基于平方根無(wú)跡卡爾曼濾波的數(shù)字預(yù)失真算法?

宋勇，胡波，李在清

（1.上海貝爾股份有限公司，上海201206；2.復(fù)旦大學(xué)電子工程系，上海200433）

基于平方根無(wú)跡卡爾曼濾波的數(shù)字預(yù)失真算法?

宋勇1，2，胡波2，李在清1

（1.上海貝爾股份有限公司，上海201206；2.復(fù)旦大學(xué)電子工程系，上海200433）

射頻功率放大器工作在近飽和點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的非線性效應(yīng)是制約其性能提升的主要因素。提出了一種基于非線性無(wú)跡卡爾曼濾波的數(shù)字預(yù)失真算法，可有效克服此非線性效應(yīng)的影響。針對(duì)預(yù)失真算法的狀態(tài)方程為線性的特點(diǎn)，優(yōu)化了無(wú)跡卡爾曼濾波算法以提高運(yùn)算效率。仿真結(jié)果表明，所提算法性能優(yōu)于傳統(tǒng)的基于最小均方的數(shù)字預(yù)失真算法。

功率放大器；數(shù)字預(yù)失真；記憶效應(yīng)；無(wú)跡卡爾曼濾波

1 引言

在無(wú)線通信中，非線性系統(tǒng)的線性化已經(jīng)成為微波及射頻領(lǐng)域面臨的一個(gè)很有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。隨著非恒包絡(luò)調(diào)制方案的應(yīng)用，對(duì)高功率放大器線性度的要求越來(lái)越迫切。這是因?yàn)榉蔷€性會(huì)導(dǎo)致幅度及相位的失真、信號(hào)間的干擾及鄰信道的干擾等，從而降低頻譜效率。

預(yù)失真技術(shù)是一種主流的線性化技術(shù)，其以穩(wěn)定、高效、寬帶寬與自適應(yīng)等優(yōu)勢(shì)成為目前研究的熱點(diǎn)［1-3］。它一般通過(guò)對(duì)功率放大器的逆特性進(jìn)行離線估計(jì)以達(dá)到線性化效果。如果要進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)失真，那么需要實(shí)時(shí)調(diào)整預(yù)失真器的特性來(lái)跟蹤功率放大器特性的變化，如設(shè)備老化、溫度變化和電壓變化等?？柭鼮V波算法是在非平穩(wěn)系統(tǒng)和實(shí)時(shí)估計(jì)中應(yīng)用最廣泛的自適應(yīng)濾波技術(shù)之一。該算法最初應(yīng)用于線性系統(tǒng)，后來(lái)演化出了幾種處理實(shí)際系統(tǒng)中非線性濾波問(wèn)題的次優(yōu)近似算法，如擴(kuò)展卡爾曼濾波［4］等。無(wú)跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Fil-ter，UKF）就是近年來(lái)興起的一種在處理這種非線性變換方面具有良好性能的算法［5，6］，在衛(wèi)星定位、組合導(dǎo)航、目標(biāo)跟蹤等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［7］。但據(jù)作者所知，將其應(yīng)用于抑制功率放大器的非線性方面的研究還非常少見(jiàn)。

為了抑制這種非線性失真，本文提出了一種基于平方根UKF（Square Root UKF，SR-UKF）的數(shù)字預(yù)失真（Digital Predistortion，DPD）算法。該算法以誤差協(xié)方差陣的平方根矩陣為中間量進(jìn)行迭代計(jì)算，使之具有很好的數(shù)值運(yùn)算特性；并保證了誤差協(xié)方差陣的半正定性，避免了計(jì)算發(fā)散的可能。此外，利用其狀態(tài)方程的線性特點(diǎn)改進(jìn)了算法，在不降低性能的前提下提高了運(yùn)算效率。

2 系統(tǒng)模型

2.1 基于直接學(xué)習(xí)的預(yù)失真器

圖1為本文的基于直接學(xué)習(xí)法的預(yù)失真算法的結(jié)構(gòu)圖。輸入信號(hào)xk首先通過(guò)預(yù)失真器得到信號(hào)uk，uk再經(jīng)過(guò)功率放大器后，就得到輸出信號(hào)我們希望非線性設(shè)備的輸盡量接近理想信號(hào)yk，yk是輸入信號(hào)xk的一個(gè)延遲并放大的版本（記為，此處為了表達(dá)簡(jiǎn)便，假定功率放大器的放大倍數(shù)為1。在功率放大器的輸出端計(jì)算輸出誤差ek后，反饋給預(yù)失真器，通過(guò)預(yù)失真算法，更新一次預(yù)失真器的系數(shù)，其中反饋誤差

圖1中的功率放大器同時(shí)考慮了非線性和記憶效應(yīng)的影響，相應(yīng)的預(yù)失真器模型也考慮了包含交叉項(xiàng)在內(nèi)的非線性項(xiàng)以及記憶效應(yīng)。

圖中wk是一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的向量，代表非線性預(yù)失真器的系數(shù)；G是一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)′的向量，代表功率放大器非線性部分的系數(shù)。預(yù)失真算法的最終目標(biāo)就是經(jīng)過(guò)迭代獲得預(yù)失真系數(shù)w=［w1，w2，…，wL］的最優(yōu)值以最小化誤差ek。

2.2 預(yù)失真器模型

Volterra級(jí)數(shù)在帶記憶非線性系統(tǒng)的模擬與分析中得到了廣泛應(yīng)用［8］。一般形式的Volterra預(yù)失真器其輸入輸出信號(hào)間的關(guān)系可以描述為

式中，hn（i1，i2，…，in）是Volterra核，此處代表預(yù)失真系數(shù)；xk-i1xk-i2…xk-in代表考慮了記憶效應(yīng)交叉項(xiàng)的輸入非線性項(xiàng)；M代表記憶深度。

本文采用了Volterra級(jí)數(shù)的簡(jiǎn)化模型，主要從以下3個(gè)方面對(duì)一般形式的Volterra預(yù)失真器進(jìn)行了簡(jiǎn)化，在幾乎不降低性能的前提下，大大減少了預(yù)失真項(xiàng)的數(shù)目。

（1）去掉直流項(xiàng)和偶次項(xiàng)，只保留奇次項(xiàng)；

（2）利用Volterra核的對(duì)稱性，合并預(yù)失真器模型中的冗余項(xiàng)；

（3）運(yùn)用簡(jiǎn)化算法，去掉Volterra模型中那些模很小的核，即將下式中的第l項(xiàng)記為hl（i1，i2，…，il），其中l(wèi)=1，3，…，2d+1。設(shè)定閾值λ∈｛1，2，…，M｝。當(dāng)l=1時(shí)，hl（il）=hl（il）；當(dāng)l≥3時(shí)，?s，t∈｛1，2，…，l｝，如果max則令否則hl（i1，i2，…，il）=hl（i1，i2，…，il）。

3 基于UKF的預(yù)失真器

3.1 數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程

為了改善卡爾曼濾波處理非線性問(wèn)題的效果，Julier等人提出了基于無(wú)跡（Unscented）變換的UKF方法［5］。該方法在處理狀態(tài)方程和觀測(cè)方程時(shí)，首先進(jìn)行無(wú)跡變換，然后使用無(wú)跡變換后的變量進(jìn)行卡爾曼濾波估計(jì)，以減小估計(jì)的誤差。UKF采用了卡爾曼線性濾波框架，采樣形式為確定性采樣，其采樣的粒子點(diǎn)（Sigma點(diǎn)）個(gè)數(shù)很少，具體個(gè)數(shù)由所選擇的采樣策略決定，最常用的是2L+1個(gè)Sigma點(diǎn)的對(duì)稱采樣。

UKF相對(duì)于其它濾波算法如EKF、PF等在性能和運(yùn)算量上具有整體優(yōu)勢(shì)。它實(shí)質(zhì)是利用了加權(quán)統(tǒng)計(jì)回歸技術(shù)來(lái)解決此類非線性問(wèn)題，即先利用其先驗(yàn)分布生成一組確定性的采樣點(diǎn)來(lái)獲得系統(tǒng)的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量，再用線性回歸變換后的Sigma點(diǎn)表示狀態(tài)的后驗(yàn)分布。UKF算法線性化誤差小，不需要模型的具體解析表達(dá)形式，因而更加易于實(shí)現(xiàn)。

在UKF-DPD算法中，待求解的未知參量是預(yù)失真器的系數(shù)，因此它作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量w=［w1，w2，…，wL］。在相鄰兩個(gè)時(shí)刻，w的數(shù)值基本不變，只有較小的擾動(dòng)，因此系統(tǒng)狀態(tài)方程為

式中，qk為1×L的向量，代表系統(tǒng)的狀態(tài)噪聲，它與系統(tǒng)的收斂性能密切相關(guān)。

系統(tǒng)的觀測(cè)方程為

式中，xk代表數(shù)字預(yù)失真器的輸入信號(hào)，yk代表功率放大器的輸出信號(hào)，rk代表系統(tǒng)的觀測(cè)噪聲代表了預(yù)失真系統(tǒng)和功率放大器系統(tǒng)的非線性及記憶效應(yīng)。

3.2 改進(jìn)的SR-UKF濾波算法

SR-UKF是UKF算法的一種改進(jìn)［9］。對(duì)于普通的UKF算法，迭代過(guò)程中輸出信號(hào)yk的方差Py通常為非負(fù)定陣，但由于迭代中計(jì)算誤差等因素的影響，會(huì)導(dǎo)致Py負(fù)定或不對(duì)稱，使濾波器發(fā)散，影響了濾波算法的穩(wěn)定性。SR-UKF算法利用Cholesky分解得到Py的平方根矩陣Sy，用Sy來(lái)代替Py進(jìn)行遞推計(jì)算可以保證Py的非負(fù)定性和數(shù)值的穩(wěn)定性，實(shí)現(xiàn)有效濾波。

標(biāo)準(zhǔn)SR-UKF考慮的是狀態(tài)方程與觀測(cè)方程均為非線性的情況，在狀態(tài)方程更新階段狀態(tài)變量和誤差協(xié)方差陣的預(yù)測(cè)都基于無(wú)跡變換來(lái)實(shí)現(xiàn)，即由k-1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值和估計(jì)誤差協(xié)方差陣來(lái)產(chǎn)生Sigma點(diǎn)，所得采樣點(diǎn)經(jīng)狀態(tài)方程的傳播后生成更新采樣點(diǎn)，然后根據(jù)更新采樣點(diǎn)和相應(yīng)的權(quán)值來(lái)計(jì)算狀態(tài)變量的預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差陣。從式（3）可以看出，數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性方程，而只有觀測(cè)方程為非線性方程。針對(duì)這一特點(diǎn)，可以考慮在狀態(tài)方程的更新階段采用標(biāo)準(zhǔn)SRKF算法來(lái)實(shí)現(xiàn)，然后利用所求得的預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差陣來(lái)構(gòu)造采樣Sigma點(diǎn)，代入觀測(cè)方程，而后續(xù)的觀測(cè)方程更新與SR-UKF濾波算法一致。

改進(jìn)的SR-UKF算法大大提升了運(yùn)算效率，同時(shí)又保持了平方根濾波算法高可靠性和高精度的特點(diǎn)，從而可以獲得可靠的預(yù)失真系數(shù)。

本文中基于UKF的DPD算法的詳細(xì)步驟如下所述，其中矩陣SQ，k∈R RL×L、SR，k∈R R1×1代表時(shí)刻k時(shí)的狀態(tài)和觀測(cè)噪聲平方根矩陣，其滿足

（·）T和（·）H分別表示轉(zhuǎn)置和Hermitian轉(zhuǎn)置。

Step 1：給定初始狀態(tài)值＾w0和初始平方根協(xié)方差S′0，其中S′0=chol（P′0）。

Step 2：根據(jù)式（5），在時(shí)刻k計(jì)算預(yù)測(cè)Sigma點(diǎn)wk，i和它們的權(quán)值Wi（權(quán)值僅在k=0時(shí)計(jì)算一次）：

其中，i=1，2，…，L；j=L+1，L+2，…，2L。

Step 3：觀測(cè)方程更新

式中，ht（M）表示對(duì)矩陣M使用Householder triangularization變換。

Step 4：狀態(tài)方程更新

然后令k=k+1，并重復(fù)執(zhí)行Step 2～Step 4。

在公式（7）～（17）中，yk，i、＾yk、M′y，k、S′y，k、M′w，k、P′wy、Sk、＾w′k+1、S′k+1均為更新的中間變量，Kk為卡爾曼增益，＾wk代表第k次更新獲得的預(yù)失真系數(shù)。

4 仿真與分析

為了驗(yàn)證本文提出的算法的有效性，進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證。仿真的輸入采用帶寬為10 MHz的WCDMA信號(hào)I／Q兩路復(fù)信號(hào)，采樣率為2× 92.16 MHz。取狀態(tài)噪聲Q=10-4×I，其中I是L ×L的方陣，觀測(cè)噪聲R=1×10-20。

預(yù)失真器采用2.2節(jié)的模型，其中記憶深度M =2，預(yù)失真階數(shù)為5，取λ=2進(jìn)行簡(jiǎn)化，故所構(gòu)造的預(yù)失真器的Volterra核參數(shù)包括一階核（h1（0），h1（1），h1（2））、三階核（h3（0，0，0），h3（0，0，1），h3（0，1，1），h3（1，1，1），h3（1，1，2），h3（1，2，2），h3（2，2，2））和五階核（h5（0，0，0，0，0），h5（0，0，0，0，1），h5（0，0，0，1，1），h5（0，0，1，1，1），h5（0，1，1，1，1），h5（1，1，1，1，1），h5（1，1，1，1，2），h5（1，1，1，2，2），

h5（1，1，2，2，2），h5（1，2，2，2，2），h5（2，2，2，2，2））共21項(xiàng)，即L=21。

功率放大器采用Wiener模型，其線性動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的記憶長(zhǎng)度為2。

無(wú)記憶非線性子系統(tǒng)的階數(shù)為5：

基于LMS的DPD算法是傳統(tǒng)的實(shí)時(shí)DPD算法，已經(jīng)被廣為研究。為了衡量基于UKF的DPD算法的性能增益，我們與文獻(xiàn)［10］中的歸一化基于LMS的DPD算法進(jìn)行了性能比較。其中基于LMS的DPD算法仿真的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為100 000，迭代步長(zhǎng)=0.1，并取ε=0.5。

圖2給出了基于UKF的DPD算法和基于LMS的DPD算法的預(yù)失真前后功率譜密度曲線。從圖中我們可以看出，使用基于UKF的DPD算法的預(yù)失真后曲線性能明顯優(yōu)于使用基于LMS的DPD算法的預(yù)失真后曲線，能較好地校正放大器的非線性失真和記憶失真。

兩種DPD算法的歸一化均方誤差（Normalized Mean Square Error，NMSE）收斂曲線如圖3所示，其中

從圖中可以看出，基于UKF的DPD算法的迭代性能在大約第105次之后就一直優(yōu)于基于LMS的DPD算法；在迭代收斂后，基于UKF的DPD算法的平均NMSE性能要比基于LMS的DPD算法高15 dB。

5 結(jié)論

下一代無(wú)線通信系統(tǒng)更多采用非恒包絡(luò)調(diào)制技術(shù)，要求射頻功率放大器具有良好的線性度。DPD算法是目前功率放大器線性化的主流技術(shù)。本文利用UKF算法處理非線性濾波問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，結(jié)合基于簡(jiǎn)化Volterra算法的預(yù)失真模型，提出了一種基于SR-UKF的DPD算法。所提算法具有很好的數(shù)值運(yùn)算特性，且能取得性能和計(jì)算復(fù)雜度的良好折衷。在本文仿真條件下，與基于LMS的DPD算法相比，所提算法的功率譜密度性能高約13.5 dB，收斂后的NMSE性能高約15 dB，改善了實(shí)時(shí)DPD算法的性能，從而提高了射頻系統(tǒng)中功率放大器的線性度。此外，所提算法的性能受狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲的影響較大，下一步研究將主要集中在對(duì)噪聲變化有自適應(yīng)能力的改進(jìn)DPD算法。

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SONG Yongwas born in Yantai，Shandong Province，in 1980. He received the Ph.D.degree from University of Science and Technology of China in 2010.He is now a post-doctor in the Joint Post -doctoralWork／Research Station in Alcatel-Lucent ShanghaiBell Co.，Ltd.and Fudan University.His research concerns the application of nonlinear filter in the algorithm and implementation of digital predistortion.

Email：Yong.a.Song＠alcatel-sbell.com.cn

胡波（1968—），男，江蘇常州人，1996年獲復(fù)旦大學(xué)理學(xué)博士學(xué)位，現(xiàn)為復(fù)旦大學(xué)電子工程系教授、博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)字信息處理、數(shù)字通信等方面的理論與算法研究；

HU Bowas born in Changzhou，Jiangsu Province，in 1968.He received the Ph.D.degree from Fudan University in 1996.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research concerns the theory and algorithm in digital signal processing，digital communication.

李在清（1967—），男，山東臨沂人，2005年于法國(guó)布雷斯特大學(xué)獲博士學(xué)位，現(xiàn)為上海貝爾股份有限公司硬件研發(fā)部門經(jīng)理、研究員，主要研究方向?yàn)橐苿?dòng)通信射頻架構(gòu)與系統(tǒng)、計(jì)算電磁學(xué)和軟件無(wú)線電。

LIZai-qingwas born in Linyi，Shandong Province，in 1967. He received the Ph.D.degree from Brest University in France in 2005.He is now a research professor，and amanager of the Hardware R＆D Department in Alcatel-Lucent Shanghai Bell Co.，Ltd. His research concerns the mobile radio frequency architecture and system，computational electromagnetics and software defined radio.

A Novel Digital Predistortion Algorithm Based on Square Root Unscented Kalman Filter

SONGYong1，2，HU Bo2，LIZai-qing1
（1.Alcatel-Lucent Shanghai Bell Co.，Ltd.，Shanghai201206，China；2.Electronic Engineering Department，F(xiàn)udan University，Shanghai200433，China）

The nonlinear effect of power amplifierworking near the saturation point becomes themain factor that degrades its performance.In this paper，a Digital Predistortion（DPD）algorithm based on the nonlinear Unscented Kalman Filter（UKF）is proposed，which can effectively remove the nonlinear effect.The DPD algorithm is modified and optimized，according to the fact that the state equation is linear in the DPD algorithm，so that the computational efficiency is improved consequently.The simulation resultverifies that the performance of the proposed algorithm is better than that of the traditional DPD algorithm based on LeastMean Square（LMS）.

power amplifier；digital predistortion；memory effect；unscented Kalman filter（UKF）

The National Science＆Technology Major Project（2010ZX03002-003）

TN721.2

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.11.005

宋勇（1980—），男，山東煙臺(tái)人，2010年獲中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)通信與信息系統(tǒng)專業(yè)博士學(xué)位，現(xiàn)為上海貝爾股份有限公司和復(fù)旦大學(xué)聯(lián)合博士后工作站（流動(dòng)站）在站博士后，主要研究方向?yàn)榉蔷€性濾波在數(shù)字預(yù)失真算法與實(shí)現(xiàn)中的應(yīng)用；

1001-893X（2011）11-0020-05

2011-07-11；

2011-09-02

國(guó)家科技重大專項(xiàng)資助項(xiàng)目（2010ZX03002-003）