特殊矩陣特征值的Wielandt-Hoffman-殘差型擾動界

孔祥強(菏澤學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，山東 菏澤 274015)

矩陣特征值的擾動問題是矩陣擾動分析的重要方向。A表示原始矩陣，B表示擾動后的矩陣，對于A和B同階的情形，研究成果已相當豐富。當A與B不同階時，對于這種矩陣特征值的殘差擾動界的研究，部分成果可參見文獻[1-3]。文獻[4]研究了不變子空間上可對角化矩陣及可對稱化矩陣的殘差擾動界。文獻[5]研究了Hermite矩陣與可對稱化矩陣特征值的Weyl-殘差型擾動界。本文繼續(xù)研究Hermite矩陣及可對稱化矩陣特征值的擾動，得到新的Wielandt-Hoffman-殘差型擾動界。

1 預備知識

引理1[8]設A,B∈Cn×n均是Hermite陣，Q∈Cn×n是Hermite正定陣，其特征值γ1≥γ2≥…≥γn，c是任意正數(shù)，則

其中

2 主要結果

定理1設A∈Cn×n為Hermite陣，即存在酉陣P，使A=PΛ1P-1，Λ1=diag(λ1,…,λn)；B∈Cm×m為可對稱化矩陣，即存在可逆陣Q，使

為列滿秩陣，Σ=diag(σ1,…,σm)，σ1≥…≥σm，則存在1,…,n的某個排列π，使得

(1)

(2)

故

(3)

(4)

由引理1，

將式(2)、(3)、(4)代入上式，得

(5)

(6)

將式(5)、(6)代入(1)，得

由引理2，存在1,…,n的某個排列π，使得

故

注1①不難看出，n=m時，定理1仍成立，即為文[10]中結論。故定理1是文[10]中結論的推廣。

定理2設A∈Cn×n，B∈Cm×m均為可對稱化矩陣，即存在可逆陣P,Q，使得

A=PΛ1P-1，Λ1=diag(λ1,…,λn)，

B=QΛ2Q-1，Λ2=diag(μ1,…,μm)，

(7)

(8)

故

(9)

(10)

依引理1，

將式(8)、(9)、(10)代入上式，得

則

(11)

(12)

將式(11)、(12)代入(7)，得

依引理2，存在1,…,n的某個排列π，使得

所以

故

②若A為Hermite陣，則K(P)=1，結論即為定理1。因此定理2比定理1 更強。

③若A,B均為Hermite陣，X為單位陣E，則結論即為Wielandt-Hoffman定理。故定理2是Wielandt-Hoffman定理的推廣。

3 結語

本文探討了Hermite陣和可對稱化矩陣特征值的殘差型擾動上界。以此為基礎，可進一步研究正規(guī)矩陣和可對角化矩陣特征值的擾動界，進而研究原始矩陣及其擾動后的矩陣均為任意矩陣的情形。