用統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)及計(jì)算機(jī)程序

遼寧衛(wèi)生職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)理計(jì)算機(jī)教研室(110101) 張樂成 景 宇

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中常見的均勻分布函數(shù)、指數(shù)分布函數(shù)、正態(tài)分布函數(shù)等都是連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)，對(duì)于統(tǒng)計(jì)工作者來說，連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)計(jì)算是經(jīng)常遇到且必須解決的問題。由分布函數(shù)F(x)定義及數(shù)學(xué)分析可知〔1〕，F(xiàn)(x)計(jì)算是一個(gè)積分計(jì)算，從根本說就是關(guān)于密度函數(shù)f(x)定積分計(jì)算。在數(shù)學(xué)中對(duì)定積分近似計(jì)算方法有很多，但對(duì)于廣大醫(yī)學(xué)衛(wèi)生工作者來說，要掌握這些計(jì)算方法還需了解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，因此，他們使用這些計(jì)算方法很不方便。本文給出了一個(gè)用概率方法計(jì)算定積分的方法，即用統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法計(jì)算定積分，同時(shí)給出了該方法計(jì)算機(jī)程序。這種方法理論上非常簡(jiǎn)單，極易掌握，借助計(jì)算機(jī)可輕松完成。

原理與方法

統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法又稱蒙特卡羅方法〔2〕，是一種采用統(tǒng)計(jì)抽樣理論近似地求解數(shù)學(xué)問題或物理問題的方法，既可用來研究概率問題，也可用來求解非概率問題。利用蒙特卡羅方法去解決數(shù)學(xué)分析問題時(shí)，基本的思想是首先建立與描述該問題有相似性的概率模型，利用這種相似性把這概率模型的某些特征(如隨機(jī)事件的概率或隨機(jī)變量的平均值等)與數(shù)學(xué)分析問題的解答(如積分值、微分方程的解等)聯(lián)系起來，然后對(duì)模型進(jìn)行隨機(jī)模似或統(tǒng)計(jì)抽樣，再利用所得結(jié)果求出這些特征的統(tǒng)計(jì)估計(jì)值作為原來的分析問題的近似解。蒙特卡羅方法的理論基礎(chǔ)是概率論中最一般的定理——大數(shù)定律。

下面我們用蒙特卡羅方法來求解定積分問題，進(jìn)而解決連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)計(jì)算問題。采用的方法是隨機(jī)擲點(diǎn)計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)法，實(shí)例如下:

程序與應(yīng)用

依據(jù)上述算法用Visual Basic語言編寫程序如下:首先建立一個(gè)窗體，在窗體上建五個(gè)文本框和一個(gè)命令按鈕。編寫代碼如下:

Private Sub Command1_Click()

Dim x()，y()

a=Text1'積分區(qū)間下限

b=Text2'積分區(qū)間上限

c=Text3'被積函數(shù)一個(gè)上界

n=Text4'試驗(yàn)次數(shù)

ReDim x(n)，y(n)

Randomize

m=0

For i=1 To n

x(i)=(b－a)*Rnd+a

y(i)=c*Rnd

If f(x(i))＞=y(i)Then m=m+1

Next i

Text5=m/n*(b－a)*c

例 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)

End Sub

Function f(x)

100 f=Sqr(x)

End Function

2．改寫程序

將語句標(biāo)號(hào)為100語句改換為

f=1/Sqr(2*3.1415926)*Exp(－x^2/2)

3．運(yùn)行程序

將a賦值0，將b賦值2，將c賦值0．5(是積分函數(shù)一個(gè)上界)，將n賦值100000。

我們計(jì)算 5次的值分別是:0.47570，0.47679，0.47851，0.47615，0.47802，平均值是 0.47703

所以φ(2)≈0.5+0.47703=0.97703

求φ(－1)可以將φ(－1)整理成:

討 論

1．計(jì)算時(shí)對(duì)c值選擇很重要，c越小越好(擲點(diǎn)試驗(yàn)靈敏度越高)，但c必需是積分函數(shù)在積分區(qū)域上的上界。

2．依據(jù)大數(shù)定律，對(duì)n值選擇是越大越好。但要注意對(duì)程序運(yùn)行時(shí)間影響不要太大，還有考慮計(jì)算機(jī)能否可以接受。

3．計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)時(shí)，需要把它整理成求定積分形式。

4．本文給出程序代碼是本方法核心代碼，人們可根據(jù)需要進(jìn)行擴(kuò)充，如加入求多個(gè)結(jié)果的平均數(shù)計(jì)算等。

5．本文雖沒有給出算法結(jié)果的誤差估計(jì)，但是這個(gè)誤差估計(jì)是可以計(jì)算出的。這是因?yàn)楸疚闹衝次擲點(diǎn)試驗(yàn)，可以看做是進(jìn)行n次成功概率為Q的貝努里試驗(yàn)，m是其中成功次數(shù)，故m服從二項(xiàng)分布b(n，Q)。

1．盛驟，謝式千，潘承毅．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)．第4版．北京:高等教育出版社，2008．

2．陳東彥，李東梅，王樹忠．?dāng)?shù)學(xué)建模．北京:科技出版社，2007．