合文獻(xiàn)[13]中引理5.8的結(jié)論, 可有引理1.

2 離散Green函數(shù)估計(jì)

下面我們介紹幾個(gè)引理[16, P266-270].

引理4 對(duì)于二次長方體有限元空間, 有:

由引理2、引理3及最佳逼近估計(jì)、先驗(yàn)估計(jì), 有:

于是

證畢.

3 主要結(jié)論

有了以上準(zhǔn)備, 下面討論有限元解的外推．

同理, 有:

綜合上兩式得到外推估計(jì):

這樣, 就可以得到:

[1] 周俊明, 林群. 高次三角形有限元外推的探討[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2008, 38(5): 99-106.

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[5] 何文明, 崔俊芝,朱起定. 一種改進(jìn)的超收斂與外推的方法[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué), 2002, 24(3): 327-334.

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[31] 林群, 周俊明. 橢圓型方程四面體線元的超逼近與外推[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2009, 39(15): 200-210.

[32] 林群, 周俊明. 三維矩形域上泊松方程四面體線元的超逼近與外推[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2009, 39(13): 215-221.

Extrapolation of a quadratic block finite elements

HAN Ming-hua, ZHANG Jie-hua

(Institute of Educational Science, Kaili University, Kaili 556000, China)

For Poisson boundary value problems in three dimensions, using the properties of the discrete Green's function and Green's function, and combined with the conclusions and proof techniques of integral identity, a result of extrapolation for the quadratic block finite element is given under a uniform subdivision, which enhances the accuracy order of the FEM approximation solutions of Poisson equation.

block; quadratic finite element; extrapolation

10.3969/j.issn.1672-6146.2011.03.005

O 242.21

1672-6146(2011)03-0013-03

2011-07-21

凱里學(xué)院院級(jí)規(guī)劃課題資助項(xiàng)目(z0801)

韓明華(1983-), 男, 講師, 碩士, 主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論研究. E-mail: xtsowxf2006@163.com

(責(zé)任編校: 劉曉霞)