基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的軌道不平順發(fā)展預(yù)測研究

高建敏

(西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室，成都 610031)

隨著我國路網(wǎng)干線的全面提速和客運專線、重載運輸?shù)陌l(fā)展，鐵路線路設(shè)備將承受更大的壓力。在這種狀況下，軌道狀態(tài)惡化加劇，軌道不平順發(fā)展亦加快加大。軌道不平順的存在，一方面引起機車車輛振動和輪軌間動作用力增大，直接影響高(快)速行車的安全和平穩(wěn)性;另一方面，由軌道幾何不平順狀態(tài)變化引起的動荷載進(jìn)一步加速軌道狀態(tài)的惡化，從而限制行車速度的提高，增加線路養(yǎng)護(hù)維修工作量。因此，高(快)速鐵路和重載鐵路發(fā)展更應(yīng)重視軌道的平順性問題［1-2］。軌道不平順是軌道實際狀況的體現(xiàn)，研究軌道幾何不平順特征及其發(fā)展變化規(guī)律，對軌道養(yǎng)護(hù)維修管理具有重要意義。

然而，由于鐵路線路幾何狀態(tài)受眾多隨機因素的影響而呈現(xiàn)出明顯的隨機性，決定了軌道不平順是隨里程變化的隨機干擾函數(shù)［3］。因此，對軌道不平順無法用確定性函數(shù)描述，而應(yīng)當(dāng)采用隨機信號理論加以統(tǒng)計描述和分析。實際軌道運營過程中，軌檢車對軌道進(jìn)行定期的檢查記錄，形成大量的軌道不平順檢測數(shù)據(jù)。如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)判定軌道的狀態(tài)，以及跟蹤軌道狀態(tài)變化規(guī)律，以便合理安排養(yǎng)護(hù)維修工作，是軌道養(yǎng)護(hù)維修管理中一重要問題。日本較早認(rèn)識到這一課題的重要性，開展了一系列有價值的研究［4-6］。我國開展這方面的研究較晚，開展的研究工作相對較少。何永春等［7］利用國外相關(guān)成果，對滬寧線的軌道高低不平順進(jìn)行了預(yù)測分析;許玉德等［8］利用線性預(yù)測模型，對鐵路軌道質(zhì)量指數(shù)(TQI)的發(fā)展進(jìn)行了預(yù)測研究;陳憲麥等［9］提出了一種用于軌道不平順發(fā)展預(yù)測的綜合因子法，對軌道不平順發(fā)展趨勢進(jìn)行了預(yù)測;高建敏等［10］則利用軌檢車動態(tài)檢測數(shù)據(jù)，分析討論了基于不平順分布函數(shù)的不平順發(fā)展統(tǒng)計預(yù)測方法，比較了不同預(yù)測模型的預(yù)測效果和預(yù)測精度。本文在文獻(xiàn)［10］研究基礎(chǔ)上，引入市場活動規(guī)律分析研究中經(jīng)常用到的一種預(yù)測方法——系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣法，利用此方法，基于軌檢車檢測的軌道不平順數(shù)據(jù)，建立軌道狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，預(yù)測軌道幾何狀態(tài)的發(fā)展變化。借此，更清晰地理解軌道幾何狀態(tài)的發(fā)展變化過程，使軌檢車檢測數(shù)據(jù)得到更充分、合理的利用，為鐵路軌道幾何狀態(tài)管理提供參考。

1 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣模型

系統(tǒng)狀態(tài)概率矩陣法是俄國學(xué)者馬爾可夫創(chuàng)立的馬爾可夫過程理論中的一個最基本的分析方法。所謂馬爾可夫過程是指，如果已知系統(tǒng)的現(xiàn)在狀態(tài)，則系統(tǒng)未來所處狀態(tài)的概率性就已確定，而不管系統(tǒng)是如何到達(dá)現(xiàn)在的狀態(tài)。換句話說，系統(tǒng)在已知現(xiàn)在所處狀態(tài)的條件下，它將來所處的狀態(tài)與過去所處的狀態(tài)無關(guān)。也就是說，馬爾可夫預(yù)測與決策理論是用近期資料進(jìn)行預(yù)測與決策的，因而一般認(rèn)為，對于某些問題，其得到的結(jié)果具有較高的可信度或準(zhǔn)確度。

系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣模型建立方法為，若已知系統(tǒng)可能存在或產(chǎn)生的狀態(tài)數(shù)為n個，即系統(tǒng)狀態(tài)為S1，S2，…，Sn。將系統(tǒng)在某個時刻 (k － 1)處于狀態(tài)Sk－1，下一時刻 k轉(zhuǎn)移到 Sk狀態(tài)的條件概率記為 Pij，則系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況可用矩陣表示為

轉(zhuǎn)移概率矩陣用于軌道不平順發(fā)展?fàn)顟B(tài)預(yù)測時，矩陣中各元素是軌道由初始分布區(qū)間轉(zhuǎn)入其它分布區(qū)間或繼續(xù)保留在原分布區(qū)間的概率。假定軌道狀態(tài)發(fā)展惡化時，軌道不平順元素只向著更大分布區(qū)間變化，不考慮由于其它外界因素而導(dǎo)致的個別元素分布區(qū)間降低的情況，則軌道不平順狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為一下三角矩陣。矩陣對角線元素表示軌道不平順分布區(qū)間不變，對角線以外的其它列元素表示不平順分布向更大分布區(qū)間轉(zhuǎn)移的概率。

2 軌道不平順狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的建立

在列車動荷載反復(fù)作用下，有砟軌道不可避免地產(chǎn)生累積下沉，致使軌道平順狀態(tài)逐漸惡化。當(dāng)?shù)来蔡幱诜€(wěn)定期時，可認(rèn)為軌道累積下沉與通過總重或荷載重復(fù)作用次數(shù)間呈線性關(guān)系［11］。因此，可認(rèn)為軌道不平順隨時間的變化也呈線性關(guān)系，如圖1所示。當(dāng)軌道不平順狀態(tài)惡化到一定程度，就必須安排養(yǎng)護(hù)維修，改善其大小，相應(yīng)地整個軌道不平順的分布狀況也隨之發(fā)生變化。故在養(yǎng)護(hù)維修周期內(nèi)，軌道不平順狀態(tài)可看作根據(jù)當(dāng)前軌道狀態(tài)和軌道養(yǎng)護(hù)維修條件逐漸發(fā)展、惡化的過程，這同市場活動規(guī)律有某些相似之處［12］，可借鑒系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣決策理論和方法，分析軌道狀態(tài)的發(fā)展變化，預(yù)測未來變化趨勢。

對于實測軌道不平順數(shù)據(jù)，由于原始數(shù)據(jù)采樣間隔小，數(shù)據(jù)量大，實際應(yīng)用中將檢測里程內(nèi)數(shù)據(jù)劃分為一定的單元區(qū)段，分析單元區(qū)段內(nèi)軌道不平順最大值或標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計量的分布特征［6］。單元區(qū)段劃分個數(shù) N由下式確定［6］

圖1 軌道不平順狀態(tài)變化

式中，L為檢測線路長度;l為單元區(qū)段長度，一般根據(jù)統(tǒng)計要求和大型養(yǎng)路機械作業(yè)長度來確定。本文中采用25 m區(qū)間最大值分析軌道不平順發(fā)展?fàn)顩r。

由概率論知識可知，當(dāng)狀態(tài)概率的理論分布未知時，若樣本容量足夠大，可以用樣本分布近似地描述狀態(tài)的理論分布。因此，對于未知分布的轉(zhuǎn)移概率，可以用轉(zhuǎn)移頻率來近似地估計轉(zhuǎn)移概率。這種情況下，系統(tǒng)變量由狀態(tài)Sk－1轉(zhuǎn)向Sk的轉(zhuǎn)移概率估計值為

式中，aj為變化前處于狀態(tài)Sk－1的總狀態(tài)數(shù)，aij為由變化前狀態(tài) Sk－1轉(zhuǎn)移到變化后狀態(tài) Sk的狀態(tài)數(shù)，

將由轉(zhuǎn)移頻率近似估計產(chǎn)生轉(zhuǎn)移概率形成的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣稱為離散轉(zhuǎn)移概率矩陣。這種由轉(zhuǎn)移頻率來近似估計轉(zhuǎn)移概率的方法，只適合于數(shù)據(jù)量不太大和系統(tǒng)狀態(tài)不太多的系統(tǒng)，如果分析系統(tǒng)的數(shù)據(jù)量較大，系統(tǒng)狀態(tài)較多，則統(tǒng)計其轉(zhuǎn)移頻率就變得極為困難和復(fù)雜，這時，不便于采用這種方法來分析系統(tǒng)狀態(tài)的變化。對于數(shù)據(jù)量較大和系統(tǒng)狀態(tài)較多的系統(tǒng)，若掌握了系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的分布函數(shù)及其分布特征，就可以通過概率分布函數(shù)確定其轉(zhuǎn)移概率，從而形成系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，將這種方法形成的轉(zhuǎn)移概率矩陣稱為連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

為驗證上述研究方法的可行性，以高低不平順25 m區(qū)間最大值發(fā)展變化為例，建立了高低不平順25 m區(qū)間最大值發(fā)展?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。原始數(shù)據(jù)為國內(nèi)某干線鐵路軌道不平順動態(tài)檢測數(shù)據(jù)，檢測時間分別為2005年6月、7月和8月，數(shù)據(jù)采樣間隔為每點0.25 m。

圖2所示為選取一小段數(shù)據(jù)樣本統(tǒng)計所得的高低不平順25 m區(qū)間最大值離散轉(zhuǎn)移概率矩陣。由圖2可見，這種轉(zhuǎn)移概率矩陣是極為離散的，狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻率或概率受原始數(shù)據(jù)影響大，轉(zhuǎn)移概率矩陣不具有通用性。

軌道不平順是隨里程變化的隨機函數(shù)，其分布狀況及其分布變化規(guī)律是連續(xù)的，且其檢測數(shù)據(jù)量是極其龐大的，不能以少量樣本數(shù)據(jù)代表其總體發(fā)展變化趨勢。大量研究資料表明，軌道不平順發(fā)展近似于指數(shù)分布［4，10］，因此，類推到不平順轉(zhuǎn)移概率矩陣上，其轉(zhuǎn)移概率近似具有指數(shù)分布規(guī)律。于是，可以假定轉(zhuǎn)移概率Pij服從指數(shù)分布，根據(jù)指數(shù)分布規(guī)律推求軌道不平順發(fā)展轉(zhuǎn)移概率矩陣。此轉(zhuǎn)移概率矩陣反映軌道不平順總體分布趨勢，不受個別異常數(shù)據(jù)影響。圖3即為根據(jù)指數(shù)分布規(guī)律求出的高低不平順25 m區(qū)間最大值發(fā)展轉(zhuǎn)移概率矩陣。指數(shù)分布參數(shù)根據(jù)實際不平順發(fā)展?fàn)顩r確定，本文中指數(shù)分布參數(shù)近似取值0.52。

圖2 軌道不平順發(fā)展離散轉(zhuǎn)移概率矩陣

圖3 軌道不平順發(fā)展連續(xù)轉(zhuǎn)移概率矩陣

3 軌道不平順狀態(tài)發(fā)展預(yù)測

根據(jù)式(1)～式(5)和圖2、圖3所示狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，對軌道高低不平順25 m區(qū)間最大值發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行了預(yù)測。圖4(a)、圖4(b)分別為采用離散轉(zhuǎn)移概率矩陣和連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，以2005年6月軌道高低不平順25 m區(qū)間最大值分布為已知分布狀態(tài)，計算所得的隨后兩個月不平順區(qū)間最大值概率分布的變化情況。由圖4(a)、圖4(b)可以看出，無論是采用離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，還是采用連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，預(yù)測得出的高低不平順區(qū)段最大值分布都是趨向更大的數(shù)據(jù)范圍變化，說明軌道不平順是逐漸發(fā)展和惡化的，符合軌道不平順狀態(tài)實際發(fā)展規(guī)律。由于離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣基于小部分檢測數(shù)據(jù)建立，未消除初始異常數(shù)據(jù)的影響，而連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣基于大量軌道不平順檢測數(shù)據(jù)建立，代表更為一般的線路狀況，消除了初始異常數(shù)據(jù)的影響。因此，采用連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測得出的不平順分布曲線較采用離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測得出的不平順分布曲線更光滑，分布曲線顯示出的不平順發(fā)展變化趨勢更明了。

圖4 軌道高低不平順發(fā)展預(yù)測

圖5、圖6進(jìn)一步給出了采用離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣和連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測得出的2005年7月份和2005年8月份高低不平順區(qū)段最大值分布與根據(jù)實際檢測值計算得出的分布圖的對比。由圖5和圖6可見，無論是采用離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，還是采用連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，在短期內(nèi)，軌道不平順發(fā)展預(yù)測效果較好，但隨著預(yù)測時間增長，預(yù)測效果降低。由此說明，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣法更適用于系統(tǒng)變化趨勢的短期預(yù)測。對比圖5和圖6可進(jìn)一步看出，由于離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣基于小部分不平順檢測數(shù)據(jù)建立，僅對部分不平順發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測，而連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣基于大量數(shù)據(jù)樣本建立，對更廣泛的線路狀態(tài)變化進(jìn)行預(yù)測，因此，在短期內(nèi)，采用離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的預(yù)測效果較采用連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的預(yù)測效果好。但是，采用連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測軌道幾何狀態(tài)的變化，代表了更為一般的線路狀況，如果能較準(zhǔn)確地獲得初期軌道不平順分布特征及其分布參數(shù)，則采用連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣獲得的不平順發(fā)展預(yù)測結(jié)果會更接近于實際狀況。

圖5 高低不平順發(fā)展實測值與預(yù)測值分布對比(離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣)

圖6 高低不平順發(fā)展實測值與預(yù)測值分布對比(連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣)

離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣適用于數(shù)據(jù)量小、變化狀態(tài)少的系統(tǒng)的預(yù)測研究應(yīng)用，對于像軌道不平順檢測數(shù)據(jù)這樣大宗數(shù)據(jù)，直接通過頻率統(tǒng)計手段推導(dǎo)離散轉(zhuǎn)移概率矩陣，困難較大，不便采用。因此，需借助連續(xù)軌道狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣分析不平順分布變化趨勢。上述采用連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測不平順發(fā)展的研究僅僅作為一個算例，其轉(zhuǎn)移概率分布及其參數(shù)的確定僅考慮了整個軌道不平順發(fā)展的大致情況。在實際軌道狀態(tài)檢測數(shù)據(jù)中，存在較多異常數(shù)據(jù)成分，這些異常數(shù)據(jù)成分在采用連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測時，并不能完全再現(xiàn)。所以，實際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)軌道狀態(tài)實際檢測情況，分析和剔除異常數(shù)據(jù)成分，較為準(zhǔn)確地確定軌道狀態(tài)發(fā)展分布特征及其主控參數(shù)。這樣，才能對軌道狀態(tài)變化進(jìn)行更為準(zhǔn)確、更接近實際的預(yù)測，為軌道實際狀況的分析和定量把握提供一套有效的處理方法或手段。

4 結(jié)論

1)在養(yǎng)護(hù)維修周期內(nèi)，軌道不平順狀態(tài)是一個隨時間或運量逐漸發(fā)展變化的過程，軌道不平順狀態(tài)具有“重復(fù)性”或“記憶性”，新的軌道狀態(tài)依賴于初始軌道平順狀態(tài)，這同市場活動規(guī)律有某些相似之處，因而，可借鑒市場活動規(guī)律分析中常用的一種工具——系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣法來分析軌道幾何狀態(tài)變化，預(yù)測變化趨勢。

2)基于軌道不平順實測數(shù)據(jù)，以高低不平順25 m區(qū)間最大值發(fā)展變化為例，建立了軌道幾何狀態(tài)發(fā)展預(yù)測的離散和連續(xù)轉(zhuǎn)移概率矩陣，通過此矩陣分析了軌道幾何狀態(tài)的發(fā)展變化情況。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，采用離散轉(zhuǎn)移概率矩陣可以對軌道幾何狀態(tài)變化情況進(jìn)行較好的預(yù)測，但是，這種轉(zhuǎn)移概率矩陣只有當(dāng)數(shù)據(jù)量較小、變化狀態(tài)也較少時才方便建立，對于像軌道不平順檢測數(shù)據(jù)這樣大宗數(shù)據(jù)，直接通過頻率統(tǒng)計手段推導(dǎo)離散轉(zhuǎn)移概率矩陣，困難較大，不便采用;采用連續(xù)軌道狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，可在一定程度上反映出軌道狀態(tài)發(fā)展變化趨勢，這種狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣根據(jù)軌道不平順發(fā)展分布特征及其分布參數(shù)確定，不受數(shù)據(jù)量限制，受異常數(shù)據(jù)影響小，方便建立，利于現(xiàn)場分析采用。因此，建議采用連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣分析軌道不平順狀態(tài)的變化情況，掌握變化發(fā)展趨勢，指導(dǎo)軌道管理工作。

3)本文只分析了軌道幾何狀態(tài)惡化情況，對于養(yǎng)護(hù)維修后，軌道狀態(tài)的改善，同樣可以建立軌道狀態(tài)養(yǎng)護(hù)轉(zhuǎn)移概率矩陣，分析養(yǎng)護(hù)維修后軌道狀態(tài)的改善情況及其變化趨勢。

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