全變差圖像去噪模型的快速求解

余瑞艷，劉 文

(1．長江大學(xué) 一年級(jí)教學(xué)工作部，湖北 荊州 434020;2．武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430070)

圖像復(fù)原是數(shù)字圖像處理中的一個(gè)重要分支，它的主要目的是改善圖像的質(zhì)量。由于實(shí)際中設(shè)備的不完善和物理?xiàng)l件的限制，所獲得的圖像通常達(dá)不到期望的質(zhì)量［1］，因此，原始圖像的復(fù)原是非常必要的。目前，在圖像復(fù)原研究領(lǐng)域中研究者普遍認(rèn)為圖像的邊緣是最重要的視覺特征。1992年，RUDIN等提出的全變差正則化(total variation regularization，TVR)模型被認(rèn)為是目前比較合理的能夠保持圖像邊緣特征的圖像模型［2］。有關(guān)全變差正則化模型的求解一直是相關(guān)學(xué)者的研究重點(diǎn)，RUDIN等提出的人工時(shí)間演化方法是目前使用最為廣泛的求解算法，該類算法用求解TV模型的歐拉－拉格朗日方程來達(dá)到圖像去噪的目的，但這種解法受到CFL(courantfriedrichs－lewy)條件的限制，尤其在圖像的平坦區(qū)域該算法的收斂速度很慢。為了消除CFL條件的限制，VOGEL和OMAN提出了一種固定點(diǎn)迭代方案，該方案直接求解穩(wěn)定的歐拉－拉格朗日方程，但該求解方案僅僅線性收斂［3］。于是CHAN等使用TV模型的雙變量描述，進(jìn)而得到一種具有魯棒性的求解方法［4］。但上述各種求解算法均存在收斂速度慢的問題?；诖?，筆者在研究Bregman 迭代正則化的基礎(chǔ)上［5－8］，構(gòu)建了求解全變差正則化模型的快速迭代算法。

1 全變差正則化模型

令u為原始的清晰信號(hào)，u0為被噪聲污染的信號(hào)，即:

式中，n為具有零均值，方差為σ2的高斯白噪聲。

相比于圖像復(fù)原的逆濾波方法、偽逆方法和最大熵方法，全變差正則化方法在保持圖像邊緣與平滑噪聲問題上具有更好的特性。全變差正則化方法通過引入一定的約束將圖像復(fù)原轉(zhuǎn)換成適定問題，并能確保圖像復(fù)原結(jié)果的存在性、唯一性，且具有受噪聲干擾較小的優(yōu)點(diǎn)。

RUDIN等研究發(fā)現(xiàn)受噪聲污染的圖像的總變差(如圖1所示)明顯比無噪圖像的總變差大，于是將總變差定義為梯度幅值的積分:

其中:▽xu，▽yu分別為圖像u在x和y方向的梯度;Ω為圖像u的定義域。限制總變差就會(huì)限制噪聲，于是將圖像的復(fù)原問題轉(zhuǎn)化成如下的最小化問題:

從圖1可以看出，全變差最小化能夠抑制噪聲，但并不對(duì)解產(chǎn)生一種平滑作用，這樣就有可能使圖像的邊緣(突變)在最小化全變差過程中被保存。但若以作為平滑性的度量，則對(duì)于圖1中的3個(gè)函數(shù)而言，顯然有:

圖1 全變差的性質(zhì)

即曲線3將被認(rèn)為是最平滑的，曲線2次之，曲線1最不平滑。于是在最小化時(shí)，大的跳變將最先被平滑。因此在圖像復(fù)原過程中，全變差能夠起到保留圖像邊緣的作用。

按Lagrange乘子法則，全變差最小復(fù)原問題就是求解E(u)的最小化問題muin E(u):

式中，μ為正則化參數(shù)。

2 構(gòu)建快速迭代算法

為了提高圖像去噪的效果，筆者將各向同性的全變差圖像去噪模型式(2)轉(zhuǎn)化成如下的各向異常全變差圖像去噪模型:

定義圖像 u:{1，2，…，M}× {1，2，…，N}→IR，即 u∈IRM×N，且

其中，▽xu(i，j)=u(i，j)－ u(i－1，j)，i=2，…，M，j=1，2，…，N;▽yu(i，j)=u(i，j)－ u(i，j－1)，i=1，2，…，M，j=2，…，N。且▽xu(1，j)=0，j=1，2，…，N;▽yu(i，1)=0，i=1，2，…，M。

模型式(3)的求解要研究n維歐式空間IRn中凸泛函的極小化問題。令E:IRn→IR是一凸泛函，定義E在點(diǎn)v∈IRn處的次梯度為g，且:

偏導(dǎo)數(shù)?E(v)是E在點(diǎn)v處的次梯度結(jié)合。顯然，當(dāng)且僅當(dāng)0∈?E(v)時(shí)，v是泛函E的極小值點(diǎn)，即:

對(duì)于 λ ＞0，c∈IR，定義函數(shù) cut如下［9－10］:

根據(jù)式(6)和式(7)，顯然有 shrink(c，1/λ)+cut(c，1/λ)=c。對(duì)于模型式(3)的求解，令，對(duì)于 k=1，2，…，有如下的迭代格式:

其中:

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了說明快速迭代算法求解全變差去噪模型的有效性，筆者進(jìn)行了大量的仿真實(shí)驗(yàn)，現(xiàn)以Cameraman圖像為例進(jìn)行說明和分析。實(shí)驗(yàn)是在CPU Intel(R)2．0 GHz，1 G 內(nèi)存，Matlab 6．5 環(huán)境下運(yùn)行的。采用峰值信噪比(PSNR)作為客觀的衡量標(biāo)準(zhǔn)，PSNR定義為:

式中:u0(i，j)為原始圖像;u(i，j)為復(fù)原后的圖像;M×N為圖像大小。

筆者利用基于Bregman迭代正則化方法的算法快速求解全變差圖像去噪模型，并與RUDIN人工時(shí)間演化方法的圖像去噪結(jié)果進(jìn)行比較分析。實(shí)驗(yàn)中圖像噪聲的 PSNR分別為18．640 0 dB、22．123 2 dB 和 28．139 8 dB，式(8)～ 式(10)中的參數(shù)分別為 λ=0．001，μ=0．025。圖2為降噪處理前后Cameraman圖像的視覺效果，表1為3幅圖不同算法的降噪效果。

圖2 降噪前后的Cameraman圖

表1 3幅圖不同算法的圖像降噪效果

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，筆者算法的求解速度遠(yuǎn)高于人工時(shí)間演化方法，含噪模糊圖像的降噪效果明顯，在去除圖像噪聲的同時(shí)能保留圖像的邊緣，人眼能直觀地感受到圖像質(zhì)量的改善，其峰值信噪比相比于人工時(shí)間演化方法有顯著的提高。

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