一種基于EMD的系統(tǒng)誤差分離方法

李世平，付 宇，張 進(jìn)

（第二炮兵工程學(xué)院，陜西 西安 710025）

0 引 言

對(duì)儀器的測(cè)量誤差進(jìn)行修正，提高測(cè)量準(zhǔn)確度，其關(guān)鍵技術(shù)是如何分離測(cè)量數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差。測(cè)量誤差分離程度的好壞直接關(guān)系到修正的效果。

測(cè)量誤差的分離方法現(xiàn)在使用較多的主要有最小二乘回歸法、中值濾波法、傅里葉級(jí)數(shù)逼近法、小波和小波包分解法等。最小二乘回歸法在誤差分離中存在模型階數(shù)確定困難；中值濾波法誤差分離準(zhǔn)確度難以提高；Fourier級(jí)數(shù)逼近、小波和小波包分解法，都屬于基于基函數(shù)的分離方法，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)逼近法采用三角基函數(shù)逼近，選用不同的基函數(shù)，會(huì)得到不同的分離結(jié)果，但基函數(shù)的選擇本身就是難點(diǎn)。針對(duì)上述問(wèn)題，提出了基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）誤差分離的一種新方法，EMD分解的基函數(shù)是不確定的，它在分解過(guò)程中依賴于誤差信號(hào)本身，是自適應(yīng)的。對(duì)于不同的誤差信號(hào)，基函數(shù)的選擇是不同的，也可以說(shuō)這種分離方法采用的是一種自適應(yīng)廣義基。盡管無(wú)法給出基函數(shù)的確切表達(dá)式，但由于依賴于誤差信號(hào)本身是自適應(yīng)的，所以能夠通過(guò)這樣的廣義基得到非常好的分離效果。由于EMD分解是自適應(yīng)性分解，這種自適應(yīng)性表現(xiàn)為在不同的局部時(shí)間內(nèi)其時(shí)間尺度是可以不同的，上一級(jí)基本模式分量的所有時(shí)間尺度不一定需要全部小于下一級(jí)的時(shí)間尺度，各個(gè)基本模式分量?jī)?nèi)時(shí)間尺度的變化完全是由誤差信號(hào)本身的特性決定的[1]。

1 誤差特征分析

根據(jù)誤差理論可知，誤差按照其性質(zhì)和特點(diǎn)可以分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差3種。

1.1 系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差是指在重復(fù)性條件下，同一被測(cè)量無(wú)窮多次測(cè)量結(jié)果的均值與該被測(cè)量真值之差，其主要特征是具有規(guī)律性[2]。由于儀器自身的測(cè)量原理、組成結(jié)構(gòu)、存放與使用環(huán)境因素的影響和操作的直接作用，使得系統(tǒng)誤差具有一定的變化規(guī)律。存在有不變的系統(tǒng)誤差、線性變化的系統(tǒng)誤差、指數(shù)變化的系統(tǒng)誤差、周期函數(shù)變化的系統(tǒng)誤差和復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差5種形式。

圖1 系統(tǒng)誤差的特征

圖1所示為各種系統(tǒng)誤差隨時(shí)間變化而表現(xiàn)出不同的特征。曲線a為不變的系統(tǒng)誤差；b為線性變化的系統(tǒng)誤差；c為指數(shù)函數(shù)系統(tǒng)誤差；d為周期函數(shù)系統(tǒng)誤差；e為復(fù)雜規(guī)律便變化的系統(tǒng)誤差[2]。

1.2 隨機(jī)誤差

隨機(jī)誤差是指相同測(cè)量條件下，誤差的大小和符號(hào)的變化均沒(méi)有固定規(guī)律。因此，隨機(jī)誤差的特征是沒(méi)有規(guī)律性、不可預(yù)見(jiàn)性和不可控制性。然而就其的總體而言，隨機(jī)誤差具備有界性、對(duì)稱性和抵償性，具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。隨機(jī)誤差用概率統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行處理。

1.3 粗大誤差

超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差，此誤差較大，明顯歪曲測(cè)量結(jié)果，通常不包含在合理的測(cè)量數(shù)據(jù)中。

2 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分離原理

2.1 EMD方法原理[3]

美國(guó)宇航局的Huang等于1998年提出了固有模態(tài)函數(shù)（IMF）的概念以及將任意信號(hào)分解為固有模態(tài)函數(shù)的方法，即經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）。由EMD分解產(chǎn)生的IMF是根據(jù)信號(hào)本身的特點(diǎn)自適應(yīng)得到的，分解出來(lái)的固有模態(tài)函數(shù)滿足以下2個(gè)條件：

（1）在整個(gè)數(shù)據(jù)序列中，極值點(diǎn)和過(guò)零點(diǎn)的數(shù)目相等或最多相差1個(gè)。

（2）在任意時(shí)間點(diǎn)上，信號(hào)極大值確定的上包絡(luò)線和極小值確定的下包絡(luò)線的均值為零。

EMD分解就是將信號(hào)分解成一系列表征信號(hào)特征時(shí)間尺度的IMF，其結(jié)果是將信號(hào)中不同尺度的波動(dòng)或趨勢(shì)逐級(jí)分解，產(chǎn)生一系列具有不同特征尺度的數(shù)據(jù)序列，每一序列就是IMF。

信號(hào)數(shù)據(jù)x（t）進(jìn)行EMD分解的步驟如下：

（1）首先找出x（t）上所有極值點(diǎn)，將所有極大值點(diǎn)和所有極小值點(diǎn)分別用三次樣條插值函數(shù)擬合出x（t）上、下包絡(luò)線，上、下包絡(luò)線間應(yīng)包含所有的信號(hào)數(shù)據(jù)。將2條包絡(luò)線的平均值記為m1，x（t）與m1的差記作h1，即

在理想情況下，h1應(yīng)為一個(gè)IMF分量。但事實(shí)上，由于包絡(luò)擬合中過(guò)沖和欠沖現(xiàn)象的存在，會(huì)產(chǎn)生新的極值點(diǎn)。因此，分解必須進(jìn)行多次。

在第2次分解中，把h1看作待處理數(shù)據(jù)，其包絡(luò)均值為m11，則有

該過(guò)程重復(fù)k次，得到

直到h1k滿足IMF的條件為止，于是得到第1個(gè)IMF分量，記作

它表示信號(hào)數(shù)據(jù)序列中最高頻率的分量。

為了保證IMF分量有意義，必須確定一個(gè)停止準(zhǔn)則。為此，Huang等人提出限制標(biāo)準(zhǔn)差SD的值來(lái)停止分解。SD的表達(dá)式如下：

當(dāng)SD小于預(yù)先設(shè)定的值時(shí)，分解就停止。SD的值常取0.2～0.3之間。

（2）用x（t）減去c1（t），得到去掉高頻成分的新數(shù)據(jù)序列r1（t）為

將r1（t）視為新的x（t），重復(fù)以上過(guò)程，依次得到第2個(gè)IMFc2（t），…，cn（t）或rn（t）滿足終止條件分解終止。由此可得x（t）的分解式為

式中：rn（t）——?dú)堄嗪瘮?shù)，代表信號(hào)的趨勢(shì)項(xiàng)；

c1（t），c1（t），…，cn（t）——信號(hào)從高到低不同頻率的分量。

通常，EMD分解出來(lái)的前幾個(gè)IMF分量集中了原信號(hào)中最顯著、最重要的信息[3]。

2.2 系統(tǒng)誤差的分離

按照系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)，雖然存在有各種不同形式，但其變化是有規(guī)律的。根據(jù)該文前面介紹的內(nèi)容可知，通過(guò)EMD分解得到的IMF分量和趨勢(shì)項(xiàng)來(lái)確定、提取系統(tǒng)誤差。

從IMF分量和趨勢(shì)項(xiàng)函數(shù)中判定系統(tǒng)誤差，應(yīng)該按照系統(tǒng)誤差的形式進(jìn)行確定，根據(jù)系統(tǒng)誤差的諸多形式，趨勢(shì)項(xiàng)函數(shù)一定屬于某種形式的系統(tǒng)誤差[2，4]。如何提取按周期規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差，應(yīng)當(dāng)按照系統(tǒng)誤差的性質(zhì)和其確定的規(guī)律性特點(diǎn)來(lái)判定，當(dāng)存在不同頻率IMF分量函數(shù)時(shí)，低頻IMF分量函數(shù)應(yīng)屬于周期性系統(tǒng)誤差，高頻IMF分量函數(shù)是否屬于周期性系統(tǒng)誤差是不能直接確定的。該文采用自相關(guān)分析的方法對(duì)高頻IMF分量函數(shù)進(jìn)行提取周期性系統(tǒng)誤差。

自相關(guān)分析的目的是確定信號(hào)在不同時(shí)間的依賴關(guān)系或相似程度[1]，是提取信號(hào)周期的常用方法，可提取混有噪聲的周期信號(hào)，但前提條件是信噪比較高[5]。對(duì)于高頻IMF分量函數(shù)的系統(tǒng)誤差分離方法，實(shí)際上是小周期性系統(tǒng)誤差的分離。首先采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法將誤差分解到各個(gè)IMF分量函數(shù)，達(dá)到降低噪聲誤差的作用；然后采用自相關(guān)分析法，判別每個(gè)IMF分量中是否含有淹沒(méi)于噪聲誤差中的周期信號(hào)，進(jìn)而利用頻譜圖，提取該系統(tǒng)誤差的頻率；最后對(duì)含有的小周期性系統(tǒng)誤差進(jìn)行擬合。

2.3 隨機(jī)誤差的分離

對(duì)于合理測(cè)量誤差數(shù)據(jù)，它是由系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩部分組成的，在一定條件下，當(dāng)已知其中某一誤差分量，另一部分誤差分量可求出。在使用EMD誤差分離方法分離出測(cè)量誤差的系統(tǒng)誤差分量后，如若系統(tǒng)與隨機(jī)誤差是代數(shù)和組合形式，隨機(jī)誤差分量通過(guò)測(cè)量誤差數(shù)據(jù)減去系統(tǒng)誤差即可得到。否則，使用單獨(dú)的分離隨機(jī)誤差的方法分離。

3 系統(tǒng)誤差的分離與仿真

按照系統(tǒng)誤差的變化特征，分別對(duì)系統(tǒng)誤差為線性變化、指數(shù)變化、冪函數(shù)變化和周期變化的4種情況進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，說(shuō)明EMD分解提取系統(tǒng)誤差的有效性。

設(shè)仿真誤差x（t）由兩部分組成，一部分是干擾誤差函數(shù) s（t），另一部分是系統(tǒng)誤差函數(shù) d（t），即

為了仿真方便，這里假設(shè)干擾誤差函數(shù)s（t）的表達(dá)式為

當(dāng)然干擾函數(shù)也可以取任何其他函數(shù)或白噪聲函數(shù)。

3.1 系統(tǒng)誤差為線性變化

系統(tǒng)誤差 d（t）的表達(dá)式為

對(duì)誤差x（t）進(jìn)行EMD分解，其結(jié)果如圖2所示。

圖2 EMD分解結(jié)果

圖3 提取的系統(tǒng)誤差與實(shí)際系統(tǒng)誤差比較

圖2中，第1行為誤差x（t），第2行為100Hz的正弦分量，第3行為50Hz的正弦分量，第4行為余項(xiàng)，即線性變化的系統(tǒng)誤差。圖3給出了提取的系統(tǒng)誤差曲線與實(shí)際系統(tǒng)誤差曲線的比較及誤差曲線，圖3（a）給出了提取的系統(tǒng)誤差與實(shí)際系統(tǒng)誤差的對(duì)比，其中實(shí)際系統(tǒng)誤差用實(shí)線繪制，提取的系統(tǒng)誤差用虛線繪制。可以看到，2條曲線吻合度較高，利用EMD可以有效地提取線性變化的系統(tǒng)誤差。圖3（b）給出了它們的誤差曲線圖，可以看到，由于EMD算法中的端點(diǎn)效應(yīng)[6-7]，使得數(shù)據(jù)的兩端誤差較大。

3.2 系統(tǒng)誤差為指數(shù)變化

系統(tǒng)誤差 d（t）的表達(dá)式為

對(duì)誤差x（t）進(jìn)行EMD分解，其結(jié)果如圖4所示。圖5給出了提取的系統(tǒng)誤差曲線與實(shí)際系統(tǒng)誤差曲線的比較及誤差曲線。

圖4 EMD分解結(jié)果

圖5 提取的系統(tǒng)誤差與實(shí)際系統(tǒng)誤差比較

3.3 系統(tǒng)誤差為冪函數(shù)變化

系統(tǒng)誤差 d（t）的表達(dá)式為

對(duì)誤差x（t）進(jìn)行EMD分解，其結(jié)果如圖6所示。圖7給出了提取的系統(tǒng)誤差曲線與實(shí)際系統(tǒng)誤差曲線比較及它們的誤差曲線。

3.4 系統(tǒng)誤差為大周期的周期變化

設(shè)系統(tǒng)誤差d（t）的表達(dá)式為

以均值為零、方差為1的正態(tài)分布白噪聲作為干擾誤差函數(shù)，對(duì)誤差x（t）進(jìn)行EMD分解，其結(jié)果如圖8所示。圖9給出了提取的系統(tǒng)誤差曲線與實(shí)際系統(tǒng)誤差曲線的比較以及它們的誤差曲線。分離結(jié)果表明EMD能夠有效分離出大周期的周期性系統(tǒng)誤差。

3.5 系統(tǒng)誤差為小周期的周期變化

當(dāng)周期性系統(tǒng)誤差比白噪聲干擾誤差函數(shù)的周期大得多時(shí)，分離效果同線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的效果相當(dāng)，達(dá)到了分離要求；如若周期性系統(tǒng)誤差d（t）的周期與干擾誤差的周期相接近時(shí)，EMD的分離效果較差。

圖6 EMD分解結(jié)果

圖7 提取的系統(tǒng)誤差與實(shí)際系統(tǒng)誤差比較

圖8 EMD分解結(jié)果

設(shè)系統(tǒng)誤差d（t）的表達(dá)式為

圖9 提取的系統(tǒng)誤差與實(shí)際系統(tǒng)誤差比較

圖10 誤差時(shí)域圖

圖11 EMD分解結(jié)果

以均值為零、方差為1的正態(tài)分布白噪聲作為干擾誤差，如圖10所示。對(duì)其進(jìn)行EMD分解，其結(jié)果如圖11。

圖12 誤差頻譜

圖13 IMF的自相關(guān)函數(shù)圖

圖14 IMF1頻譜圖

圖15 IMF2頻譜圖

從圖11中可以看出，線性變化的系統(tǒng)誤差很容易就被分離出來(lái)，而小周期的周期性系統(tǒng)誤差卻很難與干擾誤差分離，且EMD的分解含有很多虛假趨勢(shì)項(xiàng)。由于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法是依據(jù)信號(hào)時(shí)域波形極值的自適應(yīng)性分解，當(dāng)系統(tǒng)誤差的周期遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差時(shí)效果顯著，如3.1～3.4；當(dāng)系統(tǒng)誤差周期接近于干擾誤差周期時(shí)，分離效果不理想，如 3.5。

從圖11中發(fā)現(xiàn)，在IMF1-IMF4的時(shí)域圖中，幾乎分辨不出哪層含有周期性的系統(tǒng)誤差。圖12為該誤差的自相關(guān)頻域圖，能判斷出含有頻率為30 Hz的周期分量。

圖13為EMD分解后各層IMF的自相關(guān)函數(shù)圖，由上至下分別為 r1，r2，r3，r4。經(jīng)過(guò)對(duì) r1，r2，r3，r4分別作出各自的頻譜圖，可以明顯發(fā)現(xiàn)IMF1、IMF2兩分量中含有頻率為30Hz的周期性系統(tǒng)誤差，如圖14、圖15所示。

4 結(jié)束語(yǔ)

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法作為既適于線性、平穩(wěn)信號(hào)，又適于非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的一種新的信號(hào)處理方法，已在許多領(lǐng)域得到應(yīng)用。該文將經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法運(yùn)用于測(cè)量誤差數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差分離，通過(guò)仿真驗(yàn)證，該分解方法能夠有效地應(yīng)用于測(cè)量誤差數(shù)據(jù)的分離，并成功地將具有不同變化特征的系統(tǒng)誤差進(jìn)行有效提取，尤其是與自相關(guān)分析結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法在分離周期變化的系統(tǒng)誤差上取得了較好的效果，為系統(tǒng)誤差分離提供了一種新的方法。

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