道路緩和曲線加寬段內(nèi)側(cè)路幅面積的計(jì)算

王景海,劉春彥

(1.北京市門(mén)頭溝區(qū)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)委員會(huì),北京 102300; 2.北京市市政一建設(shè)工程有限責(zé)任公司,北京 100083)

道路緩和曲線加寬段內(nèi)側(cè)路幅面積的計(jì)算

王景海1*,劉春彥2

(1.北京市門(mén)頭溝區(qū)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)委員會(huì),北京 102300; 2.北京市市政一建設(shè)工程有限責(zé)任公司,北京 100083)

道路緩和曲線加寬過(guò)渡段內(nèi)側(cè)路幅邊線常采用比例法和高次拋物線法,加寬段內(nèi)側(cè)路幅為一非等寬異形平面,文章推導(dǎo)了其面積計(jì)算的數(shù)值積分公式,利用卡西歐fx-4800P計(jì)算器的數(shù)值積分計(jì)算功能計(jì)算其面積,并借助Excel和AutoCAD軟件對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了模擬驗(yàn)證。

加寬過(guò)渡;面積;計(jì)算;Excel;AutoCAD

1 引 言

公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范規(guī)定[1]:當(dāng)平曲線半徑等于或小于250 m時(shí),路面內(nèi)側(cè)應(yīng)加寬,路基也隨之加寬。加寬過(guò)渡的設(shè)置根據(jù)道路性質(zhì)和等級(jí)可采用不同的方法,比例加寬過(guò)渡法和高次拋物線加寬過(guò)渡法是常采用的方法。

加寬過(guò)渡后,道路緩和曲線段內(nèi)側(cè)路幅為一非等寬斷面異形平面,推導(dǎo)求取該加寬段路幅的面積公式,不但具有理論上的意義,而且也有著實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值,如計(jì)算該部分工程材料用量問(wèn)題就涉及需先知道該部分面積。關(guān)于緩和曲線段等寬斷面道路面積計(jì)算已有相關(guān)文獻(xiàn)[2]詳細(xì)研究討論過(guò),緩和曲線段非等寬斷面道路面積計(jì)算的相關(guān)文獻(xiàn)鮮見(jiàn)。本文就道路加寬緩和段采用比例加寬過(guò)渡法和高次拋物線加寬過(guò)渡法兩種情況下,內(nèi)側(cè)路幅面積的計(jì)算問(wèn)題做詳細(xì)討論。

2 公式推導(dǎo)

如圖1所示,建立如圖所示的獨(dú)立坐標(biāo)系。緩和曲線全長(zhǎng)L0,緩和曲線參數(shù)為A,圓曲線半徑R,半幅路寬D,全加寬W。

圖1 緩和曲線加寬段內(nèi)側(cè)路幅圖

中線長(zhǎng)度L處點(diǎn)P(X,Y)對(duì)應(yīng)路幅加寬邊緣線長(zhǎng)度L1處點(diǎn)P1(X1,Y1)的加寬值為Wx,則針對(duì)線性與高次拋物線加寬兩種形式,Wx的表達(dá)式分別為:

中線上點(diǎn)P(X,Y)、對(duì)應(yīng)路幅加寬邊緣線處點(diǎn)P1(X邊,Y邊)坐標(biāo)以中線弧長(zhǎng)L為參數(shù)的表達(dá)式為[3]:

式中β為緩和曲線轉(zhuǎn)角,β=L2/2A2

由圖1可以看出,道路加寬緩和段內(nèi)側(cè)路幅面積S等于路幅邊線L1與X軸所夾面積SB加上梯形X1X0HYHY1面積ST之和減去緩和曲線中心線與X軸所夾面積SZ,即:

由微積分中參數(shù)方程面積公式,SB、SZ的表達(dá)式分別為:

式中X'、X邊'由式(3)、式(5)分別對(duì)L求導(dǎo)得:

由式(8)、式(9)、式(15)分別求得SB、SZ、ST代入式(7)即可得到加寬緩和段內(nèi)側(cè)路幅面積。

當(dāng)全加寬值W=0時(shí),Wx=0,Wx'=0,式(7)應(yīng)為等寬時(shí)內(nèi)側(cè)面積計(jì)算公式,此時(shí)式(8)、式(15)分別變?yōu)?

與文獻(xiàn)[3]中所推導(dǎo)的緩和曲線內(nèi)側(cè)平行線面積公式完全一致。

道路加寬緩和段內(nèi)側(cè)路幅面積精確計(jì)算式(8)、式(9)為數(shù)值積分表達(dá)式,由于無(wú)法求得其原函數(shù),不能用牛頓-萊布尼茨公式求解,但可以利用卡西歐fx-4800p計(jì)算器的數(shù)值積分計(jì)算功能對(duì)其進(jìn)行求解計(jì)算。

3 工程算例

某二級(jí)公路某段,設(shè)計(jì)時(shí)速40 km/h,其中JD7左偏,偏角α=65°11'09″,緩和曲線長(zhǎng)L0=50 m,緩和曲線參數(shù)為A=66.332 5,圓曲線半徑R=88 m,半幅路寬D=6.0 m,全加寬W=2.0 m,路幅邊緣線分別按線性、高次拋物線加寬過(guò)渡,試計(jì)算加寬過(guò)渡段路幅面積。

補(bǔ)救措施：解決卡錘現(xiàn)象最直接方法就是爆破，但是由于地區(qū)或者政策原因無(wú)法進(jìn)行爆破操作的時(shí)候，可以采用沖錘沖擊卡錘處的辦法解決。

解:根據(jù)式(8)、式(9)、式(15),在卡西歐fx-4800p計(jì)算器中求解加寬過(guò)渡段面積結(jié)果如表1所示。

計(jì)算結(jié)果 表1

4 計(jì)算機(jī)作圖模擬驗(yàn)證

4.1 驗(yàn)證方法

以一定密度中線上的點(diǎn)(點(diǎn)的密度使相鄰點(diǎn)間的弦長(zhǎng)間的面積以一定精度等于弧長(zhǎng)間的面積)計(jì)算加寬邊線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo),然后計(jì)算出這些點(diǎn)直線連成的四邊形的面積,這些面積之和即可認(rèn)為是加寬過(guò)渡段面積的正確值,借此來(lái)驗(yàn)證所推公式的正確性。

顯然,驗(yàn)證的前提是合理確定中心線上相鄰點(diǎn)間的弧長(zhǎng)。由于緩和曲線上曲率逐漸增大,緩圓點(diǎn)曲率最大,因此以與之相接的圓曲線來(lái)分析弦間面積代替弧間面積,不僅方便,而且能滿足曲線上弦間面積代替弧間面積的條件。

如圖2所示,設(shè)圓曲線半徑為R,相應(yīng)的弧長(zhǎng)為L(zhǎng),圓心角為α,圓曲線段內(nèi)側(cè)路幅寬為D+W。

圖2 弦線間面積與弧線間面積關(guān)系圖

弧間面積:

弦間面積:

將sinα展開(kāi),略去高次項(xiàng)并顧及α=L/R,代入式(23)整理得:

取ε=0.001,并將算例中已知數(shù)據(jù)代入式(24)得:L≤1.83 m

4.2 Excel中計(jì)算中心線、邊線的逐點(diǎn)坐標(biāo)

在Excel中建立工作表,以高次拋物線加寬過(guò)渡為例,根據(jù)中心線、加寬邊線的已知數(shù)據(jù),將坐標(biāo)計(jì)算公式設(shè)置在相應(yīng)的單元格中,按1.5 m間距分別計(jì)算出中心線、加寬邊線的逐點(diǎn)坐標(biāo)值,并將中心線、加寬邊線的坐標(biāo)設(shè)置成形如(x,y)的坐標(biāo)對(duì)存儲(chǔ)在相應(yīng)的列中[4]。

4.3 AutoCAD中展繪中心線、邊線求面積

打開(kāi)AutoCAD,然后切換到Excel窗口,選中中心線所對(duì)應(yīng)的列的坐標(biāo)對(duì),點(diǎn)擊“編輯——復(fù)制”,然后再切換到AutoCAD窗口,執(zhí)行pline(多義線)命令,將鼠標(biāo)光標(biāo)移至命令窗口,右鍵單擊,在彈出的菜單中選擇“粘貼”,即生成中心線緩和曲線,回車(chē)結(jié)束pline命令。用同樣方法,生成內(nèi)側(cè)路幅邊線。將中心線、路幅邊線兩端連線封閉,在AutoCAD中選擇boundary(邊界創(chuàng)建功能)命令,拾取封閉圖形內(nèi)部點(diǎn),然后用鼠標(biāo)左鍵雙擊任一邊界線,即可得到內(nèi)側(cè)路幅面積為332.575 m2,與卡西歐fx-4800p計(jì)算器中計(jì)算結(jié)果幾乎完全一致,從而證明了所推公式的正確性。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文推導(dǎo)了道路加寬緩和段內(nèi)側(cè)路幅面積計(jì)算的公式,配合當(dāng)今普遍應(yīng)用的卡西歐系列可編程計(jì)算器,可以輕松實(shí)現(xiàn)對(duì)道路加寬緩和段內(nèi)側(cè)路幅面積的精確計(jì)算,實(shí)際工作中有一定的應(yīng)用價(jià)值。

[1] JTJ011-94.公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范[S].

[2] 王景海.道路平曲線平行線弧長(zhǎng)通用公式及應(yīng)用[J].城市勘測(cè),2009(2):121～123

[3] 張志清.道路勘測(cè)設(shè)計(jì)[M].北京:科學(xué)出版社,2005

[4] 許金良,黃安錄.道路與橋梁工程計(jì)算機(jī)繪圖[M].北京:人民交通出版社,2004

The Calculation of Widend Inside Area for Transition Curve Road

Wang JingHai1,Liu ChunYan2
(1.Beijing Mentougou District Municipal Commission of Housing and Urban-Rural Development,Beijing 102300,China; 2.Beijing No.1 Municipal Construction Engineering Co.,Ltd.Beijing 100083,China)

Direct proportion and higher parabola widend transition methonds are often used in transition curve road, the inside road plane is irregular-shaped.The paper deduced the numerical integration calculation formula of widend inside plane area for transition curve road and calculated it in Casio-fx 4800p computer and simulated it by Excel and AutoCAD in computer.

widend transition;area;calculation;Excel;AutoCAD

1672-8262(2011)04-144-03

P258

B

2010—11—10

王景海(1970—),男,高級(jí)工程師,主要從事工程測(cè)量技術(shù)與管理工作。