圓對(duì)稱型大景深相位模板的理論設(shè)計(jì)

王晉疆，韓瑞雨，莫緒濤，孟云霞

(1. 天津大學(xué)精密儀器與光電子工程學(xué)院光電信息技術(shù)科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；

2. 安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，馬鞍山 243000)

大景深光學(xué)成像系統(tǒng)具有廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，比如紅外成像[1]、機(jī)器視覺[2]以及生物和醫(yī)學(xué)的立體顯微成像[3-4]等．最簡單的增大景深的方法是縮小孔徑，但這會(huì)造成成像光強(qiáng)的降低和成像分辨率的下降．目前，相關(guān)的研究主要集中于通過放置在光學(xué)系統(tǒng)光瞳面處的純相位模板以及通過對(duì)CCD采集的圖像進(jìn)行復(fù)原來得到大景深圖像[5-12]．其中以波前編碼系統(tǒng)比較出色，它的相位模板為立方相位模板．不過波前編碼系統(tǒng)得到的圖像必須要經(jīng)過圖像復(fù)原才能應(yīng)用，并且系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有很強(qiáng)的頻率選擇性，在很大的頻率范圍內(nèi)調(diào)制傳遞函數(shù)(modulation transfer function，MTF)值極低，也意味著抗噪聲干擾能力較差．一種圓對(duì)稱型大景深相位模板具有大景深的特性．加載有本模板的系統(tǒng)得到的圖像無需圖像復(fù)原就可以直接應(yīng)用，并且系統(tǒng)在較大的頻率范圍內(nèi)具有一致的圓對(duì)稱光學(xué)傳輸特性．

筆者以圓對(duì)稱相位模板為研究對(duì)象，利用非相干光學(xué)成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)關(guān)于離焦的不變性，推導(dǎo)相位模板的函數(shù)表達(dá)式，并給出相位模板的一組優(yōu)化參數(shù)．接著，對(duì)圓對(duì)稱相位模板相應(yīng)的光學(xué)成像系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析，與波前編碼系統(tǒng)進(jìn)行比較．最后研究像差對(duì)系統(tǒng)的影響．

1 圓對(duì)稱大景深相位模板的理論推導(dǎo)

設(shè)放置于普通圓形孔徑成像系統(tǒng)的出瞳處的圓對(duì)稱相位模板的函數(shù)表達(dá)式為

式中：r為出瞳平面的坐標(biāo)；k為波數(shù) 2π/λ；kθ(r)為相位模板所帶來的相位因子．根據(jù)傅里葉光學(xué)中有關(guān)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與廣義光瞳函數(shù)的關(guān)系，得到非相干光學(xué)成像系統(tǒng)的PSF為

從而得到圓對(duì)稱大景深相位模板的函數(shù)表達(dá)式，不過還有 3個(gè)參數(shù)需要具體給出．通過把相位模板函數(shù)表達(dá)式代入點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的表達(dá)式(2)很容易發(fā)現(xiàn)，常數(shù)相位并不改變點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的分布．所以，接下來僅需要對(duì)參數(shù)a和b進(jìn)行優(yōu)化，參數(shù)c的選擇根據(jù)模板各處的厚度需要大于0來確定．

2 圓對(duì)稱相位模板對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的成像特性

將模板所對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的MTF的離焦不變性以及使得系統(tǒng)MTF在一定景深范圍內(nèi)的響應(yīng)值大于設(shè)定值為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化．首先設(shè)定優(yōu)化模型中的20w 的取值范圍，然后通過對(duì)參數(shù)進(jìn)行采樣計(jì)算，獲得一組參數(shù)及對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)值．在此基礎(chǔ)上，通過設(shè)定的系統(tǒng)MTF在景深范圍內(nèi)的響應(yīng)值，選取優(yōu)化參數(shù)．通過上述運(yùn)算得出一組參數(shù)為 a＝1.902,λ，b＝-2.197,λ．為了保證模板的實(shí)際加工要求，要求參數(shù)c＞0.64,λ．

圖 1給出了普通圓形孔徑光學(xué)系統(tǒng)和本文得到的圓對(duì)稱相位模板對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的 MTF密度圖，橫軸代表離焦參數(shù)φ，縱軸為非相干光學(xué)系統(tǒng)的歸一化空間頻率，灰度值代表 MTF值的大?。渲校^大的灰度值(白色)代表大的 MTF響應(yīng)值，小灰度值代表較低的 MTF響應(yīng)．為了更適宜觀察分析，圖 1是對(duì)原始MTF密度圖進(jìn)行了增強(qiáng)，對(duì)接下來的分析沒有影響．

從系統(tǒng)的 MTF密度圖中可以看出系統(tǒng)的景深、分辨率范圍，如圖 1中的白色方框所圍的區(qū)域．當(dāng)要求歸一化截至頻率在小于 1的范圍內(nèi) MTF大于 0時(shí)，普通圓形孔徑光學(xué)系統(tǒng)景深對(duì)應(yīng)的最大離焦范圍為[-3.5，3.5]，而本文中相位模板得到的系統(tǒng)景深對(duì)應(yīng)的最大離焦范圍為[0，12]，從而景深增大為原來的1.7倍．(若要求歸一化截至頻率在小于 0.75的范圍內(nèi) MTF大于 0時(shí)，景深范圍變?yōu)閇0，18]，為原來的2.5倍，如圖1(b)中的白色虛方框．)注意到模板對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的景深并不是關(guān)于正常聚焦物面(0φ=)左右對(duì)稱，但是這并不影響系統(tǒng)的使用，以景深為[0，12]的情況為例進(jìn)行考慮，只要把離焦參數(shù)φ為 6對(duì)應(yīng)的平面作為系統(tǒng)的“理想聚焦面”即可．

圖1 普通光學(xué)系統(tǒng)與圓對(duì)稱相位模板對(duì)應(yīng)系統(tǒng)MTF密度圖Fig.1 MTF density figure of ordinary system and system Fig.1 with radially symmetric phase plate

普通光學(xué)系統(tǒng)在景深范圍內(nèi)所有空間頻率上的MTF響應(yīng)值都能夠大于0，大景深系統(tǒng)在景深范圍內(nèi)的 MTF值并不能保證所有的空間頻率都能大于 0，但是應(yīng)該明確的是并不是所有的光學(xué)成像系統(tǒng)都對(duì)最大空間頻率也就是分辨率的要求很高，所以本文設(shè)計(jì)的相位模板所對(duì)應(yīng)的光學(xué)系統(tǒng)仍具有一定的應(yīng)用價(jià)值．此外，還可以通過對(duì)模板進(jìn)行不同的優(yōu)化得到合適的模板參數(shù)，以在景深和分辨率之間得到一個(gè)理想的組合．

3 模板對(duì)應(yīng)系統(tǒng)與波前編碼系統(tǒng)比較

在一定的離焦下，波前編碼系統(tǒng)和本相位模板對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的三維MTF如圖2所示．可以看到波前編碼系統(tǒng)的 MTF僅在 2個(gè)頻率軸具有良好的傳輸特性．由于非頻率軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)MTF值等于該點(diǎn)在2個(gè)頻率軸上的投影點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 MTF值的乘積，同時(shí)由于每個(gè)投影點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 MTF值都較小，從而非頻率軸上的頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 MTF值很?。@也就意味著系統(tǒng)的抗噪聲能力較差．而 4次圓對(duì)稱相位模板對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)雖然截至頻率較低，但是在截至頻率的圓形頻率區(qū)域內(nèi)，具有一致的傳輸特性．并且 MTF的響應(yīng)值要大于波前編碼系統(tǒng)的響應(yīng)值．這就保證了系統(tǒng)在一定的頻率范圍內(nèi)，具有良好的成像質(zhì)量，并且抗噪聲能力要優(yōu)于立方相位模板．為了比較 2個(gè)系統(tǒng)的抗噪聲干擾能力，圖 3給出了在相同離焦條件、相同的高斯噪聲影響下，波前編碼系統(tǒng)和4次圓對(duì)稱模板對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的成像結(jié)果．從圖 3中可以看出，波前編碼系統(tǒng)得到的圖像受噪聲影響較大，而圓對(duì)稱相位模板對(duì)應(yīng)系統(tǒng)得到的圖像要明顯優(yōu)于波前編碼系統(tǒng)得到的圖像．

圖2 不同光學(xué)系統(tǒng)的三維離焦MTF示意Fig.2 MTF sketch of different system

圖3 不同系統(tǒng)相同離焦、相同噪聲影響下得到的圖像對(duì)比模擬結(jié)果Fig.3 Simulation results of different system with the same defocus and noise

圖4 普通光學(xué)系統(tǒng)不同離焦Spoke成像Fig.4 Spoke image of ordinary system with defocus

圖5 波前編碼系統(tǒng)不同離焦Spoke成像Fig.5 Spoke image of wavefront coding system with defocus

圖6 圓對(duì)稱模板系統(tǒng)不同離焦Spoke成像Fig.6 Spoke image of radially symmetric phase plate system Fig.6 with defocus

波前編碼系統(tǒng)除了抗噪聲能力較差之外，并且未進(jìn)行圖像復(fù)原的圖像不能直接應(yīng)用，而4次圓對(duì)稱相位模板對(duì)應(yīng)系統(tǒng)得到的圖像卻可以直接應(yīng)用．圖 4、圖5和圖6分別給出了普通光學(xué)系統(tǒng)、波前編碼系統(tǒng)和本文模板對(duì)應(yīng)的大景深成像系統(tǒng)對(duì)Spoke成像(未進(jìn)行圖像復(fù)原)的仿真結(jié)果，圖中把圓對(duì)稱相位模板對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的離焦參數(shù)φ為 6對(duì)應(yīng)的平面作為“理想聚焦面”，給出了與普通光學(xué)系統(tǒng)和波前編碼系統(tǒng)在相同離焦量時(shí)的對(duì)比圖．可以看出普通光學(xué)系統(tǒng)在離焦較大時(shí)，出現(xiàn)了頻率信息丟失以及圖像反轉(zhuǎn)現(xiàn)象．雖然波前編碼成像系統(tǒng)的圖像在不同離焦時(shí)得到的圖像一致，但是很易看到，此時(shí)的圖像和原始圖像有很大差異，不能直接應(yīng)用．而在相同的離焦量時(shí)，得到的圓對(duì)稱相位模板對(duì)應(yīng)系統(tǒng)不僅具有離焦不變性，并且得到的圖像具有良好的成像質(zhì)量．認(rèn)為該結(jié)果對(duì)于圖像質(zhì)量要求不是很高的情況下可以不再經(jīng)過進(jìn)一步的處理．

4 像差對(duì)系統(tǒng)的影響

在此考察初級(jí)像差對(duì)圓對(duì)稱相位模板對(duì)應(yīng)系統(tǒng)帶來的影響[7]．初級(jí)像差的類型包括球差、彗差、像散、畸變和場曲．根據(jù)位移定理[8]，畸變和場曲產(chǎn)生的相位因子并不改變衍射焦點(diǎn)附近的三維強(qiáng)度分布的形態(tài)，只是將分布進(jìn)行位移．僅考慮球差、彗差和像散3種初級(jí)像差對(duì)系統(tǒng)的影響．

相位模板是以某個(gè)實(shí)際光學(xué)成像系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)的．所以，光學(xué)系統(tǒng)的像差要小于像差容限．按照光學(xué)原理有關(guān)像差容限[8]的結(jié)論，球差小于 0.94,λ，彗差小于 0.60,λ，像散小于 0.35,λ．從而在像差容許范圍內(nèi)，考慮像差的改變對(duì)系統(tǒng)成像特性的影響．圖 7給出了系統(tǒng)在各種不同像差條件下的 MTF曲線．圖中橫坐標(biāo)為歸一化頻率，縱坐標(biāo)為 MTF值．無像差表示系統(tǒng)沒有任何像差；一半球差表示在沒有其他像差影響下，球差值為球差容限值一半的情況；最大球差在沒有其他像差影響下，球差值為球差容限值時(shí)的情況．一半彗差、像散和最大彗差、像散的情況與一半球差、最大球差情況類似．所有像差都處于最大容限時(shí)，稱為最大像差．

圖7 像差對(duì)系統(tǒng)MTF特性的影響Fig.7 Influence of aberration on system MTF

從圖 7中可以看出，在像差容限范圍內(nèi)，彗差和像散對(duì)系統(tǒng) MTF的影響很?。磺虿畹囊胧沟貌煌x焦情況下的 MTF的最大截止頻率有所降低，但是可以看到在歸一化頻率[0，1]范圍內(nèi)，MTF曲線的變化對(duì)成像的影響不大．此外，球差帶來的 4次像差因子完全可以通過改變相位模板的 4次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償．總之，在像差容限范圍內(nèi)，初級(jí)像差對(duì)于成像特性的影響很?。?/p>

5 結(jié) 論

(1) 加載了本模板的成像系統(tǒng)，景深可以達(dá)到普通圓形孔徑光學(xué)系統(tǒng)的2倍．

(2) 系統(tǒng)得到的圖像不必進(jìn)行圖像復(fù)原就可以用于后續(xù)的工作．

(3) 系統(tǒng)的MTF在較大的頻率范圍內(nèi)具有圓對(duì)稱的一致傳輸特性，抗噪聲干擾能力要優(yōu)于波前編碼系統(tǒng)等方形孔徑模板對(duì)應(yīng)系統(tǒng)．

(4) 在像差容限范圍內(nèi)，像差對(duì)于成像特性的影響很?。?/p>

(5) 由于模板結(jié)構(gòu)的圓對(duì)稱性，加工較3次相位類型的模板較為容易．

［1］Kenneth K，Edward D，Thomas C W. Reducing complexity in computational imaging systems[J].Optics Express，2003，11(18)：2102-2108.

［2］Narayanswamy R，Johnson G E，Silveira P E X，et al.Extending the imaging volume for biometric iris recognition[J].Applied Optics，2005，44(5)：701-712.

［3］Ortyn W E，Perry D J，Venkatachalam V，et al. Extended depth of field imaging for high speed cell analysis[J].Cytometry A，2007，71A(4)：215-231.

［4］Tucker S C，Dowski E R，Cathey W T. Extended depth of field and aberration control for inexpensive digital microscope systems[J]. Optics Express，1999，4(11)：467-474.

［5］Dowski E R，Cathey W T．Extended depth of field through wave-front coding[J].Applied Optics，1995，34(11)：1859-1866.

［6］Ojeda-Castaneda J，Landgrave J E A，Escamilla H M.Annular phase-only mask for high focal depth[J].Optics Letters，2005，30(13)：1647-1649.

［7］Mezouari S，Muyo G，Harvey A R. Circularly symmetric phase filters for control of primary third-order aberrations：Coma and astigmatism[J].J Opt Soc Am A，2006，23(5)：1058-1062.

［8］Yang Q G，Liu L R，Sun J F. Analysis of optical systems with extended depth of field using the Wigner distribution function[J].Applied Optics，2006，45(34)：8586-8595.

［9］Yang Q G，Liu L R，Sun H F. Optimized phase pupil masks for extended depths of field[J]．Optics Communications，2007，272(1)：56-66.

［10］Zhang W Z，Ye，Z，Chen Y P，et al. Ray aberrations analysis for phase plates illuminated by off-axis collimated beams[J]．Optics Express，2007，15(6)：3031-3046.

［11］Zhao T Y，Ye Z，Zhang W Z，et al. Wide viewing angle skewed effect of the point spread function in a wavefront coding system[J]．Optics Letters，2007，32(10)：1220-1222.

［12］Zhou F，Li G W，Zhang H T，Wang D S. Rational phase mask to extend the depth of field in optical-digital hybrid imaging systems[J]．Optics Letters，2009，34(3)：380-382.