均勻各向同性湍流的脫體渦數(shù)值模擬

吳晶峰 寧方飛

(北京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京 100191)

均勻各向同性湍流的脫體渦數(shù)值模擬

吳晶峰 寧方飛

(北京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京 100191)

采用脫體渦模擬方法對(duì)均勻各向同性湍流進(jìn)行了數(shù)值模擬，并與Comte-Bellot實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了該文的脫體渦模擬方法對(duì)均勻各向同性湍流模擬的可靠性.初始速度場(chǎng)的生成采用Rogallo所提出的構(gòu)造方法，初始湍能譜滿足Von Karman波譜分布;在對(duì)流輸運(yùn)項(xiàng)的選擇方面，分別采用二階中心型格式、四階偏斜對(duì)稱型中心格式和迎風(fēng)型低耗散通量分裂格式，考察它們?cè)诰鶆蚋飨蛲酝牧髂M中的計(jì)算精度和適用性.同時(shí)，通過(guò)改變計(jì)算域大小以及脫體渦模擬方法中的模型常數(shù)，達(dá)到能譜截?cái)嗖〝?shù)的改變，考察它對(duì)各向同性湍流計(jì)算的能譜以及能譜截?cái)嗵幮〕叨葴u能量積累問(wèn)題的影響.

湍流;能量耗散;能譜分析

隨著計(jì)算機(jī)硬件水平的不斷提高和并行技術(shù)的日漸成熟，大渦模擬(LES，Large Eddy Simulations)方法在近年來(lái)取得了快速發(fā)展，并已逐步在部分工程湍流流動(dòng)的模擬中得到了成功應(yīng)用.然而，對(duì)于高雷諾數(shù)壁湍流，如果要保證能夠正確分辨近壁區(qū)的湍流擬序結(jié)構(gòu)及其演化過(guò)程，LES所需的計(jì)算規(guī)模仍嫌過(guò)高.針對(duì)這一問(wèn)題，已有大量對(duì)近壁區(qū)的簡(jiǎn)化建模及方法研究，其中以RANS(Reynolds-Averaged Navier-Stokes)和LES的混合法［1］在工程湍流模擬中最具潛力.在RANS/LES混合方法中，脫體渦模擬方法(DES［2］，Detached Eddy Simulation)、以及在其基礎(chǔ)上衍生發(fā)展的Delayed DES(DDES) 方 法［3］和 Improved DDES(IDDES)方法［4］等，因其可實(shí)現(xiàn)近壁區(qū) RANS和遠(yuǎn)離壁面LES的自動(dòng)切換，易于在工程流動(dòng)的模擬中應(yīng)用，從而獲得了很高的關(guān)注，并已有相當(dāng)多的研究已證明了該方法在一些與壁面邊界層相關(guān)性不大、并且存在大尺度分離或自由剪切層的工程湍流流動(dòng)的模擬中能夠獲得高質(zhì)量的結(jié)果.

另一方面，盡管LES以及DES方法的理論基礎(chǔ)已逐步得到了完善，但其數(shù)值方面的問(wèn)題目前仍是阻礙其取得進(jìn)一步發(fā)展和應(yīng)用的主要障礙之一，具體而言，是計(jì)算網(wǎng)格和離散格式的問(wèn)題，并且在一定程度上兩者是相關(guān)的.通常，LES需要使用高階精度的時(shí)間和空間離散格式，以確保格式的數(shù)值耗散水平不會(huì)淹沒(méi)物理的亞格子粘性.而在工程中常見(jiàn)的流動(dòng)問(wèn)題中，幾何計(jì)算域往往相當(dāng)復(fù)雜，對(duì)于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，網(wǎng)格的質(zhì)量難以較好地保證，并且邊界條件也很難做到高階精度，這時(shí)高階格式的實(shí)際精度會(huì)大打折扣.所以，從工程實(shí)用和通用性的角度而言，成熟的、基于RANS的離散格式更具吸引力.本文的主要目的就是通過(guò)對(duì)各向同性湍流的DES模擬，對(duì)幾種對(duì)流通量離散格式的適用性及亞格子尺度的選擇等問(wèn)題進(jìn)行考察，為使用 DES研究工程實(shí)際流動(dòng)問(wèn)題打下基礎(chǔ).

本文所采用的各向同性湍流的參考數(shù)據(jù)為文獻(xiàn)［5］于1971年所發(fā)表的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果.下面首先介紹DES方法及數(shù)值格式，其次給出各向同性湍流定解條件及初場(chǎng)的生成方法，然后對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行討論，最后為結(jié)論.

1 DES方法及數(shù)值格式

模型方程中的長(zhǎng)度尺度定義為

式中，dw為 RANS尺度;CDESΔ為 LES尺度;Δ=max(Δx，Δy，Δz);CDES為模型常數(shù)，可在數(shù)值模擬中加以調(diào)整.

二階中心差分格式:

四階偏斜對(duì)稱型中心格式［6］:

需要說(shuō)明的是，以上給出的四階偏斜對(duì)稱格式是有限差分形式的，文獻(xiàn)［6］也給出了基于有限體積離散的計(jì)算格式，但數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，采用有限差分形式的格式時(shí)計(jì)算穩(wěn)定性更好，尤其是計(jì)算某些具有復(fù)雜邊界的流動(dòng)問(wèn)題.關(guān)于對(duì)流通量的定義，從物理的角度出發(fā)，應(yīng)對(duì)對(duì)流通量中的輸運(yùn)項(xiàng)作如下分解:

其中對(duì)流速度un=nxu+nyv+nzw.

而壓力項(xiàng)則可分解為

LDFSS格式是屬于AUSM(Advection Upstream Splitting Method)類的迎風(fēng)格式，格式構(gòu)造的基本思想是認(rèn)為流體的對(duì)流和聲波的傳播是兩個(gè)物理上不同的過(guò)程，所以對(duì)于對(duì)流通量中的輸運(yùn)項(xiàng)和壓力項(xiàng)應(yīng)該分開(kāi)處理，分別構(gòu)造各自的分裂格式，具體參見(jiàn)文獻(xiàn)［7］.采用 MUSCL(Monotone Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws)插值，可使格式精度達(dá)到三階.需要說(shuō)明的是，在MUSCL插值中未使用限制器，已有研究表明，如果在LES中使用限制器，則格式耗散太大.本文之所以對(duì)LDFSS進(jìn)行測(cè)試，一方面是所發(fā)展的DES程序是基于使用該格式的原有RANS程序，另一方面則主要是考慮未來(lái)使用DES對(duì)跨音流動(dòng)進(jìn)行模擬時(shí)的計(jì)算穩(wěn)定性和激波捕獲問(wèn)題，而LDFSS格式對(duì)這類流動(dòng)是適用的.

2 定解條件及初場(chǎng)生成方法

本文使用均勻湍流的空間衰減實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證DES數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性.按照泰勒假定，空間和時(shí)間之間可以互相轉(zhuǎn)換，位移Δx和時(shí)間Δt之間的關(guān)系式為:Δx=UΔt.實(shí)驗(yàn)風(fēng)洞中的湍流平均速度U是一個(gè)常數(shù)，而作數(shù)值模擬時(shí)湍流的平均速度為0，這相當(dāng)于實(shí)驗(yàn)中在一個(gè)以速度U運(yùn)動(dòng)著的坐標(biāo)系中去觀察湍流場(chǎng)，它是隨時(shí)間衰減的.實(shí)驗(yàn)中，基于格柵尺度的雷諾數(shù) Re=U0M/ν=34000，入口速度 U0=10 m/s，格柵尺度 M=0.0508m，初始分子運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù) ν=1.494 m2/s.

實(shí)驗(yàn)測(cè)量的結(jié)果分別對(duì)應(yīng)3個(gè)時(shí)間點(diǎn):U0t/M=42，98和171.數(shù)值模擬時(shí)，將實(shí)驗(yàn)的第1個(gè)時(shí)間點(diǎn)U0t/M=42下的能譜作為計(jì)算初始T=0ms時(shí)刻的能譜，而另外兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)U0t/M=98和171則分別對(duì)應(yīng)于數(shù)值計(jì)算中T=284.5ms和655.3ms時(shí)刻，通過(guò)對(duì)比這兩個(gè)時(shí)刻的能譜分布，檢驗(yàn)DES模擬的精確程度.

初始流場(chǎng)的正確與否直接關(guān)系到后續(xù)數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性與精度，初始流場(chǎng)的選擇包括計(jì)算域、網(wǎng)格數(shù)、初始能譜函數(shù)以及其他性能參數(shù)的確定.

計(jì)算域取邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體，3個(gè)方向上網(wǎng)格均勻分布，網(wǎng)格數(shù)均為N;均勻各向同性湍流中計(jì)算域尺度L即等于可求解的最大旋渦的尺度，即可分辨的最大旋渦的波數(shù)為能有效分辨的最小旋渦的波數(shù)為，式中為網(wǎng)格尺度.網(wǎng)格的疏密須保證慣性區(qū)域包含于可分辨的波數(shù)范圍之內(nèi)，即應(yīng)當(dāng)使慣性區(qū)域包含于［2π/L，πΔ］之內(nèi).

立方體內(nèi)為粘性可壓縮流體，初始脈動(dòng)速度場(chǎng)滿足譜空間連續(xù)方程和能譜約束方程［8］.初始能譜函數(shù)分布需要與實(shí)驗(yàn)條件相吻合，與文獻(xiàn)［9］中一致，可給定Von Karman波譜:

表1 Von Karman波譜參數(shù)

接下來(lái)，根據(jù)選定的初始能譜分布函數(shù)構(gòu)造譜空間初始速度場(chǎng)，本文在構(gòu)造初始譜空間速度場(chǎng)時(shí)，采用文獻(xiàn)［10］所提出的構(gòu)造方法:

初始流場(chǎng)密度取為空氣密度值1.2kg/m3，初始分子運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)取為ν=1.497×10－5m2/s，初始溫度與運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)對(duì)應(yīng)，流體滿足理想氣體狀態(tài)方程.湍流輸運(yùn)方程中初始湍流運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)ντ(亞格子粘性系數(shù))可用Smagorinsky湍流模型求得:|，其中，模型常數(shù)

圖1 初始脈動(dòng)速度場(chǎng)的能譜分布

在沿時(shí)間推進(jìn)進(jìn)行非定常求解時(shí)，邊界條件取為在3個(gè)方向上的邊界處均采用周期性邊界條件.

3 數(shù)值模擬及結(jié)果分析

可能影響各向同性湍流DES模擬結(jié)果的主要有以下因素:截?cái)嗖〝?shù)的選取，對(duì)流格式的選擇和CDES取值.下面將通過(guò)一系列算例來(lái)分析這些因素對(duì)數(shù)值模擬的影響，并確定最適合的選擇.

計(jì)算域與網(wǎng)格數(shù)的選擇決定了所能分辨的旋渦波數(shù)范圍，下面給出兩種波數(shù)截?cái)嗲闆r的模擬結(jié)果，以考察數(shù)值方法的適用性.一種情況是截?cái)嗖〝?shù)在一半慣性子區(qū)范圍，另一種是直接求解大部分慣性子區(qū).計(jì)算域分別取邊長(zhǎng)L=1.0m和L=0.42m的立方體，網(wǎng)格數(shù)均為643，具體參數(shù)見(jiàn)表2.

表2 初始流場(chǎng)參數(shù)

由表2可以看出，計(jì)算域?yàn)長(zhǎng)=1.0m時(shí)，所能分辨的旋渦的波數(shù)范圍是(6.3，201)，截?cái)嗖〝?shù)為 kc1=201 m－1;當(dāng)計(jì)算域縮小為邊長(zhǎng) L=0.42m時(shí)，求解的波數(shù)范圍增大，可分辨的波數(shù)為(15，479)，截?cái)嗖〝?shù)為 kc2=479m－1，基本包含了整個(gè)慣性子區(qū)區(qū)域.

圖2給出了DES模擬能譜與實(shí)驗(yàn)?zāi)茏V的對(duì)比圖，CDES均取值為 1.0.

圖2 能譜對(duì)比圖

圖2a、圖2c、圖2e算例可分辨的旋渦波數(shù)范圍在慣性區(qū)一半左右，兩種中心型格式所模擬的能譜基本符合－5/3律，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，表明格式耗散較小以及S-A模型模擬的準(zhǔn)確性;迎風(fēng)型格式則表現(xiàn)出較大的耗散性，在較高波數(shù)區(qū)域的能譜斜率比較陡峭.圖2b，圖2d，圖2f算例可分辨的旋渦波數(shù)范圍基本包含整個(gè)慣性子區(qū)，兩種中心型差分格式仍能較好模擬整個(gè)慣性子區(qū)，迎風(fēng)型格式由于耗散較大還是與實(shí)驗(yàn)?zāi)茏V有些差異.以上結(jié)果說(shuō)明對(duì)于所使用的計(jì)算網(wǎng)格規(guī)模，截?cái)嗖〝?shù)對(duì)于數(shù)值模擬結(jié)果影響不大，可根據(jù)實(shí)際需求進(jìn)行選擇可分辨的波數(shù)范圍(旋渦尺度).數(shù)值試驗(yàn)證明，在數(shù)值穩(wěn)定性方面，迎風(fēng)型格式比中心型格式要好［11］，但在LES模擬中，中心型格式在旋渦分辨以及計(jì)算精度方面更有優(yōu)勢(shì).因此也有學(xué)者提出，在作脫體渦模擬的格式選取方面，RANS部分用迎風(fēng)型格式而LES部分用中心型格式是一個(gè)合適的選擇［12］.

截?cái)嗖〝?shù)處能量積累是很多文獻(xiàn)中都提到的現(xiàn)象，從圖2中可以看出，中心型格式模擬的能譜在接近截?cái)嗖〝?shù)時(shí)，能譜值不是繼續(xù)減小而是增大，這種和精確理論值及實(shí)驗(yàn)不符之處來(lái)自譜截?cái)嘤绊?湍動(dòng)能在從大尺度渦傳遞給小尺度渦的過(guò)程中，在到達(dá)截?cái)嗖〝?shù)處時(shí)能量不能繼續(xù)下傳，同時(shí)湍動(dòng)能耗散不足，便造成湍動(dòng)能的積累［13］.采用相同網(wǎng)格數(shù)時(shí)，雷諾數(shù)愈高，分辨率愈低，在截?cái)嗖〝?shù)附近的能量積累愈大，甚至可能導(dǎo)致計(jì)算發(fā)散.緩解能量積累的方法是增加高波數(shù)段的湍動(dòng)能耗散，如采用超粘的方法，具體參見(jiàn)文獻(xiàn)［14］.另外，還可以改變截?cái)嗖〝?shù)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)截?cái)嗖〝?shù)處湍動(dòng)能積累較大時(shí)，適當(dāng)增大截?cái)嗖〝?shù)，擴(kuò)大可解尺度范圍.相比之下，迎風(fēng)型格式耗散較大，加大了截?cái)嗖〝?shù)處湍動(dòng)能的耗散，因此沒(méi)有出現(xiàn)能量積聚的現(xiàn)象，但帶來(lái)的是能譜斜率較實(shí)驗(yàn)?zāi)茏V更陡.

CDES在DES方法中是用于調(diào)節(jié)截?cái)嗖〝?shù)的常數(shù)，隨著CDES的增大，直接求解的最小旋渦尺度和亞格子應(yīng)力模型模化的最大旋渦尺度會(huì)相應(yīng)增大.下面對(duì)CDES取不同的值，查看它對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的影響，基準(zhǔn)能譜為實(shí)驗(yàn)測(cè)量U0t/M=98時(shí)刻的能譜.

圖3、圖4的計(jì)算網(wǎng)格數(shù)為643，譜截?cái)嗖〝?shù)分別為 kc1=201m－1和 kc2=479m－1.可以看出，中心型格式在CDES值增大時(shí)，高波數(shù)區(qū)域能譜的斜率也增大.由圖3能譜曲線可見(jiàn)，kc1=201m－1時(shí)二階中心格式和四階偏斜對(duì)稱型格式的最佳CDES取值為0.9;同時(shí)，有數(shù)值實(shí)驗(yàn)可得截?cái)嗖〝?shù)為kc2=479m－1時(shí)，兩種中心型格式的最佳CDES取值為1.0.兩種不同截?cái)嗖〝?shù)情況下最佳CDES值均大致為1.0，并且隨著CDES值變化都存在相似的能譜變化，這實(shí)際上是初場(chǎng)的生成所致.生成初場(chǎng)時(shí)，截?cái)嗖〝?shù)由計(jì)算域和網(wǎng)格決定，即kc=π/Δ.波數(shù)小于該截?cái)嗖〝?shù)的大尺度旋渦結(jié)構(gòu)包含在初場(chǎng)中，而截?cái)嗪蟮男〕叨葴u其效應(yīng)則由Smagorinsky模型計(jì)算的亞格子渦粘初場(chǎng)體現(xiàn).

圖3 kc1=201m－1時(shí)兩種中心格式計(jì)算的能譜

圖4 kc2=479m－1時(shí)四階中心格式計(jì)算的能譜

對(duì)于DES而言，亞格子尺度定義為CDESΔ，相應(yīng)截?cái)嗖〝?shù)為 kc=π/(CDESΔ).CDES=1.0 時(shí)，其截?cái)嗖〝?shù)與初場(chǎng)給法一致;CDES＞1.0時(shí)，截?cái)嗖〝?shù)小于π/Δ，計(jì)算的亞格子粘性偏大，因而減弱了截?cái)嗖〝?shù)附近的能量積累現(xiàn)象;反之CDES＜1.0時(shí)，截?cái)嗖〝?shù)大于π/Δ，計(jì)算的亞格子粘性偏小，能量積累現(xiàn)象明顯.由此可得，如果所關(guān)注的某段能譜范圍(如kc1≤201m－1)其旋渦模擬出現(xiàn)能量積累(圖3b)，可以通過(guò)增大截?cái)嗖〝?shù)予以改善(見(jiàn)圖4)，而增大CDES值同樣能予以改善.另外，本文CDES的最佳取值與有些文獻(xiàn)中提到的最佳取值CDES=0.65［1］有所出入，這與本文的數(shù)值格式、初場(chǎng)生成以及特定算例有關(guān)，在今后的計(jì)算應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整CDES取值.

對(duì)于迎風(fēng)型格式，643網(wǎng)格下CDES值從0.1到2.0變化，其格式耗散使得能譜分布的斜率都比實(shí)驗(yàn)值要陡峭(見(jiàn)圖5).而在相同CDES的情況下，網(wǎng)格較密的963網(wǎng)格數(shù)下計(jì)算的能譜要比643網(wǎng)格計(jì)算能譜更接近實(shí)驗(yàn)譜，說(shuō)明用迎風(fēng)型格式對(duì)計(jì)算網(wǎng)格密度有更高的要求.

圖5 LDFSS格式不同網(wǎng)格數(shù)和C DES值計(jì)算的能譜

4 結(jié)論

脫體渦模擬方法在近壁區(qū)用RANS模擬，在遠(yuǎn)離壁面區(qū)用LES模擬，集采二者之長(zhǎng)，已逐漸成為一種應(yīng)用廣泛的數(shù)值模擬方法.本文采用基于S-A模型的DES方法，考察了二階和四階中心型格式、以及迎風(fēng)型LDFSS格式這3種對(duì)流通量格式在均勻各向同性湍流模擬中格式的耗散性及DES模擬中計(jì)算網(wǎng)格、截?cái)嗖〝?shù)的選擇等問(wèn)題.

結(jié)果表明，雖然在MUSCL插值中并未使用會(huì)帶來(lái)較大數(shù)值耗散的限制器，但LDFSS格式的耗散仍較大，使得在大波數(shù)區(qū)域分辨不足，但對(duì)截?cái)嗖〝?shù)附近能量積累現(xiàn)象有較好的消除;二階中心格式和四階偏斜對(duì)稱格式能較好地模擬慣性子區(qū)能譜，滿足－5/3律，耗散較小，但存在譜截?cái)嗄芰糠e累現(xiàn)象.另外，從結(jié)果中還可看到，以本文計(jì)算所使用的網(wǎng)格規(guī)模和選擇的截?cái)嗖〝?shù)，二階中心格式可獲得與四階偏斜對(duì)稱格式幾乎相同質(zhì)量的解.

亞格子尺度由計(jì)算網(wǎng)格以及CDES的取值決定.對(duì)于CDES的取值，截?cái)嗖〝?shù)為kc1=201m－1時(shí)二階中心格式和四階偏斜對(duì)稱格式的最佳取值為CDES=0.9;截?cái)嗖〝?shù)為 kc2=479m－1時(shí)它們的最佳取值為CDES=1.0;計(jì)算網(wǎng)格尺寸的調(diào)整意味著對(duì)譜截?cái)嗖〝?shù)的調(diào)整，增大譜截?cái)嗖〝?shù)對(duì)于改善能量積累有一定的作用，同時(shí)對(duì)低波數(shù)范圍的能譜模擬沒(méi)有影響，因而可根據(jù)實(shí)際情況選擇可分辨的波數(shù)范圍.

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(編 輯:文麗芳)

Detached eddy simulation of homogeneous isotropic turbulence

Wu Jingfeng Ning Fangfei

(School of Jet Propulsion，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China)

Detached eddy simulation was used to simulate decaying homogeneous isotropic turbulence.Simulation results were compared to the experimental data of Comte-Bellot and Corrsin，showing that the detached eddy simulation of homogeneous isotropic turbulence was acceptable.The method proposed by Rogallo was used to construct the initial velocity field and the generated turbulence field fit the Von Karman spectrum.In the choosing of convective flux scheme，second-order centered scheme and fourth-order skew-symmetric scheme and upwind low-diffusion flux-splitting scheme were used respectively to check the numerical dissipation and suitability in the detached eddy simulation of homogeneous isotropic turbulence.Meanwhile，the cutoff wave number was changed with the varying of computational region and turbulence model parameters.In this way，the simulation results shows how energy spectra and energy accumulation for small scales are influenced by the variety of the cutoff wave number.

turbulence;energy dissipation;spectrum analysis

V 211.1

A

1001-5965(2011)05-0589-06

2010-04-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50506001)

吳晶峰(1983－)，男，博士生，江西鷹潭人，buaawjf@sohu.com.