正交面齒輪齒面方程及三維建模仿真的研究

魏永庚,王中鮮,單 勇

(黑龍江大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,哈爾濱 150080)

0 引 言

面齒輪的傳動(dòng)原理是漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪和圓錐齒輪相互嚙合傳動(dòng),當(dāng)兩個(gè)齒輪軸線之間夾角90°時(shí),圓錐齒輪的輪齒將分布在一個(gè)圓平面上,錐齒輪即為面齒輪,從而泛稱為面齒輪。一般情況下,根據(jù)面齒輪加工時(shí)刀具軸線與被加工面齒輪軸線之間的關(guān)系分為垂直相交、非垂直相交、偏置垂直交錯(cuò)和偏置非垂直交錯(cuò)4種情況,而分別稱為正交面齒輪、非正交面齒輪、偏置正交面齒輪和偏置非正交面齒輪。由于結(jié)構(gòu)形式的變化,面齒輪齒面的幾何形狀已不是常見(jiàn)的漸開(kāi)線齒面或其它常見(jiàn)的齒面,其齒面形狀相當(dāng)復(fù)雜。

目前,直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)中的主減速器的結(jié)構(gòu)一般采用錐齒輪傳動(dòng),錐齒輪傳動(dòng)有如下缺點(diǎn):與圓柱齒輪相比,其結(jié)構(gòu)尺寸大,重量大;由于屬于交錯(cuò)軸結(jié)構(gòu),在加工和裝配中如果出現(xiàn)誤差,在運(yùn)行時(shí)會(huì)產(chǎn)生空間三向正交力,受力不均勻,噪聲高;相交軸之間的關(guān)系很難調(diào)整,裝配復(fù)雜;壽命短,受力不均勻會(huì)導(dǎo)致錐齒輪的加速磨損。使用面齒輪具有如下優(yōu)點(diǎn):在潤(rùn)滑油不充足時(shí)也能保證有效的工作;裝配的時(shí)間短,中間的圓柱齒輪采用單端支撐,可有效的調(diào)整裝配關(guān)系;由于中間的圓柱齒輪采用單端支撐,因此與它嚙合的面齒輪不受軸向力,或者很小;重合系數(shù)大,并且是傾斜接觸,因此運(yùn)動(dòng)平穩(wěn),從而可降低噪聲;與傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)相比減輕了重量。由于與傳統(tǒng)的錐齒輪相比,面齒輪具有如上優(yōu)勢(shì),因此很多企業(yè)、公司和科研院所都投入很大精力從事面齒輪的研究。

1 正交面齒輪齒面方程

1.1 圓柱齒輪和面齒輪運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系

要生成面齒輪的齒面方程,一般情況下是采用已知與面齒輪共軛的直齒圓柱齒輪作為刀具,并采用插齒法,加工出其齒面,所以把刀具看成是與面齒輪嚙合的直齒圓柱齒輪,根據(jù)直齒圓柱齒輪和面齒輪的運(yùn)動(dòng)關(guān)系,利用直齒輪齒廓曲面作為產(chǎn)形面,通過(guò)包絡(luò)運(yùn)動(dòng)得到面齒輪齒廓,其坐標(biāo)關(guān)系見(jiàn)圖1。SmXmYmZm是圓柱齒輪的靜坐標(biāo)系, S′mX′mY′mZ′m是圓柱齒輪的隨動(dòng)坐標(biāo)系,圓柱齒輪繞軸OmZm旋轉(zhuǎn),角速度為ωm;SfXfYfZf是面齒輪的靜坐標(biāo)系,S′fX′fY′fZ′f是面齒輪的隨動(dòng)坐標(biāo)系,面齒輪繞軸OfZf旋轉(zhuǎn),角速度為ωf;圓柱齒輪和面齒輪的運(yùn)動(dòng)關(guān)系決定圓柱齒輪靜坐標(biāo)系中OmXmZm平面和面齒輪靜坐標(biāo)系中OfXfYf平面平行,且相距高度為圓柱齒輪齒頂圓半徑ra,平面OmXmYm和平面OfYfZf相互平行且距離為d,同時(shí)參數(shù)d隨圓柱齒輪和面齒輪運(yùn)動(dòng)關(guān)系的改變而改變。圖2為直齒輪和面齒輪運(yùn)動(dòng)關(guān)系示意圖。

1.2 直齒圓柱齒面和面齒輪齒面的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

要獲得面齒輪的齒廓,需要從圓柱齒輪的坐標(biāo)系逐漸變換過(guò)去。直齒圓柱齒輪齒廓曲面是包絡(luò)過(guò)程中的母面(在實(shí)際加工中即是刀具齒面),其坐標(biāo)系以及各參數(shù)設(shè)定見(jiàn)圖3。圖中rb為圓柱齒輪基圓半徑;m為圓柱齒輪模數(shù);z為齒數(shù);α為分度圓壓力角;rk為齒廓上任意一點(diǎn)k處的矢徑,rk= rb/cos αk,αk為k點(diǎn)處壓力角;θk為rk與y軸的夾角,

由圖3可見(jiàn),若是θk無(wú)限的增大,則此時(shí)所得的齒廓必定是相交的,即出現(xiàn)尖頂,這不符合實(shí)際需求。在后面可以通過(guò)面齒輪齒頂變尖以及齒廓根切等限制條件來(lái)約束θk值。

因此產(chǎn)形面方程為:

圖3 直齒圓柱齒輪齒面Fig.3 Involuting spur gear surface profile

式中uk為圓柱齒輪齒寬方向參變量;xm0取 “+”時(shí)為左齒廓,xm0取 “-”時(shí)為右齒廓。

所以,產(chǎn)形面齊次矩陣為:

式中 xm0為產(chǎn)形面在圓柱齒輪靜態(tài)坐標(biāo)系SmXmYmZm中的x坐標(biāo);ym0為在圓柱齒輪靜態(tài)坐標(biāo)系SmXmYmZm中的y坐標(biāo);zm0為在圓柱齒輪靜態(tài)坐標(biāo)系SmXmYmZm中的z坐標(biāo)。

在實(shí)際的包絡(luò)過(guò)程中,面齒輪發(fā)生自轉(zhuǎn),圓柱齒輪既發(fā)生自轉(zhuǎn)同時(shí)還繞著面齒輪軸線旋轉(zhuǎn),包絡(luò)過(guò)程中,圓柱齒輪從動(dòng)坐標(biāo)系S′m到靜坐標(biāo)系Sm的齊次轉(zhuǎn)換矩陣為:

式中φ2為圓柱齒輪轉(zhuǎn)角。

從坐標(biāo)系Sm到Sf的齊次轉(zhuǎn)換矩陣為:

式中d為兩靜坐標(biāo)系原點(diǎn)的水平距離,即是面齒輪沿齒寬方向的齒寬中點(diǎn)到面齒輪中心的距離;ra為圓柱齒輪的齒頂圓半徑。

從坐標(biāo)系Sf到Sf′的齊次轉(zhuǎn)換矩陣為:

式中φs為面齒輪轉(zhuǎn)角。

通過(guò)以上3次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,已經(jīng)將圓柱齒輪上的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到了面齒輪的動(dòng)坐標(biāo)系中,因此包絡(luò)過(guò)程中坐標(biāo)系齊次轉(zhuǎn)換矩陣為:

式中Mf′f為坐標(biāo)系Sf到Sf′的齊次轉(zhuǎn)換矩陣;Mfm為從坐標(biāo)系Sm到Sf的齊次轉(zhuǎn)換矩陣;Mmm′為從動(dòng)坐標(biāo)系S′m到Sm的齊次轉(zhuǎn)換矩陣;Mf′m′包絡(luò)過(guò)程中總變換矩陣。

產(chǎn)形面經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后,得到產(chǎn)形面的坐標(biāo)系面族方程為:

式中Rm為產(chǎn)形面坐標(biāo)組成的矩陣;Rmz為產(chǎn)形面經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后組成的矩陣。

1.3 正交面齒輪齒廓方程

依據(jù)上一節(jié)所得的產(chǎn)形面的面族方程,根據(jù)幾何嚙合原理,再滿足下列嚙合條件方程即能夠得出面齒輪的齒廓方程:

式中αk為產(chǎn)形面點(diǎn)的漸開(kāi)線壓力角;uk為圓柱齒輪齒寬方向參變量;φ2為圓柱齒輪的旋轉(zhuǎn)角度。

在此式中依據(jù)αk、uk以及φ2在圓柱齒輪產(chǎn)形面中的位置關(guān)系,再依據(jù)向量叉乘時(shí)的右手定則,可以判斷出和有垂直的關(guān)系,進(jìn)而得出關(guān)于面齒輪的齒面方程的限制條件。從而能夠獲得面齒輪齒廓矢量方程:

轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程為:

式中φ2=q2sφs,q2s=N2/Ns;φθ=φs±(θs o+θs), θs為刀具漸開(kāi)線上一點(diǎn)的角度參數(shù),θso為刀具齒槽對(duì)稱線到漸開(kāi)線起始點(diǎn)的角度參數(shù),N2,Ns分別為面齒輪和圓柱齒輪的齒數(shù)。

2 正交面齒輪三維建模

根據(jù)面齒輪齒面方程可知,其中變量較多,因此三維建模比較復(fù)雜。本文采用與工作齒面相切的曲面代替面齒輪齒廓方程,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了面齒輪的參數(shù)化建模。由于面齒輪的齒寬受到限制,本文采用的面齒輪大端與小端半徑范圍參考文獻(xiàn) [1-2]。

啟動(dòng)Pro/E軟件,采用建立方程式的方法對(duì)面齒輪進(jìn)行建模,在程序編輯器中輸入面齒輪的相關(guān)參數(shù):刀具齒輪模數(shù),面齒輪齒數(shù),刀具齒輪齒數(shù),刀具齒輪壓力角,面齒輪大端半徑,面齒輪小端半徑,齒頂高系數(shù),頂隙系數(shù)。保存后輸入?yún)?shù)值,這里取面齒輪的相關(guān)參數(shù)為模數(shù)M=5,刀具齒數(shù)NS=20,面齒輪齒數(shù) N2=100,壓力角為20°,面齒輪大端半徑DW=285,面齒輪小端半徑DN=245,齒頂高系數(shù)取1,頂隙系數(shù)取0.25,根據(jù)面齒輪的工作齒面方程可計(jì)算出齒廓曲線方程,這里將方程 (10)中的y值固定為大端半徑和小端半徑,此方程存儲(chǔ)在記事本中,如下所示:

重復(fù)以上步驟輸入其它3條齒廓線方程,從而獲得面齒輪齒廓線,面齒輪的另一面齒廓曲線可由鏡像得到。由面齒輪插齒加工原理可得,面齒輪輪齒在沿著軸線方向(即上、下底面)均為平面,前后側(cè)面(即靠近面齒輪內(nèi)徑和外徑處的面)均為圓柱面。為了實(shí)現(xiàn)面齒輪的參數(shù)化,這里過(guò)渡曲面采用了與工作齒面相切的曲面,在草繪命令下做與面齒輪齒廓線的相切線,然后利用邊界混合工具生成曲面,重復(fù)使用邊界混合工具生成面齒輪的其它齒面,再將曲面兩兩進(jìn)行合并,再實(shí)體化,就得到面齒輪的一個(gè)輪齒。通過(guò)陣列命令可得到所有輪齒,最終得到面齒輪實(shí)體模型面見(jiàn)圖4。

圖4 面齒輪的三維模型Fig.4 3D model of the face gear

3 結(jié) 語(yǔ)

本文深入研究了面齒輪運(yùn)動(dòng)原理,推導(dǎo)了正交面齒輪的齒面方程,同時(shí)利用Pro/E中的二次開(kāi)發(fā)工具,實(shí)現(xiàn)了面齒輪的參數(shù)化設(shè)計(jì),減少了設(shè)計(jì)人員的工作量與時(shí)間。利用本文的方法建立的模型與實(shí)際面齒輪模型相似,此方法同樣適用于其它類型面齒輪的參數(shù)化,提高了面齒輪的設(shè)計(jì)效率。

[1]李政民卿,朱如鵬.基于包絡(luò)法的正交面齒輪齒廓尖化研究[J].中國(guó)機(jī)械工程,2008,19(9):1 029-1 032.

[2]李政民卿,朱如鵬.正交面齒輪齒廓的幾何設(shè)計(jì)和根切研究[J].華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008, 36(2):78-82.

[3]朱如鵬.面齒輪傳動(dòng)的嚙合特性研究 [R].南京:南京航空航天大學(xué),2000.

[4]楊連順.正交面齒輪的嚙合特性與強(qiáng)度的計(jì)算機(jī)輔助分析[D].南京:南京航空航天大學(xué),2001.

[5]F.L.Litvin.Application of face gear drives in helicopter transmissions[J].T ransaction of the ASM E, Journal of Mechanical Design,1994,116:672-676.

[6]尤紹君,張艷冬.基于Pro/E的正交面齒輪參數(shù)化建模研究[A].機(jī)械技術(shù)史及機(jī)械設(shè)計(jì) (7)——第七屆中日機(jī)械技術(shù)史及機(jī)械設(shè)計(jì)國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議論文集[C].2008.217-221.