微積分的形成史之我見

李金香

(天津市河?xùn)|區(qū)職工大學(xué),天津市 300160)

微積分的形成史之我見

李金香

(天津市河?xùn)|區(qū)職工大學(xué),天津市 300160)

微積分的早期萌芽為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ);生產(chǎn)實踐的需要促進(jìn)了微積分的創(chuàng)立;科學(xué)巨人牛頓與萊布尼茲的出現(xiàn),實現(xiàn)了微積分的創(chuàng)立。

數(shù)學(xué)史;微積分;早期萌芽;牛頓;萊布尼茲

微積分的醞釀于17世紀(jì)上半葉到世紀(jì)末,18世紀(jì)微積分進(jìn)一步發(fā)展,這種發(fā)展與廣泛的應(yīng)用緊密交織在一起,刺激和推動了許多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生,從而形成了“分析”這樣一個在觀念和方法上都具有鮮明特點的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

微積分從醞釀到萌芽、建立、發(fā)展直至完善,凝結(jié)了無數(shù)數(shù)學(xué)家的心血和勞動,是無數(shù)數(shù)學(xué)家艱苦奮斗的集體成果,熟悉微積分的歷史發(fā)展,了解人類這一巨大財富的積累過程和數(shù)學(xué)家們所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路及奮斗精神,對于提高一個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng),提高自身的數(shù)學(xué)意識和思維能力,適用于指導(dǎo)實際工作,都具有很重要的意義。

一、微積分的早期萌芽

先來談?wù)劮e分學(xué)的早期萌芽.積分學(xué)的思想萌芽比微分學(xué)的思想萌芽早,這要追溯到遙遠(yuǎn)的古希臘時代.具有代表性的人物有:

1.歐多克索斯的窮竭法

安蒂豐是古希臘對圓的求積問題做出貢獻(xiàn)的第一人.安蒂豐提出了用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓面積的方法來化圓為方,他的論斷包含希臘窮竭法的萌芽,成為古希臘“窮竭法”的始祖。

歐多克索斯是古希臘的數(shù)學(xué)家,他在數(shù)學(xué)上的重要貢獻(xiàn)是發(fā)展和完善了安蒂豐的“窮竭法”.歐多克索斯應(yīng)用窮竭法成功地證明了下述命題:兩圓面積之比等于其半徑平方之比;兩球體積之比等于其半徑立方之比;圓錐體和棱錐體的體積各為同底同高的圓柱體和棱柱體體積的,等等.將窮竭法發(fā)展成為一種嚴(yán)格的證明方法,但他沒有明確的極限思想。

2.阿基米德的平衡法

阿基米德受窮竭法的影響很深刻,我們知道,窮竭法可以嚴(yán)格證明已知的命題,但卻不能用來發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果,這是希臘演繹數(shù)學(xué)的一大弱點.而阿基米德則不然,他的數(shù)學(xué)工作是創(chuàng)造與論證的結(jié)合,這些在他的《處理力學(xué)問題的方法》中有充分的體現(xiàn)。

在《處理力學(xué)問題的方法》這篇著作中,阿基米德論述了15個命題,集中闡明了發(fā)現(xiàn)求積公式的方法,這種方法被稱為“平衡法”,他的平衡法與現(xiàn)代積分的基本思想實質(zhì)是相同的.阿基米德利用平衡法解決了許多幾何圖形求面積、體積的問題,而平衡法本身是以極限為基礎(chǔ)的,而當(dāng)時不可能有極限理論,阿基米德意識到了他的平衡法在數(shù)學(xué)上缺乏嚴(yán)密性,因此,阿基米德用平衡法每求出一個面積或體積后,必定要用窮竭法加以證明。

3.劉徽的割圓術(shù)和體積理論

劉徽是中國古代數(shù)學(xué)史上非常重要的一位數(shù)學(xué)家,他在積分學(xué)方面的貢獻(xiàn)主要在兩個方面:割圓術(shù)和體積理論.割圓術(shù)是劉徽創(chuàng)造的運用極限思想證明圓面積公式及計算圓周率的方法,割圓術(shù)的要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓;劉徽的面積與體積理論建立在他的“出入相補(bǔ)”原理上,在球體積公式的推算中,劉徽首創(chuàng)了立體圖形“牟合方蓋”,但劉徽在求牟合方蓋的體積時,遇到很大的困難終未能解決。

劉徽雖然沒有完成球體積公式的推證,但他創(chuàng)造的牟合方蓋和特殊形式的不可分量方法,為后來的祖沖之父子在球體積公式推證問題上取得突破指明了方向.在這里,劉徽實際上已用到了后來被稱為的“祖暅原理”、西方微積分史著作中所說的“卡瓦列里原理”,只可惜他沒有將它總結(jié)為一般形式。

4.祖暅原理

劉徽絞盡腦汁沒能解決的球體積推證問題,到了祖沖之時代終于由祖暅解決了.祖暅對球體積的推導(dǎo)繼承了劉徽的路線,即從計算“牟合方蓋”的體積為突破,祖暅提出了一條原理:“冪勢既同,則積不容異”.這就是著名的“祖暅原理”。

祖暅原理,劉徽實際上已經(jīng)使用了,但祖暅?zhǔn)状蚊鞔_地將它作為一般原理提出來,并成功地應(yīng)用于球體積的推算。

5.卡瓦列里的不可分量原理

卡瓦列里是意大利的數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是1635年發(fā)表的關(guān)于不可分量法的專著《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》.著作中他發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法,建立了“卡瓦列里原理”:

卡瓦列里的不可分量原理大大簡化了許多立體圖形體積的推導(dǎo)過程.如卡瓦列里的不可分量原理計算球的體積要比祖氏父子的計算方法簡單得多。

利用不可分量原理,卡瓦列里對積分學(xué)創(chuàng)立最重要的貢獻(xiàn)還在于1639年他利用平面上的不可分量原理建立了等價于積分的基本結(jié)果,使早期積分學(xué)突破了體積計算的現(xiàn)實原型而向一般算法的過渡。

下面再來談?wù)勎⒎謱W(xué)的早期萌芽.與積分學(xué)兩千多年的早期萌芽史相比,微分學(xué)的萌芽史就短得多了.這是因為,積分學(xué)研究的問題是靜態(tài)的,而微分學(xué)研究的是動態(tài)的,它涉及到了運動,當(dāng)生產(chǎn)力還沒有發(fā)展到一定階段時,微分學(xué)是不會產(chǎn)生的,因此直到17世紀(jì),受到求曲線的切線、求瞬時變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問題的刺激,微分學(xué)才出現(xiàn)了重大突破。主要表現(xiàn)在下面三個方面上:

第一、費馬求極大值與極小值的方法

費馬是法國數(shù)學(xué)家,費馬求極大值與極小值的方法在1629年已經(jīng)設(shè)計完成了,但直到八、九年以后才在他的手稿《求最大值和最小值的方法》中發(fā)現(xiàn)。

費馬的方法幾乎就是后來微分學(xué)中的方法,只是采用的符號與現(xiàn)在不同,但費馬的方法除了邏輯上的不完整外,還存在兩個問題:一是費馬的方法對極大值與極小值未加區(qū)別;再是費馬不知道 f(x)的導(dǎo)數(shù)為零只是極值的必要條件而非充分條件。

第二、費馬求切線的方法

費馬在他的手稿《求最大值和最小值的方法》中還給出了求曲線切線的方法,這個方法與現(xiàn)在的方法實質(zhì)是相同的。

費馬在處理求曲線的切線和求極大值與極小值兩大問題時,所采用的方法是一致的,用現(xiàn)代語言說,都是先取增量,而后讓增量趨向于零,這正是微分學(xué)的實質(zhì)所在。

第三、巴羅的微分三角形

巴羅是英國的數(shù)學(xué)家,巴羅也給出了求曲線切線的方法,這種方法記載在1669年出版的《幾何講義》中,但他應(yīng)該是在更早的時候就得到這種方法了.與費馬不同,巴羅使用的是幾何學(xué)。巴羅幾何法的關(guān)鍵概念后來變得很有名,就是“微分三角形”,也叫“特征三角形”。

巴羅求切線的方法非常接近微分學(xué)中所采用的方法,是費馬方法的進(jìn)一步發(fā)展。

二、微積分的創(chuàng)立

數(shù)學(xué)家們在17世紀(jì)上半葉所做的一系列的工作為微積分的創(chuàng)立做了充分的準(zhǔn)備,但所有這些努力還不足以標(biāo)志微積分作為一門獨立科學(xué)的誕生,因為他們的方法只是針對具體問題,缺乏足夠的一般性。作為微積分的主要特征的微分與積分的互逆關(guān)系,雖然有的學(xué)者在研究中已經(jīng)觸及到了,然而沒有人能意識到這種聯(lián)系的重要價值而深入研究?？茖W(xué)巨人牛頓和萊布尼茲的出現(xiàn),完成了微積分創(chuàng)立中最后也是最關(guān)鍵的一步。

牛頓對微積分問題的研究始于1664年,1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法),次年5月建立了“反流數(shù)術(shù)”(積分學(xué))。1666年10月,牛頓將前兩年研究成果整理成一篇論文《流數(shù)簡論》,此論文是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。

《流數(shù)簡論》反映了牛頓微積分的運動學(xué)背景。該文以速度形式引進(jìn)了“流數(shù)”(即微商)概念。牛頓對于面積計算與求切線問題的互逆關(guān)系,明確地作為一般規(guī)律提出來,并將其作為建立微積分普遍算法的基礎(chǔ)。牛頓正是運用了這種關(guān)系,將自古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法——正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分,并證明了二者的互逆關(guān)系,進(jìn)而將這兩類運算進(jìn)一步統(tǒng)一成整體。牛頓的工作將微積分的創(chuàng)立從量的積累完成了質(zhì)的飛躍,正是在這樣的意義下,我們說牛頓發(fā)明了微積分。

牛頓的微積分理論主要體現(xiàn)在下述三部正式出版的論著里:

(1)《運用無限多項方程的分析》(簡稱《分析學(xué)》,完成于1669年);

(2)《流數(shù)法與無窮級數(shù)》(簡稱《流數(shù)法》,完成于1671年);

(3)《曲線求積術(shù)》(簡稱《求積術(shù)》,完成于1691年)。

牛頓的上述三部論著反映了牛頓微積分學(xué)說的發(fā)展過程,是微積分發(fā)展史上的重要里程碑,也為近代數(shù)學(xué)甚至近代科學(xué)的產(chǎn)生發(fā)展開辟了新紀(jì)元。

與牛頓共享微積分創(chuàng)立這一榮譽(yù)的當(dāng)屬德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲了,但是兩人研究的出發(fā)點不同,牛頓始建微積分是以運動學(xué)為背景的,而萊布尼茲創(chuàng)立微積分的切入點是出于幾何問題的思考,尤其是對特征三角形的研究。他逐步認(rèn)識到:求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值當(dāng)這些差值變成無限小時之比;而求曲線下的面積則依賴于無限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和。萊布尼茲還發(fā)現(xiàn)了這兩個問題的互逆關(guān)系。他在自己對數(shù)的序列的研究中,找出了一種更一般的算法,將以往解決上述兩類問題的各種結(jié)果和技巧統(tǒng)一起來。萊布尼茲總結(jié)出求切線不過是求差,求積不過是求和。到了1676年,他給出了冪函數(shù)的微分和積分公式,1677年在一篇手稿中,他陳述了他的微積分基本定理。

1684年,萊布尼茲發(fā)表了第一篇微積分論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》,這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式公開發(fā)表的微積分文獻(xiàn);1686年,萊布尼茲發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》,在這篇文章中首次出現(xiàn)在印刷出版物上;1693年,萊布尼茲又在《教師學(xué)報》上發(fā)表了一篇論文,其中更清楚地闡述了微分與積分的關(guān)系;關(guān)于積分常數(shù)的論述發(fā)表于1694年。

就微積分創(chuàng)立而言,牛頓與萊布尼茲功績相當(dāng),盡管兩人各自采用了不同的方法,但他們都各自獨立地發(fā)現(xiàn)了微積分基本定理,并建立了一套有效的微分與積分的算法。

[1]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]張順燕.數(shù)學(xué)的源與流[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]柳成行.簡明數(shù)學(xué)史[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2008.

A bs tra c t:From the author’s point of view,the construction of calculus is caused by a combination of the early embryo w hich laid the foundation for it,the demand of p roduction p ractice w hich p romoted it and a coup le of scientific giants like New ton and Leibnitz w ho made it come true.

Ke y w o rd s:history of mathematics;calculus;early embryo;New ton;Leibnitz

A Personal V iew on History of Calculus

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(Tianjin Hedong D istrict Staff and Workers University,Tianjin 300171 China)

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1673-582X(2011)02-0125-04

2010-10-15

李金香(1963-),天津市人,天津市河?xùn)|職工大學(xué)教師、副教授,研究方向數(shù)學(xué)應(yīng)用。