自由表面波和水體壓縮性對深水橋墩地震動水壓力的影響

黃 信，李忠獻

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津大學(xué)濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室，天津 300072)

自由表面波和水體壓縮性對深水橋墩地震動水壓力的影響

黃 信1,2，李忠獻1,2

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津大學(xué)濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室，天津 300072)

地震時深水橋墩會受到動水壓力作用，深入分析深水橋墩地震動水壓力具有重要意義.基于輻射波浪理論建立深水橋墩地震動水壓力計算公式，分析自由表面波和水體壓縮性對動水壓力的影響.研究表明：自由表面波僅在荷載激勵頻率較低時影響水面附近的動水壓力；水體壓縮性僅在荷載激勵頻率較高時影響動水壓力.因此，在長大橋梁地震災(zāi)變過程模擬中可忽略自由表面波和水體壓縮性對深水橋墩地震動水壓力的影響.

深水橋墩；地震動水壓力；自由表面波；水體壓縮性；輻射波浪理論

深水橋梁的地震響應(yīng)分析需要考慮水體和橋墩的動力相互作用，流體與結(jié)構(gòu)相互作用分析方法主要有解析法[1-2]、數(shù)值法[3-5]和混合法[6-8].解析法是先求得橋墩所受的地震動水壓力解析解，然后將動水壓力代入橋墩結(jié)構(gòu)的振動方程，從而對橋墩結(jié)構(gòu)進行動水壓力作用下的地震響應(yīng)分析，其中橋墩結(jié)構(gòu)的振動方程采用剪切梁或彎曲梁的振動方程；解析法僅能對簡單的橋墩結(jié)構(gòu)進行分析，同時由于橋墩按懸臂梁進行處理，所以不能考慮橋梁上部結(jié)構(gòu)對橋墩的影響.數(shù)值法主要是利用有限元法或邊界元法進行求解.有限元法將水體和結(jié)構(gòu)均采用有限元進行離散，根據(jù)單元的目標函數(shù)不同可以分為 3類，即歐拉法、拉格朗日法和任意拉格朗日-歐拉法，然而由于水體和結(jié)構(gòu)計算自由度較大，對計算機性能要求高、計算效率低.邊界元法可將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題，并且只需求解邊界節(jié)點上的積分方程，計算成本相對較低.混合法是先求得地震動水壓力的解析解，再采用有限元法建立橋墩結(jié)構(gòu)分析模型，進而對橋墩進行動水壓力作用下的地震響應(yīng)分析.由于利用有限元建立橋墩模型，可以方便地考慮橋梁上部結(jié)構(gòu)對橋墩的影響，同時僅對橋墩建立數(shù)值模型，相對數(shù)值法而言混合法計算效率高.

由于混合法的上述優(yōu)點，現(xiàn)有深水橋墩地震響應(yīng)分析主要采用混合法，而混合法的重點是橋墩地震動水壓力的求解.Goyal等[6]研究具有 2個對稱軸的任意截面形狀柱體的動水壓力，并考慮了土-結(jié)構(gòu)相互作用.Mccormick[7]推導(dǎo)了柱體結(jié)構(gòu)的動水壓力公式，討論了波數(shù)對慣性力系數(shù)及阻尼系數(shù)的影響.賴偉等[8]基于輻射波浪理論提出了一種計算動水壓力的半解析半數(shù)值解，采用梁單元有限元方法求解耦聯(lián)運動方程.上述研究均基于輻射波浪理論建立動水壓力計算公式，動水壓力會受自由表面波和水體壓縮性的影響，自由表面波和水體壓縮性的影響在壩體等結(jié)構(gòu)物的地震動水壓力分析中已經(jīng)有相關(guān)研究，而目前有關(guān)自由表面波和水體壓縮性對橋墩地震動水壓力的影響鮮見系統(tǒng)性的研究.

筆者基于輻射波浪理論建立深水橋墩地震動水壓力的計算公式，分析了自由表面波和水體壓縮性對橋墩動水壓力的影響.

1 基于輻射波浪理論的深水橋墩地震動水壓力

首先考慮地面做簡諧運動，荷載激勵頻率為ω.假定水體無旋并根據(jù)線性輻射波浪理論，此時在柱坐標系下水體的速度勢Φ可表示為復(fù)數(shù)形式Φ(r, θ ,z,t) = φ(r, θ ,z) eiωt，其中φ(r,θ,z)為速度勢空間因子.圖1所示為深水橋墩分析示意.

圖1 深水橋墩分析示意Fig.1 Schematic diagram of bridge pier in deep water

水體控制方程為

整個水體的底面和表面以及水體與橋墩交界面處還要滿足相應(yīng)的邊界條件，其中水與橋墩交界面的邊界條件為

式中：R為圓柱體橋墩半徑；h為水深；k＝ω/c，其中c為水中聲速；u為橋墩的位移，本文僅考慮橋墩做剛體運動，橋墩彈性振動也可按此類似分析，地面簡諧運動下的橋墩位移為 u = ug(t) = ugeiωt，其中 ug為位移幅值；柱坐標系中 z軸沿橋墩軸線向上，坐標原點位于墩底.

將式(7)代入相應(yīng)的控制方程式(1)，并結(jié)合邊界條件式(2)～式(5)，可求得流場中的速度勢.將求得的速度勢代入 Bernoulli方程，可得到地面簡諧運動下的橋墩動水壓力，即

由式(8)可知考慮水體壓縮性和自由表面波影響時，動水壓力與結(jié)構(gòu)運動頻率有關(guān).當(dāng)忽略水體壓縮性時c→∞，從而得到 k＝0.當(dāng)忽略自由表面波影響時0λ=，并且自由表面邊界條件

由于任何振動可以用傅里葉變換分解成簡諧振動，對于實際地震動可將加速度時程通過傅里葉變換得到頻域中的諧幅函數(shù)，從而可以得到實際地震動下的橋墩動水壓力.

2 自由表面波對動水壓力的影響

水體表面處任意區(qū)域激發(fā)局部擾動，產(chǎn)生以重力波形式向周圍傳播的波稱為自由表面波.為衡量自由表面波對動水壓力的影響，忽略水體壓縮性對橋墩動水壓力進行分析.

橋墩動水壓力采用無量綱參數(shù)，動水壓力系數(shù)為式中：Cp為動水壓力系數(shù)；abs(Cp)表示對動水壓力系數(shù)Cp取模.

2.1 動水壓力系數(shù)沿橋墩高度的分布

為分析自由表面波對動水壓力的影響，沿橋墩高度計算動水壓力系數(shù)，其中考慮自由表面波時荷載激勵頻率ω分別取 1,rad/s、2,rad/s和 12,rad/s；橋墩水深h＝40,m，截面半徑R分別取2,m和4,m.圖2所示為動水壓力系數(shù)沿橋墩高度的分布.

從圖 2(a)可以看出，橋墩半徑 R＝2,m 時，當(dāng)荷載激勵頻率(ω＝12,rad/s)較高時，動水壓力系數(shù)沿橋墩高度分布和忽略自由表面波影響下的動水壓力系數(shù)分布一致；對于荷載頻率(ω＝1,rad/s和ω＝2,rad/s)較低時，橋墩墩底到橋墩高度 35,m 處的動水壓力系數(shù)和忽略自由表面波影響下的動水壓力系數(shù)差別不大，僅在水面附近有所增加，如忽略自由表面波時水面處(z＝40,m)的動水壓力系數(shù)為 0，ω＝1,rad/s時水面處的動水壓力系數(shù)為 1.32，ω＝2,rad/s時水面處的動水壓力系數(shù)為 1.76.為更加詳細地分析自由表面波的影響，沿橋墩高度對動水壓力進行積分，可得到橋墩總的動水壓力，當(dāng)忽略自由表面波效應(yīng)時總動水壓力系數(shù)為 37.66，而ω＝1,rad/s和ω＝2,rad/s時總動水壓力系數(shù)分別為 40.73和 37.96，可知考慮自由表面波效應(yīng)時動水壓力的增幅均小于8%，所以相對橋墩所受的總動水壓力而言自由表面波影響可以忽略.對于圖2(b)中橋墩半徑R＝4,m時也可以得出類似規(guī)律.

圖2 自由表面波影響下動水壓力系數(shù)沿橋墩高度的分布Fig.2 Hydrodynamic pressure coefficient distribution with Fig.2 pier height considering free surface wave

2.2 動水壓力系數(shù)隨荷載激勵頻率的分布

進一步分析動水壓力系數(shù)隨荷載激勵頻率的變化，分別計算橋墩墩底、橋墩高度20,m處和水面處的橋墩動水壓力系數(shù).圖 3所示為動水壓力系數(shù)隨荷載激勵頻率的分布.

從圖 3(a)可以看出，橋墩半徑 R＝2,m 時，水面處的動水壓力系數(shù)在荷載激勵頻率較低時會隨荷載激勵頻率的變化而發(fā)生變化；而對于橋墩墩底和橋墩高度20,m處的動水壓力系數(shù)隨荷載激勵頻率的變化不明顯.進一步說明了自由表面波僅在荷載激勵頻率較低時會對水面附近的動水壓力產(chǎn)生影響.對于圖3(b)中橋墩半徑R＝4,m時也可以得出類似規(guī)律.

綜上所述，荷載激勵頻率較高時自由表面波對橋墩動水壓力的影響可以忽略；荷載激勵頻率較低時自由表面波僅會對水面附近的橋墩動水壓力產(chǎn)生影響，相對橋墩總的動水壓力而言這種影響也可以忽略.所以對于深水橋墩地震動水壓力分析可以忽略自由表面波的影響.

圖3 動水壓力系數(shù)隨荷載激勵頻率的分布Fig.3 Hydrodynamic pressure coefficient distribution with Fig.3 load excitation frequency considering free surface Fig.3 wave

3 水體壓縮性對動水壓力的影響

水體不可壓縮是指水體密度在運動過程中保持為常數(shù)即不隨時間和空間變化，而實際水體是可壓縮的，為正確分析地震作用下深水橋墩的動水壓力，有必要研究水體壓縮性對橋墩動水壓力的影響.

為衡量水體壓縮性對動水壓力的影響，忽略自由表面波對橋墩動水壓力進行分析.荷載激勵頻率采用無量綱參數(shù)η表示，即

3.1 動水壓力系數(shù)沿橋墩高度的分布

沿橋墩高度計算動水壓力系數(shù)，其中η＝0表示忽略水體壓縮性，考慮水體壓縮性時分別取η＝0.03、η＝4和η＝7；橋墩水深 h＝40,m，截面半徑 R分別取2,m和4,m.圖4所示為動水壓力系數(shù)沿橋墩高度的分布.

從圖 4(a)可以看出，橋墩半徑 R＝2,m 時，荷載激勵頻率(η＝0.03)較小時，動水壓力系數(shù)沿橋墩高度分布和忽略水體壓縮性(η＝0)時的動水壓力分布一致；當(dāng)荷載激勵頻率較大時，動水壓力系數(shù)相對忽略水體壓縮性下的動水壓力系數(shù)有所變化，如忽略水體壓縮性時墩底處的動水壓力系數(shù)為 0.99，而η＝4時墩底處的動水壓力系數(shù)為 1.07，η＝7時墩底處的動水壓力系數(shù)為 1.12.同樣對于圖 4(b)中橋墩半徑R＝4,m也可以得出類似結(jié)論.

圖4 動水壓力系數(shù)沿橋墩高度的分布Fig.4 Hydrodynamic pressure coefficient distribution with Fig.4 pier height considering water compressibility

3.2 動水壓力系數(shù)隨荷載激勵頻率的分布

分析動水壓力系數(shù)隨荷載激勵頻率的變化，分別計算橋墩墩底處、橋墩高度 10,m 處、橋墩高度 20,m處和橋墩高度30,m處的動水壓力系數(shù).圖5所示為動水壓力系數(shù)隨荷載激勵頻率的分布，其中橫坐標采用對數(shù)坐標.

從圖 5(a)可以看出，橋墩半徑 R＝2,m 時，動水壓力系數(shù)先隨η的增加而增大，達到峰值后隨η增加而減?。徊⑶耶?dāng)η小于 2.5時動水壓力系數(shù)變化較小，即水體壓縮性對動水壓力的影響不明顯，利用式(14)可知η＝2.5時ω=89.4 rad/s，而一般地震作用的主要頻率小于使水體壓縮性產(chǎn)生明顯影響的荷載激勵頻率，所以水體壓縮性的影響可以忽略.對于圖5(b)中橋墩半徑R＝4,m也可以得到類似結(jié)論.

綜上所述，荷載激勵頻率較低時水體壓縮性對橋墩動水壓力的影響可以忽略；當(dāng)荷載激勵頻率較大時水體壓縮性會對動水壓力產(chǎn)生影響，而地震作用的主要頻率小于使水體壓縮性產(chǎn)生明顯影響的荷載激勵頻率.所以深水橋墩地震動水壓力分析中可以忽略水體壓縮性的影響.

圖5 動水壓力系數(shù)隨荷載激勵頻率的分布Fig.5 Hydrodynamic pressure coefficient distribution with Fig.5 load excitation frequency considering water Fig.5 compressibility

上述分析可知，深水橋墩地震動水壓力分析可以忽略自由表面波和水體壓縮性的影響.忽略自由表面波影響時自由表面邊界條件滿足式(11)，忽略水體壓縮性時 k＝0，所以動水壓力表達式(8)中不再包含荷載頻率，即動水壓力不隨荷載激勵頻率變化，此時動水壓力對橋墩地震響應(yīng)的影響如同一附加質(zhì)量.

4 結(jié) 論

(1) 自由表面波在荷載激勵頻率較高時對橋墩動水壓力的影響可以忽略；自由表面波在荷載激勵頻率較低時僅會對水面附近的動水壓力產(chǎn)生影響，相對橋墩所受的總動水壓力而言這種影響也可以忽略.所以對于深水橋墩地震動水壓力分析可以忽略自由表面波的影響.

(2) 水體壓縮性在荷載激勵頻率較低時對橋墩動水壓力的影響可以忽略；水體壓縮性在荷載激勵頻率較大時會對動水壓力產(chǎn)生影響，而地震作用的主要頻率小于使水體壓縮性產(chǎn)生明顯影響的荷載激勵頻率.所以深水橋墩動水壓力分析中可以忽略水體壓縮性的影響.

(3) 當(dāng)忽略自由表面波和水體壓縮性影響時，動水壓力不隨荷載激勵頻率變化，此時可以利用附加質(zhì)量概念對深水橋墩進行地震響應(yīng)分析.

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Lai Wei，Wang Junjie，Hu Shide. Earthquake induced hydrodynamic pressure on bridge pier[J].Journal of Tongji University，2004，32(1)：1-5(in Chinese).

Influence of Free Surface Wave and Water Compressibility on Earthquake Induced Hydrodynamic Pressure of Bridge Pier in Deep Water

HUANG Xin1,2，LI Zhong-xian1,2
(1. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Key Laboratory of Coast Civil Structure Safety of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

Hydrodynamic pressure is applied to bridge pier in deep water under earthquake excitation. It is of great significance to analyze earthquake induced hydrodynamic pressure of bridge pier in deep water. Earthquake-induced hydrodynamic pressure formulary was established using radiation wave theory. The influence of free surface wave and water compressibility on hydrodynamic pressure of bridge pier was studied. The results indicate that free surface wave will only influence hydrodynamic pressure in the vicinity of water surface under low-frequency load excitation. Water compressibility only has an effect on hydrodynamic pressure under high-frequency load excitation. In conclusion，the influence of free surface wave and water compressibility on earthquake induced hydrodynamic pressure can be ignored in earthquake hazard simulation of long and huge bridge.

bridge pier in deep water；earthquake induced hydrodynamic pressure；free surface wave；water compressibility；radiation wave theory

U442.5

A

0493-2137(2011)04-0319-05

2010-07-22；

2010-09-02.

國家自然科學(xué)基金重大研究計劃重點支持項目(90715032)；國家自然科學(xué)基金重大研究計劃培育項目(91015005)；國家自基金項目：然科學(xué)基金重大國際合作項目(51021140003).

黃 信（1983— ），男，博士研究生，xhuang@tju.edu.cn.

李忠獻，zxli@tju.edu.cn.