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    牛頓求解第一宇宙速度思想的啟示

    2011-03-20 03:41:58竇文浩
    物理通報(bào) 2011年10期
    關(guān)鍵詞:宇宙速度初速度牛頓

    竇文浩

    (廣州市第二中學(xué) 廣東 廣州 510530)

    在講解“萬(wàn)有引力定律”的內(nèi)容時(shí),計(jì)算星球的第一宇宙速度是一個(gè)重點(diǎn).計(jì)算的方法通常是由萬(wàn)有引力提供向心力,根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解.而牛頓在求解星球的第一宇宙速度的時(shí)候,用了巧妙的比例和幾何方法,體現(xiàn)了微分的思想;同時(shí),是對(duì)“月 -地檢驗(yàn)”思考的結(jié)果.在中學(xué)物理教材中,都會(huì)提到牛頓的“月-地檢驗(yàn)”,而在教學(xué)中沒(méi)有能很好地闡述這一思想的光輝之處.很好地理解牛頓的原始思想,對(duì)認(rèn)識(shí)萬(wàn)有引力以及牛頓第一定律具有很大啟示意義.同時(shí),在求解高中常常涉及的萬(wàn)有引力習(xí)題時(shí),也能開(kāi)拓新的思路.

    1 常規(guī)方法求解星體的第一宇宙速度

    【例1】求解一質(zhì)量為M,半徑為R的球形星體的第一宇宙速度.

    解析:如圖1所示,設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m,繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑為r,則有

    解得

    圖1

    根據(jù)第一宇宙速度的意義知,v應(yīng)當(dāng)是衛(wèi)星繞球形星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)剛好不落地時(shí)的速度,則r=R,于是

    2 牛頓的思想求解第一宇宙速度[1]

    【例2】在地球上,一個(gè)物體做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí),至少需要多大的初速度才不會(huì)落回地面?

    解析:首先要假定地球是一個(gè)半徑為R的球體,如圖2.假設(shè)在A點(diǎn)平拋一物體,平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向的分運(yùn)動(dòng)是自由落體運(yùn)動(dòng).當(dāng)水平方向位移為x,即半個(gè)弦長(zhǎng)DB,而豎直方向恰好下落s,即AD高度;平拋的物體恰好不碰到地面,此平拋的初速度即為第一宇宙速度.如下求解此速度.

    圖2

    取1 s的時(shí)間,則物體的運(yùn)動(dòng)即為嚴(yán)格的平拋運(yùn)動(dòng),而各數(shù)量關(guān)系依然如圖2所示,則由幾何關(guān)系知△ADB∽ △BDC ,故有

    在地球表面,1 s內(nèi)物體自由下落的高度約為5 m,即s=5 m;2R是地球的直徑,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于s,故

    所以

    所以平拋的初速度(即第一宇宙速度)

    牛頓利用其發(fā)現(xiàn)的“牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律”推斷,若月球不受外力,則其將沿軌道的切線(xiàn)運(yùn)動(dòng)下去,而它卻下落了(只是沒(méi)有落到地球上),軌跡是一段圓弧,類(lèi)似平拋的軌跡.那么反過(guò)來(lái),在地球上一物體的平拋,如果速度恰當(dāng)(足夠大),則其軌跡將如月球的軌跡一樣,是一個(gè)圓,這個(gè)恰當(dāng)?shù)乃俣染褪堑谝挥钪嫠俣龋@就是牛頓“月-地檢驗(yàn)”的思考.上述的解題步驟正是依據(jù)這一思想.當(dāng)然,在1 s內(nèi)月球“下落”的高度與地球表面平拋物體“下落”的高度是不同的,但成比例,比例關(guān)系正是滿(mǎn)足牛頓所總結(jié)出的平方反比定律.

    點(diǎn)評(píng):

    (1)牛頓的方法看似比常規(guī)方法復(fù)雜,卻體現(xiàn)了最一般的推理過(guò)程:利用牛頓第一定律,揭示了圓周運(yùn)動(dòng)所蘊(yùn)涵的力的作用特點(diǎn)—— 指向有心力的力心.

    (2)在計(jì)算的處理中,利用微分近似代替的思想,將看似兩種不同的運(yùn)動(dòng)即平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一起來(lái),化曲為直.同時(shí),略去無(wú)窮小量,體現(xiàn)了微分近似代替思想的精髓.

    (3)用最簡(jiǎn)單的規(guī)律,加上巧妙的數(shù)學(xué)處理手段,是物理競(jìng)賽中常常應(yīng)用的方法,正是物理所要培養(yǎng)的思維品質(zhì).

    3 牛頓的方法在常規(guī)教學(xué)中的體現(xiàn)

    3. 1 平拋運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)

    如圖3[2]所示,從地球上某一高塔處平拋一小球,初速度分別為v1,v2,v3和v4,則其運(yùn)動(dòng)的軌跡分別為1,2,3和4;這些軌跡都是以地球的質(zhì)心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.

    (1)軌跡1,2是假定地球物質(zhì)全部集中在質(zhì)心處時(shí)才可能的軌跡.實(shí)際情況中,拋體不可能完整地進(jìn)行這一橢圓運(yùn)動(dòng),這一軌跡與地球表面的交點(diǎn)就是落地點(diǎn).可見(jiàn),物體平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡實(shí)質(zhì)上是此橢圓軌跡的一部分.

    圖3

    (2)軌跡3是一個(gè)圓軌跡,可以看做是兩焦點(diǎn)重合的一個(gè)橢圓,它是軌跡2向軌跡4過(guò)渡時(shí)即地球質(zhì)心作為下焦點(diǎn)向作為上焦點(diǎn)過(guò)渡時(shí),焦點(diǎn)在地球質(zhì)心重合的情況.塔高相比地球的尺度,是可以忽略的,故軌跡3的半徑就是地球半徑,v3就是第一宇宙速度.

    3. 2 牛頓思想的應(yīng)用

    【例3】如圖4所示,兩顆地球衛(wèi)星運(yùn)行軌道分別為1和2,兩軌道在P點(diǎn)相切,則在切點(diǎn)處,1號(hào)衛(wèi)星和2號(hào)衛(wèi)星的速度大小關(guān)系如何?

    圖4

    圖5

    解析:可以把P點(diǎn)附近的軌跡放大,如圖5所示.根據(jù)牛頓的思想,則圖5所示的兩條軌跡即為兩平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡(當(dāng)然,這里的重力加速度g不再是地球表面的值).那么,根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,在同一高度拋出的兩物體,初速度越大的,水平射程越大;可以得知,在P點(diǎn)2號(hào)衛(wèi)星的速度大于1號(hào)衛(wèi)星的速度.

    1 (美)費(fèi)恩曼.費(fèi)恩曼物理學(xué)講義(第一卷).上海:上??茖W(xué)技術(shù)出版社,2005.70

    2 (美)休D·楊,羅杰 A·費(fèi)里德曼.西爾斯物理學(xué)(上冊(cè)).北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2008.367

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