高升阻比自然層流翼型多點(diǎn)/多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

鄧 磊，喬志德，楊旭東，熊俊濤

(1.西北工業(yè)大學(xué)翼型、葉柵空氣動(dòng)力學(xué)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710072;2.機(jī)械與航空與太空工程系，加州大學(xué)歐文分校，CA 92697-3975)

0 引言

自人類實(shí)現(xiàn)動(dòng)力飛行之后，減小阻力一直是飛行器設(shè)計(jì)的重要課題之一。20世紀(jì)30年代之后，自然層流(NLF)翼型的研究和設(shè)計(jì)引起了研究者的很大的興趣，如 NACA6-系列翼型［1］及其后發(fā)展的 NLF(1)-0414F［2］和 NLF(1)-0415F［3］等。

自然層流翼型的設(shè)計(jì)方法可以分為兩類:一種是由壓力或者速度分布的反設(shè)計(jì)方法［4-6］。這種方法計(jì)算量小，但是難點(diǎn)是目標(biāo)壓力分布的設(shè)計(jì)且不一定有一個(gè)合適的翼型對(duì)應(yīng)目標(biāo)壓力分布，另外也難以進(jìn)行多點(diǎn)/多目標(biāo)的設(shè)計(jì)。另一種數(shù)值優(yōu)化方法［7-9］卻可以克服反設(shè)計(jì)中的這些困難。數(shù)值優(yōu)化方法可以用于滿足某些氣動(dòng)或者外形約束條件的設(shè)計(jì)中，這些約束使設(shè)計(jì)目標(biāo)滿足的同時(shí)而不損失其他重要的特性。數(shù)值優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可以進(jìn)行多點(diǎn)/多目標(biāo)的設(shè)計(jì)，缺點(diǎn)是計(jì)算花費(fèi)大，特別是進(jìn)行更多設(shè)計(jì)變量和非線性優(yōu)化時(shí)尤為突出。

基于響應(yīng)面方法［10］的優(yōu)化算法由于其高效、實(shí)用的特點(diǎn)廣泛使用于各個(gè)領(lǐng)域。響應(yīng)面模型一般使用二階多項(xiàng)式，如果使用完全的二階多項(xiàng)式則構(gòu)造模型所需的試驗(yàn)次數(shù)和設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)的平方成正比，限制了設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)。而如果使用不含二階交叉項(xiàng)的簡(jiǎn)化模型，則可以大大減少構(gòu)造模型需要的試驗(yàn)次數(shù)，使進(jìn)行更多設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化成為可能。以前的研究多將此方法應(yīng)用于跨音速和超音速的翼型優(yōu)化中［11-14］。

在進(jìn)行單設(shè)計(jì)點(diǎn)優(yōu)化中，在設(shè)計(jì)點(diǎn)上設(shè)計(jì)變量常常可以得到很好的優(yōu)化而在非設(shè)計(jì)點(diǎn)翼型性能會(huì)迅速變差。為此常需要第二設(shè)計(jì)點(diǎn)乃至第三設(shè)計(jì)點(diǎn)等，以保證在優(yōu)化設(shè)計(jì)中非設(shè)計(jì)點(diǎn)的性能。本文由單點(diǎn)/單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)開始，分析了設(shè)計(jì)翼型性能的氣動(dòng)性能，并在此基礎(chǔ)上選擇第二及第三設(shè)計(jì)點(diǎn)，并進(jìn)行了多點(diǎn)/多目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 流場(chǎng)分析和轉(zhuǎn)捩位置計(jì)算

在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，構(gòu)造響應(yīng)面模型需要大量的流場(chǎng)計(jì)算，帶來巨大的計(jì)算花費(fèi)。本文流場(chǎng)分析程序使用XFOIL［15］，對(duì)于粘性流體其采用了面元的方法和邊界層理論，計(jì)算快捷方便，適合于低速翼型的快速分析和設(shè)計(jì)。本文使用XFOIL程序來進(jìn)行流場(chǎng)分析和轉(zhuǎn)捩位置的計(jì)算，大大減小了計(jì)算時(shí)間。文獻(xiàn)［16］用XFOIL計(jì)算了NLF(1)-0416和NLF(1)-0215F翼型并和試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較，指出XFOIL程序可以用于優(yōu)化設(shè)計(jì)中計(jì)算不同外型的翼型氣動(dòng)性能。本文的設(shè)計(jì)結(jié)果也證明了這一點(diǎn)。

2 數(shù)值優(yōu)化方法

2.1 響應(yīng)面方法

響應(yīng)面方法是采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)理論，對(duì)給定的設(shè)計(jì)點(diǎn)集合進(jìn)行試驗(yàn)，得到目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面模型，來預(yù)測(cè)非設(shè)計(jì)點(diǎn)的響應(yīng)的值。如果采用完全的二階多項(xiàng)式作為響應(yīng)面模型，則可以表述為:

其中:nv為設(shè)計(jì)變量數(shù);ns為試驗(yàn)次數(shù)，一般取為模型包含項(xiàng)數(shù) 的1.5 ～3倍［17］。由式(1)可以看出，nrc=(nv+1)(nv+2)/2，即ns與nv的平方成正比。比如如果進(jìn)行26個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化設(shè)計(jì)，則構(gòu)造一次響應(yīng)面模型需要計(jì)算流場(chǎng)700次左右，大大限制了進(jìn)行多設(shè)計(jì)變量和多設(shè)計(jì)點(diǎn)設(shè)計(jì)的可能。

如果采用不含二階交叉項(xiàng)的簡(jiǎn)化模型。則模型可以描述為:

可以看出，nrc=2nv+1，如同樣進(jìn)行26個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化，構(gòu)造簡(jiǎn)化模型只需計(jì)算流場(chǎng)80次左右，大大減小了試驗(yàn)次數(shù)［12］。完全多項(xiàng)式模型和簡(jiǎn)化模型均可以用最小二乘法來求解;試驗(yàn)設(shè)計(jì)滿足D-優(yōu)化準(zhǔn)則，這種試驗(yàn)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則廣泛用于科研與生產(chǎn)實(shí)際中［18］。

2.2 設(shè)計(jì)變量

翼型外形的變化擾動(dòng)是通過基本形函數(shù)bk的線性組合來實(shí)現(xiàn)的:

其中:δk取值(-1，0，1)，γk為設(shè)計(jì)變量控制因子，δkγk為控制變量;bk為形函數(shù)，在控制點(diǎn)xk處取最大值。

本文的研究中，共有26個(gè)設(shè)計(jì)變量，上下表面各13個(gè)，其 x 方向位置分別為:0.03，0.06，0.13，0.20，0.27，0.40，0.50，0.60，0.73，0.80，0.87，0.94，0.97。

bk定義為［16］:

2.3 目標(biāo)函數(shù)

一般的優(yōu)化問題可以描述為［19］:

對(duì)多點(diǎn)/多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)，本文通過“統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)”的方法，將多個(gè)目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一到一個(gè)目標(biāo)函數(shù)中:

其中:f為統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)，q為分目標(biāo)的個(gè)數(shù)，ωj為第j項(xiàng)指標(biāo)根據(jù)其重要性給出的權(quán)值，frj為第j項(xiàng)指標(biāo)通過“轉(zhuǎn)化設(shè)計(jì)目標(biāo)法”計(jì)算的無量綱目標(biāo)函數(shù)值，在(0～1)之間。權(quán)值的選擇，可能對(duì)結(jié)果有較大的影響。

構(gòu)造完響應(yīng)面模型并形成適當(dāng)?shù)淖顑?yōu)化問題之后，就需要用數(shù)學(xué)規(guī)劃來求出優(yōu)化解。本文使用BOX復(fù)合形搜索法［20］來進(jìn)行搜索，這種方法對(duì)帶約束的優(yōu)化問題有很好的魯棒性。

3 結(jié)果及分析

本文使用簡(jiǎn)化的二階多項(xiàng)式模型，上下表面共26個(gè)設(shè)計(jì)變量，構(gòu)造一次響應(yīng)面模型計(jì)算流場(chǎng)80次。以NLF(1)-0416和Eppler387為原始翼型，進(jìn)行高升阻比優(yōu)化設(shè)計(jì)，并要求設(shè)計(jì)翼型最大厚度不小于原始翼型。

3.1 NLF(1)-0416單設(shè)計(jì)點(diǎn)/單設(shè)計(jì)目標(biāo)設(shè)計(jì)

首先進(jìn)行基本設(shè)計(jì)點(diǎn)的單設(shè)計(jì)點(diǎn)的設(shè)計(jì)，目標(biāo)函數(shù):最大化(CL/CD)。設(shè)計(jì)狀態(tài)為:M1=0.3，基于弦長(zhǎng)的 Re1=6×106，CL不小于 0.6，選擇設(shè)計(jì)迎角 α =1°。圖1為優(yōu)化前后翼型壓力分布和外形的比較，可以看出CL有所增加，翼型外形變化不大，厚度基本保持不變。圖2為翼型特性比較，可以看出在設(shè)計(jì)點(diǎn)上，翼型的CL、CD及CL/CD均得到了改善，特別是CL/CD的最大值可以達(dá)到220左右，但在非設(shè)計(jì)點(diǎn)，如 CL＜0.6和CL＞1.4時(shí)翼型性能比原始翼型差。同時(shí)從轉(zhuǎn)捩位置的曲線上可以看出，上表面轉(zhuǎn)捩位置均好于原始翼型，下表面轉(zhuǎn)捩位置在設(shè)計(jì)點(diǎn)之前差于原始翼型，而這個(gè)位置和阻力差于原始的位置相吻合，也說明了自然層流翼型的阻力特性中轉(zhuǎn)捩位置的重要性。

3.2 NLF(1)-0416兩設(shè)計(jì)點(diǎn)/兩目標(biāo)設(shè)計(jì)

圖1 單點(diǎn)設(shè)計(jì)翼型外形和壓力分布比較Fig.1 Comparison of airfoil shape and pressure for single-point design

圖2 單點(diǎn)設(shè)計(jì)時(shí)翼型性能比較Fig.2 Comparison of the performance for single-point design

為改善3.1中，大攻角時(shí)的升力特性，增加第二個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn):M2=0.16，Re2=3 ×106，α2=12°，目標(biāo)函數(shù):最大化(CL)。兩個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)權(quán)值分別為0.6和0.4。圖3為翼型壓力分布和外形的比較?？梢钥闯鐾庑蔚淖兓∮?.1中的設(shè)計(jì)結(jié)果。圖4為設(shè)計(jì)翼型和初始翼型的性能比較?？梢钥闯?，大攻角時(shí)升力系數(shù)特性明顯改善，阻力系數(shù)在第一設(shè)計(jì)點(diǎn)之后和原始翼型變化不大，升阻比系數(shù)優(yōu)化的幅度小于3.1。同時(shí)可以看出當(dāng)CL＜0.4時(shí)，阻力系數(shù)相較于原始翼型增加。

3.3 NLF(1)-0416三設(shè)計(jì)點(diǎn)/三目標(biāo)設(shè)計(jì)

為改善3.2中CL之前的阻力特性，增加第三設(shè)計(jì)點(diǎn) M3=0.4，Re2=6 ×106，α3=-2°，目標(biāo)函數(shù):最小化(CD)。三個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)權(quán)值分別為0.5、0.3和0.2。圖5為壓力分布和翼型外形比較?？梢钥闯鲈O(shè)計(jì)翼型的下表面和原始翼型基本吻合，外形的變化主要在上表面。圖6為翼型特性比較。可以看出，升力增加的幅度變小，而只在CL＞0.2時(shí)，阻力大于原始翼型;力矩系數(shù)比原始翼型稍有增加;上表面的轉(zhuǎn)捩位置明顯優(yōu)于原始翼型。將3.1～3.3設(shè)計(jì)翼型在第一設(shè)計(jì)點(diǎn)時(shí)的氣動(dòng)性能總結(jié)如表1。

圖3 兩點(diǎn)設(shè)計(jì)第一設(shè)計(jì)點(diǎn)翼型和壓力分布比較Fig.3 Comparison of airfoil shape and pressure distribution at condition I for two-point design

圖4 兩點(diǎn)設(shè)計(jì)第一設(shè)計(jì)點(diǎn)狀態(tài)時(shí)翼型性能比較Fig.4 Comparison of the performance at condition I for two-point design

圖5 三點(diǎn)設(shè)計(jì)第一設(shè)計(jì)點(diǎn)翼型和壓力分布比較Fig.5 Comparison of airfoil shapes and pressure distributions at condition I for three-point design

圖6 三點(diǎn)設(shè)計(jì)第一設(shè)計(jì)點(diǎn)狀態(tài)時(shí)翼型性能比較Fig.6 Comparison of the performance at condition I for three-point design

表1 設(shè)計(jì)結(jié)果在第一設(shè)計(jì)點(diǎn)時(shí)的性能比較Table1 Comparison of aerodynamic performance at condition I

為驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)方法，對(duì)三點(diǎn)設(shè)計(jì)結(jié)果和初始翼型作了CFD計(jì)算，計(jì)算網(wǎng)格448×112，壁面網(wǎng)格320，尾跡64，第一層網(wǎng)格距壁面1×10-6，湍流模型為S-A模型，轉(zhuǎn)捩位置使用Xfoil計(jì)算的轉(zhuǎn)捩位置;計(jì)算狀態(tài)M=0.3，Re=6×106。圖7為CFD計(jì)算結(jié)果，可以看出，在升阻比優(yōu)化的同時(shí)，升力特性和阻力特性均得到了改善，但是力矩系數(shù)比初始值要大。

圖7 NLF(1)-0416翼型優(yōu)化結(jié)果CFD計(jì)算比較Fig.7 Comparison of CFD results of NLF(1)-0416 and new designed airfoil

3.4 Eppler387翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)

Eppler翼型在低雷諾數(shù)時(shí)上表面中部會(huì)出現(xiàn)分離氣泡［21］。本文以Eppler387翼型作為初始翼型，進(jìn)行低雷諾數(shù)低馬赫數(shù)的升阻比優(yōu)化設(shè)計(jì)，并保持翼型的最大厚度不變。

設(shè)計(jì)狀態(tài):M=0.13，Re=0.46×106

設(shè)計(jì)點(diǎn)、目標(biāo)函數(shù)和權(quán)值如下:

圖8為翼型外形和第一設(shè)計(jì)點(diǎn)時(shí)壓力分布的比較，設(shè)計(jì)翼型最大相對(duì)厚度0.09%，與初始翼型相同，由壓力分布可以看出，新翼型推遲了層流分離氣泡的產(chǎn)生。圖9為翼型氣動(dòng)性能比較。設(shè)計(jì)翼型的升力系數(shù)比原始翼型有較大的增加，同時(shí)阻力系數(shù)在升力系數(shù)大于0.4之后也得到了優(yōu)化;上表面轉(zhuǎn)捩位置得到了改善，升力系數(shù)0.4之前的阻力增加是由于下表面轉(zhuǎn)捩位置差于原始翼型造成的，力矩系數(shù)比原始翼型有所增加。升阻比在第一設(shè)計(jì)點(diǎn)由94.4增加到117.9，第二設(shè)計(jì)點(diǎn)是最大升阻比則由112.3增加到129.2。

圖8 Eppler翼型優(yōu)化第一設(shè)計(jì)點(diǎn)翼型和壓力分布比較Fig.8 Comparison of airfoil shapes and pressure distributions at condition I for three-point design

圖9 三點(diǎn)設(shè)計(jì)第一設(shè)計(jì)點(diǎn)狀態(tài)時(shí)翼型性能比較Fig.9 Comparison of the performances at condition I for three-point design

4 結(jié)論

1)本文提供了一個(gè)有效、實(shí)用的多點(diǎn)/多目標(biāo)自然層流翼型高升阻比優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。從設(shè)計(jì)結(jié)果可以看出，XFOIL可以進(jìn)行有效地應(yīng)用于翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)中，大大減小了計(jì)算花費(fèi)。

2)本文將響應(yīng)面方法成功地用于自然層流翼型的高升阻比優(yōu)化設(shè)計(jì)中。簡(jiǎn)化模型減小了構(gòu)造模型中的試驗(yàn)次數(shù)。

3)分析了由單點(diǎn)設(shè)計(jì)的結(jié)果提出第二、第三設(shè)計(jì)點(diǎn)和目標(biāo)函數(shù)的方法。計(jì)算了設(shè)計(jì)翼型和原始翼型的氣動(dòng)性能，比較了單點(diǎn)設(shè)計(jì)和多點(diǎn)設(shè)計(jì)結(jié)果，證明第二、第三設(shè)計(jì)點(diǎn)有效地保證了設(shè)計(jì)結(jié)果在非設(shè)計(jì)點(diǎn)的性能。

4)Eppler387翼型設(shè)計(jì)表明，本文的方法在升阻比優(yōu)化的同時(shí)，推遲了上表面層流分離氣泡的產(chǎn)生。

［1］ABBOTT I H;VON DOENHOFF，ALBERT E，STIVERS L S Jr.Summary of airfoil data［R］.NACA Report.824，1945.(Supersedes NACA WR L-560)

［2］SOMERS D M.Subsonic natural-laminar-flow airfoils.natural laminar flow and laminar flow control［M］.Springer-Verlag New York，Inc.，1992:143-176

［3］VIKEN J K，VIKEN S A，et al.Design of the low speed NLF(1)-0414F and the high speed HSNLF(1)-0213 airfoils with high-lift system［R］.NASA CP-2487，1987:637-671.

［4］SRILATHA K R，DWARAKANATH G S.Design of a natural laminar flow airfoil for a light aircraft［J］.Journal of Aircraft.1990，27(11):966-968.

［5］GREEN B E.An approach to the constrained design ofnatural laminar flow airfoils［R］.NASA CR-201686，1997.

［6］ASHOK G，MICHAEL S S.Low speed NLF airfoils:case study in inverse airfoil design［J］.Journalof Aircraft，2001，38(2):57-63.

［7］HAROLD Y.Multi-pointdesign and optimization ofa natural laminar flow airfoil for a mission adaptive compliant wing［R］.AIAA Paper 2008-293.

［8］JENDER L，ANTONY J.Natural-laminar-flow airfoil and wing design by adjoint method and automatic transition prediction［R］.AIAA Paper 2009-897，2009.

［9］DRIVER J，ZINGG D W.Optimized natural-laminar flow airfoil［R］.AIAA Paper 2006-247，2006.

［10］MYERS R H，MONTGOMERY D C.Response surface methodology:process and product optimization using designed experiments［M］.New York:Wiley，2002:1-78，351-401.

［11］GIUNTA A A.Aircraft multidisciplinary design optimization using design of experimental theory and response surface modeling methods［D］.Dissertation，Department of Aerospace Engineering，Virginia Polytechnic Institute and State University.Blacksburg，VA，1997.

［12］JAEKWON A，KWANJUNG Y，LEE D H.Two-pointdesign optimization of transonic airfoil using response surface methodology［R］.AIAA Paper 99-0403，1999.

［13］熊俊濤，喬志德.基于響應(yīng)面法的跨音速翼型氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.試驗(yàn)流體力學(xué)，2005，19(1):104-108.

［14］熊俊濤，喬志德，韓忠華.響應(yīng)面方法在跨聲速翼型氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究［J］.西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，24(2):232-236.

［15］DRELA M.XFOIL:an analysis and design system for low reynolds number airfoils［M］.Lecture notes in engineering(Volume 54， Low Reynolds Number Aerodynamics)，Springer-Verlag，New York，1989.

［16］ASHOK G，MICHAEL S S.Low-speed natural-laminar-flow airfoils:case study in inverse airfoil design［J］，Journal of Aircraft，2001，38(1):57-63.

［17］AHN J，KIM H J，LEE D H，RHO O H.Response surface method for airfoil design in transonic flow［J］.Journal of Aircraft，2001，38(2):231-238.

［18］任露泉.試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)與分析［M］，高等教育出版社，2003.

［19］VANDERPLAATS G N.Numerical optimization techniques for engineering design［M］.McGraw-Hill Book Company，New York，NY，1984.

［20］盧險(xiǎn)峰.最優(yōu)化方法應(yīng)用基礎(chǔ)［M］.上海:同濟(jì)大學(xué)出版社，2003:107-137.

［21］BRYAN D M，MICHAEL S S.Surface oilflow measurements on several airfoils at low reynolds numbers［R］.AIAA 2003-4067.