一種基于除余法的數(shù)制轉(zhuǎn)換方法

程鐵良 常巧霞

(鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，鄭州 410121)

數(shù)制是人們利用符號(hào)進(jìn)行計(jì)數(shù)的科學(xué)方法。日常生活中，我們用到的大都是十進(jìn)制的數(shù)。其實(shí)數(shù)制有很多種，在計(jì)算機(jī)中，常要用到二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制的數(shù)，所以計(jì)算機(jī)的許多基礎(chǔ)學(xué)科中都涉及到了進(jìn)制轉(zhuǎn)換的問題。在實(shí)際教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，好多學(xué)生不能正確、熟練地進(jìn)行進(jìn)制轉(zhuǎn)換，或?qū)M(jìn)制轉(zhuǎn)換的概念比較模糊。筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就進(jìn)制轉(zhuǎn)換問題，提出一些思考或建議。

1 傳統(tǒng)的數(shù)制轉(zhuǎn)換方法

在許多教材中，關(guān)于進(jìn)制的轉(zhuǎn)換，一般是這樣的：

1.1 二進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)(按權(quán)求和)

二進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的規(guī)律是相同的：把二進(jìn)制數(shù)(或十六進(jìn)制數(shù))按位權(quán)形式展開多項(xiàng)式和的形式，求其最后的和，就是其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)——簡稱“按權(quán)求和”。例如:

(1)把(1001.01)2轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)

解：(1001.01)2

=1×23+0×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

=8+0+0+1+0.5+0.25

=9.75

(2)把(38A.11)16轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)

解:(38A.11)16

=3×162+8×161+10×160+1×16-1+1×16-2

=768+128+10+0.0625+0.0039

=906.0664

1.2 十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù) (除二取余法)

整數(shù)轉(zhuǎn)換。一個(gè)十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)通常采用除二取余法,即用2連續(xù)除十進(jìn)制數(shù)，直到商為0,逆序排列余數(shù)即可得到――簡稱除二取余法。

例：(1)將25轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)

解: 25÷2=12 余數(shù)1

12÷2=6 余數(shù)0

6÷2=3 余數(shù)0

3÷2=1 余數(shù)1

1÷2=0 余數(shù)1

所以25=(11001)2

1.3 二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

由于4位二進(jìn)制數(shù)恰好有16個(gè)組合狀態(tài),即1位十六進(jìn)制數(shù)與4位二進(jìn)制數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。所以,十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換是十分簡單的。

(1)十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù),只要將每一位十六進(jìn)制數(shù)用對(duì)應(yīng)的4位二進(jìn)制數(shù)替代即可，簡稱位分四位。

例:將(4AF8B)16轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。

解: 4 A F 8 B

0100 1010 1111 1000 1011

所以(4AF8B)16=(1001010111110001011)2

(2)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù),分別向左,向右每四位一組,依次寫出每組4位二進(jìn)制數(shù)所對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)――簡稱四位合一位。

例:將二進(jìn)制數(shù)(111010110)2轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)

解: 0001 1101 0110

1 D 6

所以(111010110)2=1D6H

轉(zhuǎn)換時(shí)注意最后一組不足4位時(shí)必須加0補(bǔ)齊4位。

2 數(shù)制轉(zhuǎn)換分析

2.1 數(shù)制的概念

首先，要理解數(shù)制的概念。數(shù)制是用一組固定的符號(hào)和統(tǒng)一的規(guī)則來表示數(shù)值的方法。其基本術(shù)語有：數(shù)碼：數(shù)制中表示基本數(shù)值大小的不同數(shù)字符號(hào)?；鶖?shù)：數(shù)制所使用數(shù)碼的個(gè)數(shù)。位權(quán)：數(shù)制中某一位上的1所表示數(shù)值的大小。

對(duì)于十進(jìn)制來說，是以10為基數(shù)，有10個(gè)數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。小于10的是個(gè)位，從0～9，一位數(shù)，然后是十位，從10到99，2位數(shù)，依此類推百位、千位...對(duì)于二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制來說基數(shù)分別是2、8、16，它們的個(gè)位數(shù)不同，二進(jìn)制0～1是個(gè)位，八進(jìn)制0～7，十六進(jìn)制0～F(15)，超過這些才能進(jìn)位到下一位。十進(jìn)制逢十進(jìn)一，八進(jìn)制逢八進(jìn)一，這樣八進(jìn)制里只能出現(xiàn)0～7，如果個(gè)位到8了，就會(huì)自動(dòng)進(jìn)位，這樣第二位變成1，第一位的數(shù)都進(jìn)上去了，就變成0了，因此八進(jìn)制超過8的數(shù)用兩位表示。

2.2 按權(quán)展開式

對(duì)于任何一個(gè)數(shù)來說，都可以表示成加法的形式：

例如：256=2×100+5×10+6×1

這種方法叫按權(quán)展開，意思就是從高到低一級(jí)一級(jí)展開成加法的形式；對(duì)于一個(gè)八進(jìn)制的數(shù)來說也是這樣，只是在基數(shù)那兒有些區(qū)別，八進(jìn)制是1、8、64、…

例如：271=2×64+7×8+1×1

對(duì)于十六進(jìn)制來說，基數(shù)是1、16、256、4096…

例如：35=3×16+5×1

對(duì)于二進(jìn)制來說，基數(shù)是1、2、4、8、16…

例如：110=1×4+1×2+0×1

總結(jié)一下基數(shù)，就是從0次方開始，然后一次方、二次方…相當(dāng)于個(gè)位、十位、百位…。

2.3 數(shù)制轉(zhuǎn)換的實(shí)質(zhì)

數(shù)制轉(zhuǎn)換相當(dāng)于把數(shù)重新排一下，一般情況下我們是用十進(jìn)制，對(duì)于一個(gè)數(shù)來說，個(gè)位表示幾個(gè)、十位表示幾十，百位表示幾百，這樣就很方便地知道一個(gè)數(shù)有多大。

例如255，我們知道這個(gè)數(shù)有二百、五十、五個(gè)，也就是右邊起，第一位是個(gè)位表示有幾個(gè)，這兒有五個(gè)；第二位是十位表示有幾十，這兒有五十；第三位是百位，表示有幾百，這兒有二百，總數(shù)共是255個(gè)。

對(duì)于八進(jìn)制來說，總數(shù)是255個(gè)的時(shí)候，寫成八進(jìn)制的數(shù)是377，分析一下是怎么回事： 從右邊開始，第一位是個(gè)位，這兒是7個(gè)。由于是八進(jìn)制，第二位就不是十位了，而是八了，這兒有7個(gè)八也就是五十六。同樣第三位也不是百位，而是六十四，這兒有3個(gè)六十四也就是一百九十二，總數(shù)仍然是255。

從這兒可以看出，總數(shù)相同的時(shí)候，表示成不同數(shù)制，數(shù)也不一樣，關(guān)鍵是每個(gè)數(shù)位上的基數(shù)不同，例如對(duì)于十進(jìn)制來說，第二位是十位，這個(gè)位置上的數(shù)一個(gè)頂十個(gè)，而對(duì)于八進(jìn)制的第二位，這個(gè)位置上的數(shù)一個(gè)只能頂八個(gè)。

數(shù)制轉(zhuǎn)換的時(shí)候只是把數(shù)按要求重新排列一下，比如轉(zhuǎn)成八進(jìn)制，就按八進(jìn)制的要求排列，二進(jìn)制就按二進(jìn)制的要求排列。

八進(jìn)制各個(gè)數(shù)位是：1、8、64、512…相當(dāng)于十進(jìn)制的個(gè)、十、百、千，按照8的n次方往后排；二進(jìn)制各個(gè)數(shù)位是：1、2、4、8、16…相當(dāng)于十進(jìn)制的個(gè)、十、百、千、萬，按照2的n次方往后排；十六進(jìn)制的分別是：1、16、256…

3 另一種數(shù)制轉(zhuǎn)換方法

轉(zhuǎn)換的時(shí)候，必須要按照上面的要求來重新排列數(shù)字，基本方法是找出最近的一個(gè)數(shù)位，然后用除余法找出各個(gè)位置上的數(shù)。比如：

3.1 十進(jìn)制轉(zhuǎn)為八進(jìn)制

以255為例。離255最近的數(shù)是第三位64，用255除以64，得3余63，第三位上求出來是3；用余數(shù)63除以第二位8，得7余7，第二位上求出來是7；用余數(shù)7除以第一位1，得7余0，第一位上是7；所有的數(shù)都擺好了，結(jié)果是377。

3.2 十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制

以15為例。跟數(shù)位表對(duì)一下，最近的是8，除一下得1余7，第四位是1；用余數(shù)7除以4，得1余3，第三位是1；用余數(shù)3除以2，得1余1，第二位是1；用余數(shù)1除以1，得1余0，第一位是1；所有的數(shù)位都排好，結(jié)果是1111。

當(dāng)然，在實(shí)際操作中，兩種數(shù)制轉(zhuǎn)換方法不是截然分開的，而是相互結(jié)合、取長補(bǔ)短的?？傊?，學(xué)無定法，貴在動(dòng)腦。只要勤動(dòng)手，肯動(dòng)腦，一切問題都可以迎刃而解。

[1]孟林.計(jì)算機(jī)文化基礎(chǔ)教程[M].成都:電子科技大學(xué)出版社，2004.

[2]北大數(shù)學(xué)力學(xué)系.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，2000.