粘彈性材料聲阻抗非局域特性的數(shù)值研究

楊明綏，王同慶，范真真

(1.北京航空航天大學 流體與聲學工程實驗室，北京 100083;2.中航工業(yè)沈陽發(fā)動機設計研究所，遼寧 沈陽 110015)

粘彈性材料具有良好的吸能、高阻尼特性，且與水能夠產(chǎn)生很好的聲阻抗匹配，被廣泛應用于水下潛艇的吸聲覆蓋層和阻尼隔振層.因此，粘彈性結(jié)構(gòu)的吸聲、隔振特性研究，成為國內(nèi)外學者的一個重要研究內(nèi)容［1-7］.

在水下聲散射數(shù)值計算與潛艇聲隱身設計的研究中，大多采用聲管測量得到的局域聲阻抗模型進行描述，即認為吸聲材料的表面聲阻抗只與當?shù)芈曎|(zhì)點法向速度有關，而與其他位置處聲質(zhì)點法向速度無關.然而，隨著低頻主動聲吶的應用，聲阻抗的非局域特性不容忽視，一些學者和研究機構(gòu)已開展消聲瓦大試樣吸聲特性的實驗研究工作［3］.因此，如何建立非局域聲阻抗模型，描述消聲瓦聲阻抗的非局域特性是十分必要的.在非局域聲阻抗代數(shù)模型的研究方面，F(xiàn)averjon等［8-9］進行了基礎性的研究工作，其針對鋁板－多孔介質(zhì)－鋁板多層系統(tǒng)的聲透射問題，分別從實驗和解析2個方面開展了等效聲阻抗代數(shù)模型的研究.然而目前對于消聲瓦等粘彈性結(jié)構(gòu)，還沒有關于非局域聲阻抗特性及其模型的研究工作發(fā)表.

本文參考Faverjon關于透聲的等效聲阻抗模型，發(fā)展了能夠適用于粘彈性材料表面聲散射阻抗非局域特性描述的理論模型，采用粘彈性動力學有限元方法，開展吸聲材料表面聲散射阻抗的非局域特性研究.本文的研究將對對粘彈性吸聲覆蓋層優(yōu)化敷設以及潛艇聲隱身優(yōu)化設計具有重要意義.

1 聲阻抗矩陣模型

聲散射阻抗是描述材料聲吸收性質(zhì)的一種有效方法，剛性背襯的粘彈性吸聲材料聲散射阻抗的物理模型如圖1所示.設聲散射表面的聲阻抗為zn，表面法向振動速度為vn，入射聲壓為p.將粘彈性材料表面離散為i(i=1，2，…，N)個有限網(wǎng)格點.則在網(wǎng)格點i處的表面聲壓為pi，引起的表面法向振速及聲阻抗值分別記為vni、zni.

圖1 物理模型Fig.1 Physical model

1.1 局域聲阻抗

局域聲阻抗模型認為:當?shù)氐穆曌杩怪祕locn(ω)只與當?shù)氐穆晧簆和表面法向質(zhì)點速度vn有關，與其他位置處的聲質(zhì)點法向速度無關，表現(xiàn)了聲阻抗的局域特性，可以用聲管進行小試樣測量.如下:

式中:ω為角頻率.在每個網(wǎng)格點i處均滿足方程(1)，即

則表面聲壓pi和表面法向振動速度vni滿足:

1.2 非局域聲阻抗

當聲阻抗表現(xiàn)為非局域特性時，當?shù)芈晧翰粌H與當?shù)胤ㄏ蛘駝铀俣扔嘘P，還與其他點處的法向振動速度相關.此時，pi與vni滿足:

1.3 聲阻抗矩陣模型

注意到，方程(3)、(4)均可以寫成如下通用形式:

式中:p為表面聲壓向量，vn為表面聲質(zhì)點速度向量，zn為聲阻抗矩陣.由以上的分析可知，當聲阻抗表現(xiàn)為局域特性時，聲阻抗矩陣zn為對角陣;當聲阻抗表現(xiàn)為非局域特性時，聲阻抗矩陣zn為非對角矩陣，阻抗矩陣中阻抗值的大小、分布情況分別由材料的吸聲性能、非局域特性決定，通常情況下zn為主對角占優(yōu)矩陣.

同時，表面聲阻抗矩陣zn與結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)矩陣H具有互逆性［8-9］，即滿足

且

聲載荷對粘彈性材料的作用，可以等效為表面離散點處的節(jié)點力.因此，當j點聲壓為pj，i點速度響應為vni時，代入方程(7)可求得傳遞函數(shù)Hij，進而可構(gòu)建傳遞函數(shù)矩陣H，并最終得到聲阻抗矩陣zn.

1.4 聲阻抗代數(shù)模型

參照Faverjon關于聲透射等效阻抗模型，本文針對剛性背襯下粘彈性板的聲散射問題，建立了一個聲散射阻抗模型:

式中:rij為i點與j點之間的表面距離;ζ為局域聲阻抗值，且滿足ζ=ζR+iζⅠ=znii=zlocn;ρR(rij，ω)、ρI(rij，ω)分別為聲阻、聲抗密度函數(shù)，滿足:

由于剛性背襯和粘彈性材料聲耗散的影響，聲阻函數(shù)ρR(rij，ω)均為正值，本文采用余弦函數(shù)的絕對值進行描述.式中:LR、LI、λR、λI、φI是隨ω變化的常數(shù);LR、LI為控制幅值呈指數(shù)衰減的長度尺度參數(shù); λR、λI為振動波長的控制參數(shù);φI分別為聲抗密度函數(shù)的相位控制參數(shù).聲阻抗值zij具有如下性質(zhì): 1)是頻率ω的函數(shù);2)與局域聲阻抗zlocn(ω)密切相關;3)聲阻抗值zij與表面距離rij有關，并且隨著rij的增加，阻抗值zij呈指數(shù)衰減.當rij→0時，zij→zlocn;當rij→∞時，zij→0.并且有zij=zji.

可由下式求局域聲阻抗值zlocn:

求相位控制參數(shù)φI:

然后由方程(8)、(9)曲線擬合得到參數(shù)LR、LI、λR、λI的具體數(shù)值和變化規(guī)律.

2 粘彈性有限元

本文采用粘彈性有限元方法，進行方程(7)中傳遞函數(shù)Hij的計算.粘彈性材料的復常數(shù)模量模型形式簡單，在簡諧激勵下能較好地描述粘彈性材料的力學性能［4］.基于復常數(shù)模量模型，可以在頻域內(nèi)建立粘彈性(彈性)－聲場的耦合振動方程［5］:

式中:M為粘彈性(彈性)材料的質(zhì)量矩陣，MA為流體附加質(zhì)量矩陣，CS、CA分別為結(jié)構(gòu)阻尼矩陣、流體阻尼矩陣，δ、f分別為位移響應向量、外載荷向量，K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣.對于粘彈性材料，K為復矩陣;對于彈性材料，K為實矩陣.當流固耦合較弱時，忽略阻尼與流體附加質(zhì)量的影響，方程(12)可轉(zhuǎn)換為

式中，fm、fp分別代表結(jié)構(gòu)外載荷向量、聲載荷向量，質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K滿足:

式中:ρ為結(jié)構(gòu)材料密度，Me、Ke分別為單元質(zhì)量矩陣、單元剛度矩陣，Nδ為形函數(shù)矩陣，本文采用8節(jié)點等參單元.Bδ為應變矩陣，D為彈性矩陣，滿足:

式中:v為泊松比.對于彈性結(jié)構(gòu)，彈性模量E為實常數(shù);對于粘彈性結(jié)構(gòu)，E為復模量，滿足

式中:ER、EI分別為復模量的實部、虛部;η為粘彈性材料的損耗因子，滿足

復模量E與剪切模量G、體積模量K:

當入射聲波已知，則散射表面各節(jié)點處的聲壓向量p均可知，此時可利用方程(13)求得表面各節(jié)點處的結(jié)構(gòu)位移響應向量δ.由諧波假設條件可知，表面位移向量δ與表面速度向量v滿足:

此時，表面法向振動速度向量vn與表面速度向量v滿足:

式中:n為節(jié)點法向矢量矩陣.將vn代入方程(7)可求得傳遞函數(shù)矩陣H.

進行結(jié)構(gòu)固有頻率分析時，方程(13)可轉(zhuǎn)化為

對于彈性結(jié)構(gòu)，方程(21)轉(zhuǎn)化為廣義實特征值問題;對于粘彈性結(jié)構(gòu)或彈性－粘彈性夾層結(jié)構(gòu)，方程(21)為廣義復特征值問題，此時φ是復特征向量，λ=ω2是復特征值.將復特征值λ表示如下:

則第n階模態(tài)損耗因子為

式中:λR、λI是復特征值λ的實部和虛部.

本文采用Fortran自編有限元程序，計算剛性背襯上粘彈性材料的傳遞函數(shù)矩陣H，由方程(6)得到聲阻抗矩陣zn.

3 算例

3.1 算例校核

為校核自編代碼的數(shù)值計算精度.計算了文獻［8］中彈性－粘彈性－彈性夾層板結(jié)構(gòu)自由振動的各階模態(tài)頻率fn、模態(tài)損耗因子ηn，并與文獻［8］中的結(jié)果進行了對比.矩形夾芯板的長寬尺寸為0.304 8 m×0.304 8 m，上、下彈性板的厚度為0.762×10－3m，粘彈性芯層厚度為0.254×10－3m.彈性板的密度為2.737×103kg/m3，彈性模量為6.89×1010N/m2，泊松比為0.3;粘彈性芯層的剪切模量為0.896×106N/m2，密度為0.999×103kg/m3，泊松比為0.5.

表1為本文結(jié)果與文獻［8］結(jié)果的對比.較好的一致性證明:自編代碼的數(shù)值精度基本能滿足粘彈性材料結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)矩陣H的計算要求.

表1 結(jié)果對比Table 1 Results comparison

3.2 數(shù)值模型

本文算例尺寸為500 mm×500 mm×10 mm，材料為3M ISD 112型粘彈性材料的粘彈性板，材料參數(shù)采用5參數(shù)ADF模型［9］進行曲線擬合得到.其中剪切模量G、損耗因子η的頻域擬合值與實驗測量值對比情況如圖2所示.

圖2 3M ISD 112材料屬性Fig.2 3M ISD 112 material characteristics

剛性背襯位于z2表面，z1為聲散射表面.計算中z2表面采用剛性邊界，其余各面均為自由邊界.模型簡圖如圖3所示，粘彈性有限元網(wǎng)格如圖4所示，表面離散點編號及分布情況如圖5所示.

圖3 模型簡圖Fig.3 Schematic illustration of the model

圖4 粘彈性有限元網(wǎng)格Fig.4 Viscoelastic finite element mesh

圖5 表面離散點的分布及編號情況Fig.5 Distribution of dispersing nodes and numbers on surface

3.3 聲阻抗矩陣的計算

計算得到傳遞函數(shù)矩陣H后，可由方程(6)求得聲阻抗矩陣zn.由于圖5中1～40號節(jié)點為邊界點，為忽略邊界的影響，只計算了41～121號節(jié)點.圖6給出了100、500、1 000 Hz時表面聲阻抗矩陣zn的數(shù)值結(jié)果，其中行號、列號1～81，對應于圖5中41～121號節(jié)點.

由圖6可知，粘彈性板的表面聲阻抗矩陣zn為對稱、對角占優(yōu)矩陣.由方程(4)可知，此時模型表面聲阻抗具有較強的非局域特性，且聲阻抗值zij與頻率ω、表面距離rij均有關.

圖6 100、500、1 000 Hz時，|zn|數(shù)值分布情況Fig.6 Distribution of numerical value|zn|at 100，500 and 1 000 Hz

3.4 非局域聲阻抗的代數(shù)模型

由方程(10)可以求得表面局域聲阻抗值zlocn.［100 Hz，1 000 Hz］時，局域聲阻抗值zlocn的計算結(jié)果如圖7所示.由圖可知，局域聲阻抗的幅值隨頻率升高而降低，并且局域聲阻抗的聲阻均為正值，聲抗均為負值.

圖7 局域聲阻抗zlocn的計算結(jié)果Fig.7 Results of acoustic impedance

得到zn、z后，利用方程(8)可求得聲阻密度函數(shù)ρR(rij，ω)、聲抗密度函數(shù)ρI(rij，ω)隨rij的變化曲線.然后采用非線性曲線擬合方法，得到方程(9)中各參數(shù)值.本文采用Origin軟件完成非線性曲線擬合.表2為100、500、1 000 Hz的各擬合參數(shù)值.圖8～10為各頻率下聲阻、聲抗密度函數(shù)的計算值與擬合值的對比，由圖可知曲線擬合具有較好的數(shù)值精度，說明了代數(shù)模型的合理性.為研究粘彈性材料表面聲阻抗的非局域特性提供了有效的研究方法.同時由表2可知，隨著頻率的增大，波長控制參數(shù)λR、λI均減小，這與實際物理現(xiàn)象是一致的.且聲阻、聲抗密度函數(shù)隨著距離的增加，均呈現(xiàn)出負冪指數(shù)的振蕩衰減.

表2 擬合參數(shù)的數(shù)值Table 2 Value of fitted parameters

圖8 100 Hz時，函數(shù)ρR，ρI的結(jié)果對比Fig.8 Results comparison of function ρR，ρIat 100 Hz

圖9 500 Hz時，函數(shù)ρR，ρI的結(jié)果對比Fig.9 Results comparison of function ρR，ρIat 500 Hz

圖10 1 000 Hz時，函數(shù)ρR、ρI的結(jié)果對比Fig.10 Results comparison of function ρR、ρIat 1 000 Hz

4 結(jié)束語

本文將Faverjon針對航空材料聲透射問題所提出的阻抗模型，發(fā)展為適用于粘彈性材料聲散射問題的非局域聲阻抗模型，并將其應用于低頻主動聲吶探測時粘彈性材料表面聲阻抗出現(xiàn)的非局域特性研究方面.

以粘彈性有限元為基礎，針對粘彈性吸聲材料的聲散射問題，完成了聲阻抗矩陣、非局域聲阻抗代數(shù)模型的求解，分析了粘彈性板表面聲阻抗的局域和非局域特性.結(jié)果表明:代數(shù)模型的計算值與擬合值具有很好的一致性.進一步說明了本文所提出的方法的正確性，且具有較好的計算精度.為研究聲阻抗的非局域特性，提供了可行的數(shù)值計算方法.

同時，在下一步工作中將開展粘彈性材料聲阻抗非局域特性的實驗研究，進一步完成本文所提出理論模型和計算方法的驗證.

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